Full Spark框架擾動(dòng)的定理

王亞飛，楊守志

(汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063)

Full Spark框架擾動(dòng)的定理

王亞飛，楊守志

(汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東汕頭515063)

框架擾動(dòng)理論是框架研究中的一個(gè)活躍分支，本文針對Full Spark框架的擾動(dòng)問題，首先研究了框架的擾動(dòng)性質(zhì)，并說明框架與Full Spark框架區(qū)別.然后討論Full Spark框架擾動(dòng)問題，給出了Full Spark框架擾動(dòng)的定理.最后，進(jìn)一步研究了在算子意義下Full Spark框架的一些等價(jià)性質(zhì).

框架；Full Spark框架；擾動(dòng)；算子；等價(jià)

0 引言

框架的概念在1952年就已經(jīng)由Duffin和Schaeffer[1]在研究調(diào)和Fourier級數(shù)時(shí)引入.在這種定義下，框架具有與基相似的性質(zhì)，即利用框架可以表示空間中的任意元.然而不同的是框架的表示方法不唯一.在以后的半個(gè)世紀(jì)里，框架理論未引起重視. 1986年，三位小波方向的先驅(qū)Daubechies，Grossman和Meyer[2]發(fā)現(xiàn)可以利用框架將函數(shù)展開成類似標(biāo)準(zhǔn)正交基展開的級數(shù)的形式.自此，框架才受到越來越多的關(guān)注.這種關(guān)注主要集中于兩個(gè)大方向：一種是作為泛函分析的一個(gè)分支；一種是研究具體特殊形式的框架，如L2（R）上的小波框架.

在實(shí)際應(yīng)用中，主要是對有限維框架進(jìn)行研究，并影響著許多領(lǐng)域，如信號重構(gòu)、編碼理論、稀疏信號處理等.在這些應(yīng)用中，有一些需要構(gòu)造一類特殊性質(zhì)的框架，如在M維框架元素中要求每M個(gè)子元素是線性無關(guān)的.具有這類性質(zhì)的框架成為Full Spark框架.Spark的概念是Donoho和Elad在文獻(xiàn)[3]中首次提出的.但是Spark的概念在其它一些文獻(xiàn)也有類似的表述，如Gorodnitsky和Tao[4]、Tang和Nehorai[5].后來在文獻(xiàn)[6-8]中，對Full Spark框架的構(gòu)造、分類等方面進(jìn)行了研究，但是關(guān)于Full Spark框架特有的性質(zhì)還沒進(jìn)行討論.

框架擾動(dòng)理論是框架研究中的一個(gè)重要的方向.擾動(dòng)是指對已知的框架做一個(gè)微小的攝動(dòng)，其仍是一個(gè)框架.Casazza和Christensen在框架擾動(dòng)性上做過許多重要性的工作[9-11].根據(jù)已有的框架擾動(dòng)的知識，在有限維空間中框架、Riesz基和Riesz框架存在一個(gè)擾動(dòng)結(jié)果，見性質(zhì)1，但是這個(gè)性質(zhì)對于特殊的Full Spark框架并不成立.對于此，本文給出了Full Spark框架下的一個(gè)擾動(dòng)結(jié)果；最后在算子意義下討論了Full Spark框架一些等價(jià)性質(zhì).

1 相關(guān)基礎(chǔ)知識

本節(jié)給出一些基本概念.N表示自然數(shù)集，即N={1，2，…}；R表示實(shí)數(shù)集；C表示復(fù)數(shù)集；H，HM分別表示Hilbert空間、M維Hilbert空間；〈·，·〉表示H的上的內(nèi)積；l2（N）表示所有滿足

的序列c={cj}j∈N組成的空間.

定義1：設(shè){fk}k∈N為可分的Hilbert空間H的點(diǎn)列.如果存在常數(shù)A，B＞0，使得

則稱{fk}k∈N為H的一個(gè)框架，其中常數(shù)A，B為框架{fk}k∈N的框架上、下界.

定義2：設(shè){fk}k∈N為可分的Hilbert空間H的點(diǎn)列，若，如果存在常數(shù)A，B＞0，使得對任何{ck}k∈N∈l2成立

則稱{fk}k∈N為H的Riesz基，其中常數(shù)A，B為Riesz基{fk}k∈N的Riesz上、下界.

