Hilbert K-子模上框架的(強)可補性

董芳芳, 裴瑞昌

(天水師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 甘肅 天水 741001)

1 預備知識

HilbertC*-模和Hilbert空間的一個最重要的不同就是：Frank和Larson[1]研究了HilbertC*-模不一定可補,并且HilbertC*-模不一定存在標準正交基,將HilbertC*-模膨脹到：

同時在l2(A)上定義了模和內(nèi)積：對?a∈A,?{ai},{bi}∈l2(A),

HilbertK-模是一種特殊的HilbertC*-模,其中底代數(shù)K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數(shù),顯然I?K,當然它也不一定可補,因此,對HilbertK-?？裳a性的研究顯得有意義的同時,又存在一定難度.

Bakic等[4]證明了這種模一定有特殊的標準正交基,其特殊點在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個秩1的自伴投影,但由于I?K,也就是引入l2(K)毫無意義,因此,HilbertK-模無法膨脹.本人之前直接在HilbertK-模M本身上引入了框架的框架變換,只從框架變換的值域這個角度研究了框架的(強)不相交性[5-6].

由于HilbertK-模無法膨脹,因此,本文在HilbertK-模M的子模M1(M1?M)到M之間引入框架的框架變換θ,在M到θ(M1)上引入正交投影P,在研究了θ和P之間的關系的基礎上(見定理1),得到了HilbertK-模M的有限個子模上框架的(強)可補的充要條件.下面引入本文用到的預備知識.

定義1[4]設K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C*-代數(shù),Μ是復數(shù)域C上的線性空間,Μ是左K-模,滿足：μ(kx)=(μk)x=k(μx),其中任意的μ∈C,k∈K,x∈Μ,若〈·, ·〉:Μ×Μ→K具有性質(zhì):

1) 〈x,x〉≥0,?x∈Μ；

2) 〈x,x〉=0?x=0,?x∈Μ；

3) 〈x,y〉=〈y,x〉*,?x,y∈Μ；

4) 〈kx,y〉=k〈x,y〉,?k∈K,?x,y∈Μ；

定義2[4]稱序列{vλ,λ∈Λ}為HilbertK-模Μ的標準正交序列,若對

eξ,ξ的自伴性是顯然的,因此,將eξ,ξ稱為支撐投影或秩為1的自伴投影.

定義3[4]稱HilbertK-模Μ中的序列{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為框架,若存在常數(shù)a>0,b>0,使得

若a=b,則稱{xλ,λ∈Λ}為緊框架；若a=b=1,則稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為正規(guī)緊框架.

由定義易知：θ為單射.事實上,由于{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M1上的框架,從而存在a,b>0,使得對任意的x∈M1,

即

a〈x,x〉≤〈θ(x),θ(x)〉≤b〈x,x〉

因此,若θ(x)=0,有不等式：a〈x,x〉≤0≤b〈x,x〉,從而只有〈x,x〉=0,即x=0,從而θ為單射,即θ*為滿射,因此θ*θ為雙射,將S=θ*θ稱為框架{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架算子,顯然,S為可逆自伴的正算子,且對任意的x∈M1,

定義5稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為HilbertK-模M的Hilbert基,若{eξ,ξxλ,λ∈Λ}滿足：

1) {eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M的框架；

2) 〈eξ,ξxλ,eξ,ξxλ〉=eξ,ξ,?λ∈Λ.

定義6設M為HilbertK-模,對任意的x,y∈M,定義：

〈x⊕y,x⊕y〉=〈x,x〉+〈y,y〉

2 框架變換與正交投影的關系

設M為HilbertK-模,M1為M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M1的框架,θ:M1→M為{eξ,ξxλ,λ∈Λ}的框架變換,引入正交投影P:M→θ(M1),顯然有：P(M)=θ(M1). 關于P和θ的關系,有下面的定理.

特別地,當{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M1的正規(guī)緊框架(即a=1)時,P(Vλ)=θ(eξ,ξxλ)且θθ*=P.

證明首先,由于{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M1的以a>0為框架界的緊框架,從而θ*θ=aI,而P為M到θ(M1)的正交投影,除了有P(M)=θ(M1)外,當P作用在θ(M1)上時,即P:θ(M1)→θ(M1),P=I,也即P(θ(M1))=θ(M1),于是,對任意的x∈M1,以及M的標準正交基{vλ,λ∈Λ},有

由x的任意性知：θθ*=aP.

其自伴性是顯然的,從而,P2=P=P*,這也充分驗證了P為正交投影.

當{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為M1的正規(guī)緊框架(即a=1)時,顯然有P(Vλ)=θ(eξ,ξxλ)且θθ*=P.

下面就二維Hilbert空間上框架的框架變換與正交投影的關系,舉下面的例子加以說明.

并且

P=PT,即P*=P,且

即P2=P,綜上P2=P=P*,從而P為正交投影,且滿足aP=θθ*.

