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    連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà)及Riesz型框架的新結(jié)果

    2013-11-21 00:59:30相中啟
    關(guān)鍵詞:界線對(duì)偶等價(jià)

    相中啟,潘 偉

    (華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,中國(guó) 武漢 430079)

    1952年,Duffin和Schaeffer在深入研究非調(diào)和Fourier級(jí)數(shù)時(shí)引入框架(離散框架)的概念[1].小波分析誕生以來(lái),框架理論得到了迅速發(fā)展[2-3].它廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理和抽樣理論等方面[4-7].連續(xù)框的概念由Kaiser[8],Ali等[9]分別獨(dú)立引入,它是離散框架的概括,是一般化的框架.Gabardo和韓德廣[10]稱(chēng)其為“與可測(cè)空間相關(guān)的框架”;Askari等[11]稱(chēng)其為“廣義框架”;而在數(shù)學(xué)物理中則稱(chēng)其為“相干態(tài)”[9].目前,連續(xù)框架已廣泛應(yīng)用于連續(xù)小波變換及短時(shí)Fourier變換等方面[12-13].本文主要討論了連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà)和連續(xù)框架的對(duì)偶問(wèn)題.

    全文組織如下:第1節(jié)列出本文所要用到的一些定義和基本事實(shí)并給出連續(xù)框架的2個(gè)等價(jià)刻畫(huà).第2節(jié)討論了連續(xù)框架的對(duì)偶,給出了Riesz型框架的新結(jié)果.

    1 連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà)

    本文中,H,K始終指復(fù)的Hilbert空間,S指連續(xù)框架的框架算子.

    定義1[10]設(shè)H是復(fù)的Hilbert空間,(Ω,μ)是賦有正測(cè)度μ的測(cè)度空間,{φω}ω∈Ω?H使得對(duì)所有的f∈H,是Ω上的可測(cè)函數(shù).如果存在A,B>0使得

    (1)

    則稱(chēng){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是連續(xù)框架,A,B分別稱(chēng)為連續(xù)下、上框架界,所有上框架界的下確界稱(chēng)為最優(yōu)上框架界,所有下框架界的上確界稱(chēng)為最優(yōu)下框架界,顯然最優(yōu)框架界仍是框架界.若(1)式右端不等式成立,則稱(chēng){φω}ω∈Ω是Bessel序列,B稱(chēng)為Bessel界.易見(jiàn),若μ是計(jì)數(shù)測(cè)度,Ω:=,則{φω}ω∈Ω成為離散框架.此外,(1)式左端的不等式表明{φω}ω∈Ω是完備的,即

    設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的界為A,B的連續(xù)框架,則

    (2)

    T*:H→L2(Ω,μ),(T*f)(ω)=〈f,φω〉,ω∈Ω.

    (3)

    由復(fù)合算子T和其共軛算子T*就得到框架算子

    (4)

    容易證明S有界,可逆且是自共軛的正算子.由此得到連續(xù)框架恢復(fù)公式

    (5)

    (6)

    引理1[3]設(shè)W:K→H是有界線性算子,若其值域RW是閉的,則存在有界線性算子W?:H→K使得WW?f=f,?f∈RW.算子W?稱(chēng)為W的偽逆算子.

    進(jìn)一步,Christensen證明了

    引理2[3]設(shè)W:K→H是有界線性算子,若其值域RW是閉的,則

    (ii) (W*)?W*是R(W*)?上的正交投影;

    (iv) (W*)?=(W?)*.

    下面的定理給出了連續(xù)框架的一個(gè)等價(jià)刻畫(huà).

    定理1設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H中的Bessel序列,則{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架的充分必要條件是:(2)式所定義的算子T是滿射.

    證先證必要性.設(shè){φω}ω∈Ω是H的界為A,B的連續(xù)框架,其預(yù)框架算子為T(mén),由(2)式知

    所以T*是單射,因此T是滿射.

    再證充分性.只需證明存在常數(shù)c1,c2(0

    (7)

    所以

    接下來(lái)的定理同樣給出了連續(xù)框架的等價(jià)刻畫(huà).

    定理2{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)為H的界為A,B的連續(xù)框架當(dāng)且僅當(dāng)下面2個(gè)條件滿足:

    (ii)預(yù)框架算子T是定義好的且

    (8)

    證首先假設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的界為A,B的連續(xù)框架,即

    由Cauchy-Schwartz不等式得

    因此‖Tη‖2≤B‖η‖2,于是(ii)成立.