在框架中，如果（1）式中A＝B，則稱框架{fk}k∈N為緊框架；如果A＝B＝1，則稱框架{fk}k∈N為Parseval緊框架；如果對于所有的k，l∈N，｜｜fk｜｜＝｜｜fl｜｜，則稱框架{fk}k∈N為等范框架；如果對于所有的k∈N，｜｜fk｜｜＝1，則稱框架{fk}k∈N為單位范框架.如果（1）式僅右不等式成立，則序列{fk}k∈N稱為Bessel點(diǎn)列.如果框架{fk}k∈N去掉任何一個(gè)元素后不再是框架，則稱該框架{fk}k∈N為恰當(dāng)框架.

對于M維Hilbert空間，（1）式中的框架上界B是平凡存在的，也就是說，在這種有限維集合中，框架的概念僅要求框架下界A是大于0的.

定義3：假設(shè)為空間HM上的框架，稱算子S=TT*:HM→HM為框架的框架算子，定義如下：

定義4：在矩陣F中，稱它的最小線性相關(guān)子集的列的個(gè)數(shù)為該矩陣的Spark[3]，即

根據(jù)線性代數(shù)的知識，如果一個(gè)M×N矩陣是Full Spark，則它的每個(gè)M×M子矩陣都是非奇異的，也就是說它是滿秩的.因此，該矩陣就可以看作是一個(gè)框架.

對于HM上的框架，稱該框架為Full Spark框架，即是說框架矩陣F是Full Spark的.

在文獻(xiàn)[12]中，有限維空間中框架、Riesz基和Riesz框架上存在如下一個(gè)擾動(dòng)結(jié)果，

性質(zhì)1：設(shè)為界為A，B的框架（Riesz基或Riesz框架），如果存在常數(shù)λ1，λ2，μ≥0滿足，且對任意有限數(shù)列c1，c2，…，cn，n∈N，n≤N有

注：有限維框架一定是Riesz框架，故性質(zhì)1可以只考慮有限維框架與Riesz基.但性質(zhì)1對于Full Spark框架并不成立，反例如例1.

例1：在R2中，設(shè)，容易證明都是R2上的框架，而且是Full Spark框架.通過計(jì)算可以求得框架的下界為19，又容易驗(yàn)證對任意實(shí)數(shù)列c1，c2，…，c4有

顯然在λ1＝1/2，λ2＝0，μ＝1意義下，上式滿足性質(zhì)1的擾動(dòng)條件（對于n＜4的情況類似），但是又很容易發(fā)現(xiàn)框架不是Full Spark框架.

例1對于性質(zhì)1表明Full Spark框架失效，則說明在擾動(dòng)意義下，框架與Full Spark框架是有區(qū)別的.要想考慮在Full Spark框架下的擾動(dòng)性，就需要把性質(zhì)1中的條件中再加強(qiáng)約束.

2 Full Spark框架的擾動(dòng)結(jié)果

作為本文的重點(diǎn)部分，本節(jié)給出了Full Spark框架擾動(dòng)的結(jié)果.

定理1：設(shè)為HM上界為A，B的Full Spark框架，如果存在常數(shù)λ1，λ2≥0滿足max{λ1，λ2}＜1，且對任意有限數(shù)列c1，c2，…，cn，n∈N，n≤N，有

證明：Full Spark框架是一類特殊的框架，故按照上述性質(zhì)中的方式擾動(dòng)后得到的仍是一個(gè)框架，取性質(zhì)1的特殊情況，即μ＝0時(shí)，則擾動(dòng)后的框架界為A（1-λ1）2/（1+ λ2）2，A（1+λ1）2/（1-λ2）2.因此，本定理，只需證明擾動(dòng)后的仍為Full Spark即可，也就是說要證明中任意M列都是線性無關(guān)的.

注：如果性質(zhì)1中考慮的，即含有無限個(gè)元素的框架，那么仍按照性質(zhì)1的擾動(dòng)條件，結(jié)論一樣成立，即性質(zhì)1中Full Spark框架的元素個(gè)數(shù)可以是無限多的.

3 算子意義下Full Spark框架的擾動(dòng)

定理2：設(shè)為HM上的Full Spark框架，L為有界線性可逆算子，那么設(shè)是HM上的Full Spark框架.

推論1：設(shè)為HM上的Full Spark框架，A為N×N的非奇異矩陣，那么是HM上的Full Spark框架.

推論2：設(shè)為HM上的Full Spark框架，那么形成的矩陣經(jīng)過行的初等變換后仍是HM上的Full Spark框架.

