基于SBFEM和機(jī)器學(xué)習(xí)的薄板結(jié)構(gòu)缺陷反演

趙林鑫，江守燕，杜成斌

(河海大學(xué)工程力學(xué)系，南京 211100)

缺陷損傷檢測識別技術(shù)長期以來一直是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。目前，基于振動的損傷檢測方法在土木工程、航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。其檢測的基本原理是：結(jié)構(gòu)振動特性是其物理參數(shù)的函數(shù)，結(jié)構(gòu)損傷意味著結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的改變，而物理參數(shù)的改變必然引起結(jié)構(gòu)振動特性的改變[1]。對動力測試信號進(jìn)行分析和處理，可獲得結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的改變情況，達(dá)到損傷識別的目的。

目前基于振動響應(yīng)的板類結(jié)構(gòu)損傷檢測識別技術(shù)有很多[2?4]，其中Lamb波檢測技術(shù)由于具有傳播衰減小、傳播距離長、檢測效率高等優(yōu)點(diǎn)，常被應(yīng)用在板類結(jié)構(gòu)的損傷檢測中，如基于相位延遲疊加法[5]、結(jié)合橢圓定位和數(shù)據(jù)融合的方法[6]以及小波分析法[7]等。鄭陽等[8]采集缺陷周圍的散射信號并繪制散射系數(shù)周向分布圖，根據(jù)圖形特征進(jìn)行通孔和通透裂紋兩種缺陷的種類識別；劉增華等[9]對鋁板中Lamb波信號進(jìn)行連續(xù)小波變換，從時頻圖中識別出缺陷信號的頻率成分，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)缺陷的定位；嚴(yán)宏等[10]提取結(jié)構(gòu)損傷前后的信號能量特征差異系數(shù)作為損傷指標(biāo)，結(jié)合概率統(tǒng)計方法和成像算法，給出了損傷存在概率圖像；Moustafa等[11]基于Lamb波分形特性進(jìn)行損傷檢測，并結(jié)合層析成像算法識別板狀結(jié)構(gòu)中的損傷。以上研究均根據(jù)振動響應(yīng)信號的變化特性，解決了板類結(jié)構(gòu)中損傷種類識別以及損傷定位的問題，但未進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)缺陷的幾何尺寸定量反演，且一些方法存在噪聲免疫力弱的問題。實(shí)際應(yīng)用中，若無法對損傷進(jìn)行量化，進(jìn)一步預(yù)測損傷結(jié)構(gòu)的剩余壽命或剩余強(qiáng)度是非常困難的。因此對結(jié)構(gòu)中存在的缺陷進(jìn)行精確定位和定量反演對結(jié)構(gòu)損傷檢測具有重要意義。

計算力學(xué)方法與智能算法的結(jié)合已廣泛應(yīng)用于缺陷定量反演問題中并取得了不錯的效果[12?19]。比如，Liu等[12]和Wu等[13]利用樣條無單元法計算得到的諧波響應(yīng)作為輸入?yún)?shù)，并結(jié)合遺傳算法計算了板類結(jié)構(gòu)中缺陷的位置和大?。唤匮嗟萚14]基于頻率和模態(tài)保證準(zhǔn)則，結(jié)合擴(kuò)展有限元法和人工蜂群算法，建立了結(jié)構(gòu)內(nèi)部多缺陷反演模型；張偉等[15]通過有限元法獲取數(shù)據(jù)樣本，用波形逼近技術(shù)提取了檢測信號特征，并引入支持向量機(jī)，實(shí)現(xiàn)了較高精度的缺陷尺寸遠(yuǎn)場渦流檢測定量反演；Ma等[16]和Du等[17]基于動力擴(kuò)展有限元法和人工智能算法均實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)內(nèi)部多缺陷的數(shù)量、大小和位置的精確反演。然而，上述研究雖然一定程度上解決了缺陷定量反演的問題，但也存在目標(biāo)函數(shù)最小化迭代過程中耗時計算的問題。

論文基于單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立動力響應(yīng)與缺陷尺寸之間的非線性映射關(guān)系，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)和比例邊界有限元法(Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM)的優(yōu)點(diǎn)，建立適用于薄板結(jié)構(gòu)裂紋狀缺陷識別的反演模型，并研究該反演模型在測量噪聲影響下的魯棒性問題。

1 波動問題的比例邊界有限元法

1.1 比例邊界有限元法基本公式

在SBFEM中，僅需要對區(qū)域邊界進(jìn)行離散，因而可以使得計算維度降低一維[20?21]。如圖1所示，定義局部坐標(biāo)系 ξOη ，其中 ξ為徑向坐標(biāo)，η為環(huán)向坐標(biāo)。在 ξ=0處設(shè)置一個比例中心，比例中心需要滿足對子域中任何一點(diǎn)的可見性。在環(huán)向邊界上， ξ=1。對于包含裂紋的子域，裂紋尖端即為比例中心，通過在與裂紋面相鄰的兩個邊界單元之間留下一個小的間隙來模擬裂紋，裂紋面無需離散。在以比例中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O的笛卡爾坐標(biāo)系xOy中，子域內(nèi)的任意一點(diǎn)可以用 ξ 和 η表示為：

