連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà)及Riesz型框架的新結(jié)果

相中啟，潘 偉

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，中國(guó) 武漢 430079)

1952年，Duffin和Schaeffer在深入研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)引入框架(離散框架)的概念[1].小波分析誕生以來(lái)，框架理論得到了迅速發(fā)展[2-3].它廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理和抽樣理論等方面[4-7].連續(xù)框的概念由Kaiser[8],Ali等[9]分別獨(dú)立引入，它是離散框架的概括，是一般化的框架.Gabardo和韓德廣[10]稱(chēng)其為“與可測(cè)空間相關(guān)的框架”；Askari等[11]稱(chēng)其為“廣義框架”；而在數(shù)學(xué)物理中則稱(chēng)其為“相干態(tài)”[9].目前，連續(xù)框架已廣泛應(yīng)用于連續(xù)小波變換及短時(shí)Fourier變換等方面[12-13].本文主要討論了連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà)和連續(xù)框架的對(duì)偶問(wèn)題.

全文組織如下：第1節(jié)列出本文所要用到的一些定義和基本事實(shí)并給出連續(xù)框架的2個(gè)等價(jià)刻畫(huà).第2節(jié)討論了連續(xù)框架的對(duì)偶，給出了Riesz型框架的新結(jié)果.

1 連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà)

本文中，H，K始終指復(fù)的Hilbert空間，S指連續(xù)框架的框架算子.

定義1[10]設(shè)H是復(fù)的Hilbert空間，(Ω,μ)是賦有正測(cè)度μ的測(cè)度空間，{φω}ω∈Ω?H使得對(duì)所有的f∈H,是Ω上的可測(cè)函數(shù).如果存在A，B>0使得

(1)

則稱(chēng){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω，μ)是連續(xù)框架，A，B分別稱(chēng)為連續(xù)下、上框架界，所有上框架界的下確界稱(chēng)為最優(yōu)上框架界,所有下框架界的上確界稱(chēng)為最優(yōu)下框架界，顯然最優(yōu)框架界仍是框架界.若(1)式右端不等式成立，則稱(chēng){φω}ω∈Ω是Bessel序列，B稱(chēng)為Bessel界.易見(jiàn)，若μ是計(jì)數(shù)測(cè)度，Ω:=,則{φω}ω∈Ω成為離散框架.此外，(1)式左端的不等式表明{φω}ω∈Ω是完備的，即

設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的界為A，B的連續(xù)框架，則

(2)

T*:H→L2(Ω,μ),(T*f)(ω)=〈f,φω〉,ω∈Ω.

(3)

由復(fù)合算子T和其共軛算子T*就得到框架算子

(4)

容易證明S有界，可逆且是自共軛的正算子.由此得到連續(xù)框架恢復(fù)公式

(5)

(6)

引理1[3]設(shè)W：K→H是有界線性算子，若其值域RW是閉的，則存在有界線性算子W?：H→K使得WW?f=f,?f∈RW.算子W?稱(chēng)為W的偽逆算子.

進(jìn)一步，Christensen證明了

引理2[3]設(shè)W：K→H是有界線性算子，若其值域RW是閉的，則

(ii) (W*)?W*是R(W*)?上的正交投影；

(iv) (W*)?=(W?)*.

下面的定理給出了連續(xù)框架的一個(gè)等價(jià)刻畫(huà).

定理1設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H中的Bessel序列，則{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架的充分必要條件是：(2)式所定義的算子T是滿射.

證先證必要性.設(shè){φω}ω∈Ω是H的界為A，B的連續(xù)框架，其預(yù)框架算子為T(mén)，由(2)式知

所以T*是單射，因此T是滿射.

再證充分性.只需證明存在常數(shù)c1,c2(0

(7)

所以

接下來(lái)的定理同樣給出了連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà).

定理2{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)為H的界為A，B的連續(xù)框架當(dāng)且僅當(dāng)下面2個(gè)條件滿足：

(ii)預(yù)框架算子T是定義好的且

(8)

證首先假設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的界為A，B的連續(xù)框架，即

由Cauchy-Schwartz不等式得

因此‖Tη‖2≤B‖η‖2,于是(ii)成立.