通過先找到一個框架,在此基礎上構造得到一個緊框架,得到使aP=θθ*的正交投影是存在的,其中θ*為θ的伴隨算子,當θ為矩陣時,θ*為其轉置θT.

3 Hilbert K-子?？蚣?強)可補性.

定義7設M為HilbertK-模,M1和M2均為M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分別為M1和M2的正規(guī)緊框架,若{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的標準正交基,則稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}是強可補的.

設{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分別為M1和M2的并且分別以a>0,b>0為框架界的緊框架,若{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的Hilbert基,則稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}是可補的.

定理2[5]設M為HilbertK-模,M1和M2為M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}分別為M1和M2的(正規(guī)緊)框架,θ1和θ2分別為其框架變換,則

1) {eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的正規(guī)緊框架當且僅當θ1(M1)⊥θ2(M2)；

2) {eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的框架當且僅當θ1(M1)∩θ2(M2)={0}.

定理3設M為HilbertK-模,M1和M2均為M的子模,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分別為M1和M2的(正規(guī))緊框架(當為緊框架時,設其框架界分別為a>0,b>0),θ1:M1→M和θ1:M2→M分別為其框架變換,P:M→θ1(M1)和Q:M→θ2(M2)均為正交投影,則

1) {eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}強可補當且僅當P+Q=I,且P(M)⊥Q(M)當且僅當P=Q⊥；

2) {eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}可補當且僅當P+Q=I,且P(M)∩Q(M)={0}.

證明1) 首先,由于{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的標準正交基,當然更是M1⊕M2的正規(guī)緊框架,從而由定理2知：{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的正規(guī)緊框架當且僅當θ1(M1)⊥θ2(M2),而P(M)=θ1(M1),Q(M)=θ2(M2),因此,θ1(M1)⊥θ2(M2)當且僅當P(M)⊥Q(M)(記作P⊥Q)當且僅當PQ=QP=0當且僅當P+Q也為正交投影.

其次,{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2為標準正交基當且僅當

結合定理1：θ1θ1*=P,θ2θ2*=Q,有

〈eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,eξ,ξxμ⊕eξ,ξyμ〉=

〈eξ,ξxλ,eξ,ξxμ〉+〈eξ,ξyλ,eξ,ξyμ〉=

即〈(P+Q)(vλ),vμ〉=〈vλ,vμ〉,從而P+Q=I.

反之,若P+Q=I,

綜上,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}強可補當且僅當P⊥Q且P+Q=I當且僅當P=Q⊥.

2) 由于{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的Hilbert基,從而它為M1⊕M2的框架,于是,由定理2知：{eξ,ξxλ⊕eξ,ξyλ,λ∈Λ}為M1⊕M2的框架當且僅當θ1(M1)∩θ2(M2)={0},而P(M)=θ1(M1),Q(M)=θ2(M2),因此,θ1(M1)∩θ2(M2)={0}當且僅當P(M)∩Q(M)={0}.

注2在定理2中,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξyλ,λ∈Λ}分別為M1和M2的框架,而緊框架是框架的特殊情況(上界等于下界),從而對本定理中的緊框架依然有上面的結論.

即aP+bQ=I.

反之,若aP+bQ=I,

綜上,{eξ,ξxλ,λ∈Λ}和{eξ,ξxλ,λ∈Λ}可補當且僅當aP+bQ=I,且P(M)∩Q(M)={0},本定理得證.

下面將該結論推廣到有限個HilbertK-子模上.

定義8設M為HilbertK-模,M1,M2,…Mk(k為有限的自然數(shù))為M的子模,{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}分別為Mi(i=1,2…k)的正規(guī)緊框架,若{eξ,ξx1λ⊕eξ,ξx2λ⊕…⊕eξ,ξxkλ,λ∈Λ}為M1⊕M2⊕…Mk的標準正交基,則稱{eξ,ξx1λ,λ∈Λ},{eξ,ξx2λ,λ∈Λ}…{eξ,ξxkλ,λ∈Λ}強可補；

設{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}分別為Mi的以ai>0(i=1,2,…,k)為框架界的緊框架,若{eξ,ξx1λ⊕eξ,ξx2λ⊕…⊕eξ,ξxkλ,λ∈Λ}為M1⊕M2⊕…Mk的Hilbert基,則稱{eξ,ξx1λ,λ∈Λ},{eξ,ξx2λ,λ∈Λ}…{eξ,ξxkλ,λ∈Λ}可補.

定理4設M為HilbertK-模,M1,M2,…Mk(k為有限的自然數(shù))均為M的子模,{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}分別為Mi(i=1,2…k)的(正規(guī))緊框架,θi分別為{eξ,ξxiλ,λ∈Λ}的框架變換,Pi:M→θi(Mi)(i=1,2…k)均為正交投影,則

本定理的證明從略.