圖1 SBFEM子域示意圖Fig. 1 Subdomain in the SBFEM

式中：N(η) 為邊界單元形函數(shù)矩陣；xb、yb為邊界上單元結(jié)點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)向量。

局部坐標(biāo)系 ξOη下的位移場可表示為：

由式(3)可知，在推導(dǎo)任意點(diǎn)的位移時，SBFEM僅在環(huán)向 η方向上采用插值函數(shù)，在徑向 ξ方向上是解析的。

在二維情況下，SBFEM動力平衡方程為[22?23]：

引入動力剛度矩陣S(ω,ξ)，式(4a)可以演變?yōu)楹兞喀?、ω的常微分方程，于是，得到采用動力剛度矩陣描述的平衡方程：

在邊界 ξ=1上，動力剛度矩陣可以表示為靜力剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M以及高階項(xiàng)的組合[24]，參見文獻(xiàn)[25]引入輔助變量改進(jìn)連分式，能夠在一定程度上提高計算結(jié)果的穩(wěn)定性。時域分析的離散方程可表示為：

其中：

采用Newmark隱式時間積分算法可求解離散方程式(7a)。在常規(guī)有限元法中，當(dāng)裂紋的長度或開裂角發(fā)生改變時，需要對網(wǎng)格進(jìn)行重劃分，而在SBFEM中，可以通過改變裂紋所在子域的比例中心的位置對裂紋進(jìn)行改變，一定程度上減少了需要進(jìn)行重劃分的網(wǎng)格數(shù)量，提升了計算效率，在對裂紋結(jié)構(gòu)的模擬計算中具有一定的優(yōu)勢[26]。

1.2 波動問題的求解

數(shù)值模擬中，需要已知傳播Lamb模態(tài)的波數(shù)，并利用群速度來獲得建模的時間范圍。用SBFEM可以非常有效地計算薄板結(jié)構(gòu)的波動問題。波動問題可轉(zhuǎn)化為板中波數(shù)k的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題[27 ? 28]：

式中：u(ξ) 和q(ξ)分別為結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力在頻域中的幅值；i為虛數(shù)單位。

對給定頻率ω求解式(8a)，得到波導(dǎo)模態(tài)的波數(shù)k。特征向量 Ψ (ξ)定義了模態(tài)振型，即結(jié)點(diǎn)處特定模態(tài)的位移和力的振幅。計算了與頻率ω相關(guān)的模態(tài)波數(shù)k后，群速度cg(ω)可通過下式得到：

2 基于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的缺陷反演模型

機(jī)器學(xué)習(xí)是通過數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的技術(shù)，數(shù)據(jù)指的是文檔、圖像、聲音等各類信息，模型是機(jī)器學(xué)習(xí)的最終輸出結(jié)果，機(jī)器學(xué)習(xí)在建立模型過程中所使用的數(shù)據(jù)叫做“訓(xùn)練數(shù)據(jù)”，圖2給出了建立機(jī)器學(xué)習(xí)模型的流程。機(jī)器學(xué)習(xí)建立模型的核心思想是在不容易建立公式和規(guī)則的情況下，使用訓(xùn)練的數(shù)據(jù)“通過合適的算法構(gòu)建出一個模型”[29?30]，因此，獲取足夠的反映問題特性的訓(xùn)練數(shù)據(jù)對于機(jī)器學(xué)習(xí)算法至關(guān)重要。

圖2 建立機(jī)器學(xué)習(xí)模型流程Fig. 2 The process of modeling machine learning

2.1 缺陷反演思路

缺陷反演需要在結(jié)構(gòu)上安裝傳感器，采集結(jié)構(gòu)的動力特性(頻率、振型)和動力響應(yīng)(動位移、速度、加速度)。當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度改變，量測結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)信號也隨之改變?；谶@些結(jié)構(gòu)振動特性的改變，便可以運(yùn)用算法對結(jié)構(gòu)內(nèi)部的缺陷損傷進(jìn)行識別。作為板狀結(jié)構(gòu)中傳播的超聲導(dǎo)波，Lamb波在遇到板中的缺陷時，會發(fā)生散射、反射和透射現(xiàn)象，此時，接收到的信號幅值、頻率成分以及模態(tài)會發(fā)生變化，信號中包含了結(jié)構(gòu)的缺陷信息，通過對信號進(jìn)行采集分析并提取出其中所包含的缺陷信息，就可以對缺陷的存在、大小、類型以及位置等進(jìn)行判別。相較于靜響應(yīng)(位移、應(yīng)變)，結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)信息(加速度、速度、動位移等)更易通過傳感器采集得到。

