測度K-框架

張超華

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院，南京 211106)

Hilbert空間中的框架概念發(fā)展到現(xiàn)在有著十分廣泛的應(yīng)用，它不僅在處理信號、壓縮數(shù)據(jù)、采樣等數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身的學(xué)科上，而且在光學(xué)，通信工程等其它學(xué)科，都發(fā)揮了巨大作用.

Ehler結(jié)合測度和積分提出的一種比經(jīng)典框架更一般的框架，并命名為測度框架，它是利用測度，建立在測度集上積分而得到的一種框架.

本文將在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上，通過K-框架理論給出測度K-框架的定義，討論測度K-框架與測度框架的關(guān)系，對測度K-框架的最優(yōu)界利用測度框架的分析算子、合成算子以及算子K對測度K-框架的最優(yōu)界進(jìn)行控制，并利用算子K給出緊測度K-框架成為測度框架的等價(jià)性結(jié)論.

本文中的Hilbert空間均是可分的，I為H上的恒等算子.B(H1,H2)表示Hilbert空間H1到H2上的全體有界線性算子.簡記B(H,H)為B(H).記算子F的共軛算子為F*.Ω表示Rn的非空子集，并令Μ(Ω,Β)為Ω上的全體有限正測度的集合，Β是指Ω誘導(dǎo)出的Borelσ-代數(shù).

1 預(yù)備知識

定義1[2,4]設(shè)μ∈M(Ω,Β)為Rn上的測度框架，如果存在正數(shù)α,β，使得

(1)

α,β分別為框架μ的下界，上界.對式(1)，若只要求右邊不等式成立，則稱μ為Bessel測度;若α=β，則稱μ為Rn的緊測度框架.進(jìn)一步，若α=β=1，則稱μ為Rn的Parseval測度框架.對于Rn的Bessel加權(quán)測度μ，稱有界線性算子θμ

θμ：Rn→L2(Ω,μ),θμx=〈x,·〉Rn

(2)

(3)

(4)

這些算子在框架理論的研究中具有重要的作用.

引理1[5-6]設(shè)H，H1，H2是Hilbert空間，T1∈B(H1,H)，T2∈B(H2,H)，則下列敘述等價(jià)：

(1)R(T1)?R(T2);

(3)存在T∈B(H1,H2)，使得T1=T2T.

引理2[7]設(shè)T∈B(H1,H2)，則T是滿的充要條件為T*是下有界的，即存在正數(shù)c，對任意x∈H，均有‖T*x‖≥c‖x‖.

2 測度K-框架

定義2 設(shè)K∈B(Rn)，稱μ∈M(Ω,Β)為Rn上的測度K-框架，若存在正數(shù)α,β，使

(5)

稱α,β為μ的框架下界，上界.若上式中K=0，稱μ為測度0-框架.另外，若將式(5)左邊不等式改為等式，則稱μ為Rn上的緊測度K-框架.

注1 顯然Bessel測度一定是測度0-框架.設(shè)μ是Rn上的界為α,β的Bessel測度，若K=0，則K*=0，從而

因而μ為Rn上的測度0-框架.

注2 若在式(5)中K=I，則μ為Rn上的測度框架.從而可以將測度K-框架看做是測度框架的一種推廣.

定理1 設(shè)μ∈M(Ω,Β)是Rn上的Bessel加權(quán)測度，則下列等價(jià)：

(1)μ為測度K-框架，界為α,β;

(2)存在正數(shù)α,β，使得αKK*≤Sμ≤βI.

證明任取x∈Rn，由式(4)可知

(6)

另外，結(jié)論(2)成立等價(jià)于：〈αKK*x,x〉≤〈Sμ,x〉≤〈βx,x〉，?x∈Rn.因此命題成立.證畢.

αKK*≤Sμ≤βI成立.證畢.

通過下面的討論，我們知Rn的測度K-框架的最優(yōu)下界可以由算子K和框架算子Sμ來描述.