    A‖T?Tη‖2≤‖TT?Tη‖2=‖Tη‖2.

    這說(shuō)明{φω}ω∈Ω滿足下框架條件,上框架條件可以由(8)式右端的不等式直接得到.

    2 連續(xù)框架的對(duì)偶

    定義2[10]設(shè){φω}ω∈Ω,{ψω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架,若對(duì)任意的f,g∈H

    則稱(chēng){ψω}ω∈Ω是{φω}ω∈Ω的對(duì)偶框架;若{φω}ω∈Ω的對(duì)偶框架唯一,則稱(chēng){φω}ω∈Ω是Riesz型框架.

    〈f,(TT*)-1f〉.

    因此

    綜上可知{S-1φω}ω∈Ω是{φω}ω∈Ω的對(duì)偶框架.

    下面的定理給出了預(yù)框架算子T的偽逆T?的詳細(xì)刻畫(huà).

    定理3設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架,T是其預(yù)框架算子,S是其框架算子,則

    (T?f)(ω)=〈f,S-1φω〉,f∈H,ω∈Ω.

    此外,若A,B是{φω}ω∈Ω的最優(yōu)框架界,則A=‖S-1‖-1=‖T?‖-2,B=‖S‖=‖T‖2.

    證由于{φω}ω∈Ω是H的連續(xù)框架,由定理1知T是滿射,即RT=H.由引理1知,?f∈H,TT?f=f.對(duì)任意的h∈H有

    由(2)式知

    因此

    (T?f)(ω)=〈f,S-1φω〉,?f∈H,ω∈Ω.

    根據(jù)定義,

    引理5[10]設(shè){φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)是H的連續(xù)框架,T是預(yù)框架算子.則{φω}ω∈Ω是Riesz型框架的充分必要條件是RT*=L2(Ω,μ).

    下面給出Riesz型框架的新結(jié)果.

    定理4{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)為H的界為A,B的Riesz型框架當(dāng)且僅當(dāng)下面2個(gè)條件滿足:

    (ii)預(yù)框架算子T是定義好的且

    A‖η‖2≤‖Tη‖2≤B‖η‖2,?η∈L2(Ω,μ).

    (9)

    推論1{φω}ω∈Ω關(guān)于(Ω,μ)為H的Riesz型框架的充分必要條件是(2)式所定義的算子T是定義好的雙射.

    參考文獻(xiàn):

    [1] DUFFIN R J, SCHAEFFER A C. A class of nonharmonic Fourier series [J]. Trans Amer Math Soc, 1952,72(2):341-366.

    [2] DAUBECHIES I. Ten lectures on wavelets [M]. Philadelphia: SIAM, 1992.

    [3] CHRISTENSEN O. An introduction to frames and Riesz bases [M]. Boston: Birkh?user, 2002.

    [4] FEICHTINGER H G, STROHMER T. Gabor analysis and algorithms: theory and applications[M].Boston: Birkh?user, 1998.

    [5] FEICHTINGER H G, STROHMER T. Advances in Gabor analysis [M]. Boston: Birkh?user, 2003.

    [6] CASAZZA P G. Modern tools for Weyl-Heisenberg frame theory [J]. Adv Imag Elect Phys, 2001,115(1):1-127.

    [7] 王國(guó)秋,楊夢(mèng)云.雙正交小波的譜半徑及其應(yīng)用[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào), 2011,34(1):14-18.

    [8] KAISER G. A friendly guide to wavelets [M]. Boston: Birkh?user, 1994.

    [9] ALI S T, ANTOINE J P, GAZEAU J P. Continuous frames in hilbert spaces [J]. Ann Phys, 1993,222(1): 1-37.

    [10] GABARDO J P, HAN D. Frames associated with measurable space [J]. Adv Comp Math, 2003,18(3):127-147.

    [11] ASKARI-HEMMAT A, DEHGHAN M A, RADJABALIPOUR M. Generalized frames and their redundancy[J]. Proc Amer Math Soc, 2001,129(4):1143-1147.

    [12] ALI S T, ANTOINE J P, GAZEAU J P. Coherent states, wavelets and their generalizations [M].Berlin: Springer-Verlag, 2000.

    [13] GR?CHENIG K. Foundations of time-frequency analysis [M]. Berlin: Birkh?user-Verlag, 2001.

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