A‖T?Tη‖2≤‖TT?Tη‖2=‖Tη‖2.

即

這說(shuō)明{φω}ω∈Ω滿足下框架條件，上框架條件可以由(8)式右端的不等式直接得到.

2 連續(xù)框架的對(duì)偶

定義2[10]設(shè){φω}ω∈Ω,{ψω}ω∈Ω關(guān)于(Ω，μ)是H的連續(xù)框架，若對(duì)任意的f,g∈H

則稱(chēng){ψω}ω∈Ω是{φω}ω∈Ω的對(duì)偶框架；若{φω}ω∈Ω的對(duì)偶框架唯一，則稱(chēng){φω}ω∈Ω是Riesz型框架.

〈f,(TT*)-1f〉.

因此

綜上可知{S-1φω}ω∈Ω是{φω}ω∈Ω的對(duì)偶框架.

下面的定理給出了預(yù)框架算子T的偽逆T?的詳細(xì)刻畫(huà).

定理3設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架，T是其預(yù)框架算子，S是其框架算子，則

(T?f)(ω)=〈f,S-1φω〉,f∈H,ω∈Ω.

此外，若A，B是{φω}ω∈Ω的最優(yōu)框架界，則A=‖S-1‖-1=‖T?‖-2,B=‖S‖=‖T‖2.

證由于{φω}ω∈Ω是H的連續(xù)框架，由定理1知T是滿射，即RT=H.由引理1知，?f∈H,TT?f=f.對(duì)任意的h∈H有

由(2)式知

因此

(T?f)(ω)=〈f,S-1φω〉,?f∈H,ω∈Ω.

根據(jù)定義，

引理5[10]設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架，T是預(yù)框架算子.則{φω}ω∈Ω是Riesz型框架的充分必要條件是RT*=L2(Ω,μ).

下面給出Riesz型框架的新結(jié)果.

定理4{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)為H的界為A，B的Riesz型框架當(dāng)且僅當(dāng)下面2個(gè)條件滿足：

(ii)預(yù)框架算子T是定義好的且

A‖η‖2≤‖Tη‖2≤B‖η‖2,?η∈L2(Ω,μ).

(9)

推論1{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)為H的Riesz型框架的充分必要條件是(2)式所定義的算子T是定義好的雙射.

參考文獻(xiàn)：

[1] DUFFIN R J, SCHAEFFER A C. A class of nonharmonic Fourier series [J]. Trans Amer Math Soc, 1952,72(2):341-366.

[2] DAUBECHIES I. Ten lectures on wavelets [M]. Philadelphia: SIAM, 1992.

[3] CHRISTENSEN O. An introduction to frames and Riesz bases [M]. Boston: Birkh?user, 2002.

[4] FEICHTINGER H G, STROHMER T. Gabor analysis and algorithms: theory and applications[M].Boston: Birkh?user, 1998.

[5] FEICHTINGER H G, STROHMER T. Advances in Gabor analysis [M]. Boston: Birkh?user, 2003.

[6] CASAZZA P G. Modern tools for Weyl-Heisenberg frame theory [J]. Adv Imag Elect Phys, 2001,115(1):1-127.

[7] 王國(guó)秋，楊夢(mèng)云.雙正交小波的譜半徑及其應(yīng)用[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2011,34(1):14-18.

[8] KAISER G. A friendly guide to wavelets [M]. Boston: Birkh?user, 1994.

[9] ALI S T, ANTOINE J P, GAZEAU J P. Continuous frames in hilbert spaces [J]. Ann Phys, 1993,222(1): 1-37.

[10] GABARDO J P, HAN D. Frames associated with measurable space [J]. Adv Comp Math, 2003,18(3):127-147.

[11] ASKARI-HEMMAT A, DEHGHAN M A, RADJABALIPOUR M. Generalized frames and their redundancy[J]. Proc Amer Math Soc, 2001,129(4):1143-1147.

[12] ALI S T, ANTOINE J P, GAZEAU J P. Coherent states, wavelets and their generalizations [M].Berlin: Springer-Verlag, 2000.

[13] GR?CHENIG K. Foundations of time-frequency analysis [M]. Berlin: Birkh?user-Verlag, 2001.