論數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)

樊帆 周林林

摘 要：數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)的原理應(yīng)用到具體問題中的一種基本方法，但往往具體的數(shù)學(xué)原理很難直接被應(yīng)用到建立數(shù)學(xué)模型之中，為了增強(qiáng)實(shí)用性，就要在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中引入一系列數(shù)學(xué)模型，會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理的過程中體會(huì)到原理的具體應(yīng)用的妙處，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開闊學(xué)生的思路，從而能夠更好的將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到解決實(shí)際問題之中。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);教學(xué)

任高校數(shù)學(xué)教師以來，一直發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，感覺高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過于抽象，定義、定理、性質(zhì)、計(jì)算，一切教學(xué)的目的皆圍繞著令學(xué)生掌握數(shù)學(xué)原理與公式，其結(jié)果就是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中長期要應(yīng)付各種各樣的公式與定理，對于本來對數(shù)理方面要求較高的專業(yè)而言，這是一個(gè)打牢基礎(chǔ)的必要過程，然而對于一些工科，經(jīng)濟(jì)等對理論要求不高，而更傾向于數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用的學(xué)科而言，一味講授抽象的理論知識，會(huì)令學(xué)生感覺所學(xué)理論與所用相去甚遠(yuǎn)，進(jìn)而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭學(xué)的心理，而為了改變數(shù)學(xué)教學(xué)的這種特性，引入數(shù)學(xué)建模的思想是很有意義的。

一、數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的聯(lián)系

近年來經(jīng)過一系列建模競賽容易發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模的思想是對我們所掌握的數(shù)學(xué)原理在解決現(xiàn)實(shí)問題中的直接應(yīng)用，而這種應(yīng)用可以很好的將抽象的數(shù)學(xué)理論直接與具體實(shí)際聯(lián)系起來，通過學(xué)生對問題觀察分析，并且尋找適當(dāng)數(shù)學(xué)工具的過程，培養(yǎng)學(xué)生的自主解決問題的能力與創(chuàng)新思維。而通過對幾組學(xué)生對同一個(gè)建模問題采用不同方式解決的過程，教師往往可以看到很多在日常教學(xué)中學(xué)生難以表現(xiàn)出來的各種奇思妙想，而這種思維能力如果加以培養(yǎng)很可能會(huì)成為學(xué)生在日后的學(xué)習(xí)與研究中提出新觀點(diǎn)、新思路以及獨(dú)創(chuàng)見解的基礎(chǔ)。

基于此種考慮，我們?nèi)菀卓闯?，在日常的高?shù)教學(xué)中引入建模案例，必然會(huì)使原本枯燥的單純講授理論，向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)的原理，轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生思考高數(shù)原理在具體實(shí)際中是如何被應(yīng)用的，達(dá)到激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好掌握數(shù)學(xué)工具，并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的目的。

二、微分方程的建模案例

在高等數(shù)學(xué)中，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模中的就是微分方程這部分的知識，而在此我們將常見的幾種微分方程以及相應(yīng)的建模案例列舉如下

1.可分離變量的微分方程——馬爾薩斯人口模型

英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率基本上是一個(gè)常數(shù)，因此可將人口總數(shù)表示為

[dNdt=rN]（1.1）

顯然，這是一個(gè)可分離變量的微分方程，根據(jù)可分離變量微分方程的計(jì)算公式有

[dNN=rdt?N=N0er（t-t0）]

其中[N0=N（t0）]即初始時(shí)刻的人口數(shù)量。

2.一階線性微分方程——RLC電路

包含電阻[R]電感電容[C]以及電源[E]的電路稱為RLC電路，由基爾霍夫第二定律可以得到如下方程：

[dIdt+RLI=EL]

易見，這是一個(gè)一階奇次線性微分方程，則代入初始條件，根據(jù)一階奇次線性微分方程的通解表達(dá)式，容易求得該方程的解。

3.高階微分方程——懸鏈線方程

設(shè)一理想的柔軟不能伸縮的細(xì)線，兩端分別掛在以[A，B]支點(diǎn)上，由于重力作用自然彎曲，求懸鏈線形狀[y=y（x）]，為解決此問題，我們可以得到如下方程：

[d2ydx2=a1+（dydx）2]

則按高階微分方程求解法求解，可求出懸鏈線的形狀表達(dá)式。

通過以上幾個(gè)問題，我們發(fā)現(xiàn)，在微分方程的教學(xué)過程中引入具體的建模案例，會(huì)將微分方程的實(shí)用性直接展示在學(xué)生面前，擴(kuò)展學(xué)生的思路。

三、高等數(shù)學(xué)其他的一些建模案例

除了微分方程之外，還有一些理論都可以在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模的思路，比如學(xué)習(xí)函數(shù)的極值與最值問題時(shí)，我們可以引入可口可樂罐的形狀設(shè)計(jì)模型：為了使可口可樂的飲料罐設(shè)計(jì)最為合理以達(dá)到大批量生產(chǎn)時(shí)節(jié)約原料縮減成本的目的，廠家在設(shè)計(jì)飲料瓶的時(shí)候往往會(huì)在形狀上進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)，在同樣的容積的前提下，尋找表面積最小且方便攜帶的形狀是設(shè)計(jì)飲料瓶形狀的基本目的，而為了實(shí)現(xiàn)這種目的，則可以將容積設(shè)為定值，從而利用求函數(shù)最小值的方法，尋找表面積最小的直徑與高度，從而實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)。

除此之外數(shù)學(xué)建模還可以應(yīng)用到很多其他的數(shù)學(xué)理論之中，而在不同的內(nèi)容中引入數(shù)學(xué)建模的不同案例，可以將高等數(shù)學(xué)的各知識點(diǎn)與具體問題緊密的結(jié)合在一起，使高等數(shù)學(xué)的教學(xué)不再是單純的知識傳授，還可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

而具體如何將建模思想更好的和高等數(shù)學(xué)的教學(xué)相融合，還需要在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]微分方程與數(shù)學(xué)建模吳丹桂《景德鎮(zhèn)高專學(xué)報(bào)》200015卷12期。

[2]數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)學(xué)與社會(huì)學(xué)中的應(yīng)用。陳翀《企業(yè)經(jīng)濟(jì)》2010年第4期

[3]《應(yīng)用微分方程》李瑞遐華東理工大學(xué)出版社2005年版

作者簡介：

樊帆（通訊作者）（1981.09～ ），性別：男，漢族，籍貫：北京，學(xué)歷：碩研。