定理3 設(shè)K∈B(Rn)且K≠0，若μ∈M(Ω,Β)是Rn的測度K-框架，那么最優(yōu)下界，上界分別為λmin‖K‖-2，‖T‖2，λmin表示為Sμ的最小的不為零的特征值.

證明因?yàn)棣淌荝n的測度K-框架，所以存在正數(shù)α,β，使得測度K-框架不等式(5)在Rn上成立.從而,

又因?yàn)?/p>

故α=λmin‖K‖-2是最優(yōu)下界.最優(yōu)上界顯然.證畢.

3 利用算子給出緊測度K-框架成為測度框架的等價(jià)刻畫

本節(jié)著重研究測度K-框架與測度框架的關(guān)系，給出緊測度框架成為測度框架的算子的等價(jià)描述.

定理5 設(shè)K∈B(Rn)，μ∈M(Ω,Β)是Rn的測度框架，界為α,β.則μ為Rn上的測度K-框架.若K≠0，則其框架界為α‖K‖-2，β.

證明設(shè)μ∈M(Ω,Β)是Rn的測度框架，界為α,β，任取x∈Rn，

對任意K∈B(Rn)，K=0時(shí)顯然符合結(jié)論;在K≠0時(shí)，則‖K*‖=‖K‖≠0，從而

‖K*x‖≤‖K*‖·‖x‖=‖K‖·‖x‖， ?x∈Rn.

從而

‖K*x‖·‖K‖-1≤‖x‖.

因此

μ為Rn的測度K-框架，界為α‖K‖-2，β.證畢.

定理6 設(shè)Ω?Rn是有界的，K∈B(H)是Rn上的滿射，則μ∈M(Ω,Β)為Rn的測度K-框架的一個充要條件是μ的支集生成Rn.

必要性.由定理5，只需證明μ是測度框架.由柯西-施瓦茨不等式,

又由有限測度μ以及Ω的有界性,得到μ為Bessel測度.定義

選擇合適的算子K∈B(Rn)，我們可以由測度框架來構(gòu)造一個測度K-框架.

引理3[8]若μ∈M(Ω,Β)為Rn的界為0<α≤β<∞的測度框架，且K∈B(Rn)是單的，則μ°K-1是Rn上的界為α,β‖K*‖2的測度K-框架.

證明設(shè)μ∈M(Ω,Β)為Rn的測度框架，界為α,β，任取x∈Rn,

上式表明μ°K-1是Rn上的測度K-框架.證畢.

下面利用算子K給出緊測度K-框架成為框架的等價(jià)刻畫.

定理7 設(shè)K∈B(Rn)，μ∈M(Ω,Β)是Rn的緊測度K-框架，則下列敘述等價(jià)：

(1)μ是Rn的測度框架;

(2)K是滿的.

證明(1)?(2).若μ是Rn上緊測度K-框架，其界為α1.由定義2，有

(7)

若μ是Rn的測度框架，且最優(yōu)下界為α2，由定義1得

(8)

再由μ是緊測度K-框架.那么由(7)和(8)知，

從而,

因此再利用引理2可得算子K是滿的.

(2)?(1).設(shè)算子K為滿射，由引理2可以找到正數(shù)c，使c‖x‖≤‖K*x‖，?x∈Rn.由于μ是Rn的測度K-框架，故存在正數(shù)α,β，使得,

因此

故(1)成立.證畢.

推論1 設(shè)K∈B(Rn)可逆，則μ∈M(Ω,Β)是Rn的測度K-框架.

[1] 丁明玲，肖祥春，朱玉燦.Hilbert空間中的K-框架[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014，57(6)：1090-1099.

[2] MEHLER.Random tight frames[J].Fourier Anal Appl，2012，18：1-20.

[3] 丁明玲，肖祥春，曾曉明.Hilbert空間中的緊K-框架[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，56(1)：105-112.

[4] MEHLER.Frame theory in directional statistics[J].Galanis-Statistics & Probability Letters，2011,158：1046-1051.

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[8] CHRISTENSEN O.Frames and pseudo-inverse[J].J Math Anal Appl,1995,195:401-414.