注：矩陣作行（列）初等變換，實(shí)際上是在該矩陣左（右）乘以一個(gè)初等矩陣.初等矩陣又是非奇異的，根據(jù)推論1顯然可得到推論2.

推論3：設(shè)F=[AM×MBM×N-M]為CM上的Full Spark框架，那么AM×M-1F=[IMAM×M-1BM×N-M]仍為CM上的Full Spark框架，而且還是一個(gè)最優(yōu)稀疏的Full Spark框架.

證明：根據(jù)定理2，顯然AM×M-1F仍是一個(gè)Full Spark框架，且與原框架在表示CM上是等價(jià)的.下面只要說明這個(gè)框架是在所有M×N類型的Full Spark框架下是最優(yōu)稀疏的即可.

根據(jù)文獻(xiàn)[6]所述，所有M×N類型的Full Spark框架中存在最優(yōu)稀疏Full Spark框架，該框架中總共有M（M-1）個(gè)零元素.而推論3中矩陣AM×M-1F的零元素個(gè)數(shù)為M（M-1）個(gè)，而且不可能有多余這個(gè)數(shù)的零元素存在，即塊矩陣AM×M-1BM×N-M中不可能存在零元素.為了說明這個(gè)結(jié)論，只需用反證法證明.

假設(shè)AM×M-1BM×N-M中存在一個(gè)零元素，位置在矩陣AM×M-1BM×N-M的（i，j）處，那么它處框架矩陣AM×M-1F的第M+j列，表示該列向量（第j列）的形式為

其中，*表示非零常數(shù).如果用上述列向量替換矩陣AM×M-1F=[IMAM×M-1BM×N-M]中的塊IM第i列向量，得到

其中省略部分全是0元素.不難發(fā)現(xiàn)此矩陣的行列式為0，這與AM×M-1F是Full Spark框架矛盾.故假設(shè)不成立，即塊矩陣AM×M-1BM×N-M中不可能存在零元素.證畢.

注：推論3對于Full Spark框架的構(gòu)造是有重要意義的.因?yàn)樗哪嫘问骄褪且话鉌ull Spark框架的構(gòu)造方法.

4 總結(jié)及展望

在向量空間中，框架與基有類似的性質(zhì)，即可以將空間中的每一個(gè)元素表示成一組框架元素的線性組合，但各框架元素之間并不要求是線性獨(dú)立的，也就是說可以將框架看成一組基加上一些元素構(gòu)成的.因此，若一組框架元素確定，在已知的空間中的元素由框架的表示法不唯一.這在數(shù)字信號處理等實(shí)際應(yīng)用中具有重要作用.Full Spark框架在實(shí)際運(yùn)用中具有最大魯棒性、能夠檢測信號零點(diǎn)等優(yōu)勢，應(yīng)用前景廣闊，研究價(jià)值較高.本文在擾動(dòng)與等價(jià)方面研究了Full Spark框架的性質(zhì)，在例證了原有的擾動(dòng)定理在Full Spark框架后，提出了針對Full Spark框架的擾動(dòng)定理，而后在算子意義下進(jìn)一步研究了Full Spark框架的擾動(dòng)性質(zhì).這些研究結(jié)果使得Full Spark框架的理論更加豐富，應(yīng)用中對具體Full Spark框架的選擇自由度更多.

在本文的研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，可以結(jié)合現(xiàn)有Full Spark框架的構(gòu)造方法均是通過特殊矩陣這種情況，通過逆用推論3的過程，從理論深度上對Full Spark框架的構(gòu)造作進(jìn)一步構(gòu)造研究.

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[12]李登峰，薛明志.Banach空間上的基和框架[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

Theorem s on Perturbation of Full Spark Frames

WANG Yafei，YANG Shouzhi
（Department of Mathematics，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong，China）

Perturbation theory of frames is an active branch of frames theory.In this paper，the perturbation of frames is studied，aiming at perturbation of full spark frames.The difference between frames and full spark frames is also illustrated.The perturbation of full spark frame is discussed and a perturbation theorem is given. Finally，the equivalences of full spark frames are further researched.

frames；full spark frames；perturbation；operator；equivalence

O 177.2

A

1001-4217（2015）01-0024-06

2014-10-19

王亞飛（1989-），男，河南沈丘人，在讀碩士研究生.研究方向：小波分析與應(yīng)用. E-mail：wyf0525@163.com