圖3給出了在具有不同缺陷深度的2 mm厚薄板上施加均勻分布的對稱脈沖荷載(見3.1節(jié)式(13))激發(fā)Lamb波時某固定觀測點(diǎn)處的時域位移響應(yīng)，當(dāng)缺陷的深度分別為0.6 mm、1.2 mm、1.8 mm時，相應(yīng)的時域信號如圖中所示，初始階段由于Lamb波信號尚未傳播至缺陷處，故三種信號波形重合，但當(dāng)Lamb波到達(dá)缺陷時，觀測點(diǎn)上的波形發(fā)生變化，這種波形變化包含著缺陷信息：當(dāng)缺陷深度較大時，增加的波形的y方向位移也較大。如果加以改變?nèi)毕莸膫€數(shù)、位置，則時域信號的波形變化更為豐富?？傮w而言，固定觀測點(diǎn)觀測到的波形隨著板中裂紋數(shù)目、裂紋長度、裂紋開裂角的改變發(fā)生變化，當(dāng)入射波模態(tài)不同時，相應(yīng)的波形變化也會不同[26]。由于波形變化的影響因素較多，僅通過分析固定觀測點(diǎn)處的波形信號變化來獲得裂紋信息難度較大。

圖3 不同裂縫深度下時域位移響應(yīng)Fig. 3 Displacement responses in the time domain under different crack depths

結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)與缺陷信息間是不容易建立某種公式來描述的，基于前述機(jī)器學(xué)習(xí)算法的啟發(fā)，通過大量的訓(xùn)練樣本，利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法建立動力響應(yīng)與缺陷信息之間的模型，從而識別結(jié)構(gòu)中的缺陷大小、位置等信息是一種行之有效的方法。

2.2 機(jī)器學(xué)習(xí)模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，作為機(jī)器學(xué)習(xí)的一個模型，已經(jīng)被廣泛地使用。文中利用單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立含缺陷結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)與缺陷尺寸之間的映射關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。特別提出，計算的動位移是在總時間為45 μs、時間增量為0.03 μs的1500個時間步下計算得到的，即每一個缺陷樣本包含1503個數(shù)據(jù)(1500個動位移數(shù)據(jù)作為輸入，2個缺陷形狀參數(shù)和1個位置參數(shù)作為輸出)，因此，訓(xùn)練數(shù)據(jù)集是非常龐大的。文中利用新型的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)?極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine，ELM)作為學(xué)習(xí)規(guī)則訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，ELM模型[31]由于其極快的學(xué)習(xí)速度和良好的泛化能力，大大提升了反演模型的效率，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于：1)輸入層和隱含層的連接權(quán)值、隱含層的閾值可以隨機(jī)設(shè)定，且設(shè)定完后無需再次調(diào)整，無需要像BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣不斷反向去調(diào)整權(quán)值和閾值，因此能減少一半的運(yùn)算量；2)隱含層和輸出層之間的連接權(quán)值 β無需迭代調(diào)整，可通過解方程組方式一次性確定。研究表明，通過這樣的運(yùn)算規(guī)則，模型的泛化性能好，求解效率高，在保證學(xué)習(xí)精度的前提下比傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)算法速度更快。

設(shè)有一個含有N個樣本的訓(xùn)練集L={(xj,tj)|xj∈Rn,tj∈Rm,j=1,2,···N} ，其中xj是第j個輸入向量，tj是第j個目標(biāo)輸出向量。一個含有N?個隱層節(jié)點(diǎn)的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激勵函數(shù)為：

其中：

通過分配隨機(jī)值參數(shù)wi和bj，線性系統(tǒng)的輸出權(quán)值可以計算為：

其中：

式中：H?為隱含層輸出矩陣H的廣義摩爾逆；β 和T分別表示輸出權(quán)矩陣和目標(biāo)矩陣。

三步ELM算法可總結(jié)如下：

輸入：數(shù)據(jù)集D，隱含層神經(jīng)元數(shù)目N?，激勵函數(shù)g(?)。

輸出：輸出權(quán)重β。

步驟1：隨機(jī)產(chǎn)生輸入權(quán)重wi和隱含層偏置bi，i=1,2,···,N?；

步驟2：計算隱含層輸出矩陣H；

步驟3：計算輸出權(quán)重β ： β=H?T。

值得指出的是，文中采用ELM作為機(jī)器學(xué)習(xí)的一個模型進(jìn)行研究，但論文的思路和方法也適用于采用其他的基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型，比如感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[32]等。

2.3 缺陷反演模型

論文結(jié)合SBFEM數(shù)值模擬和機(jī)器學(xué)習(xí)算法，提出了一種薄板結(jié)構(gòu)中缺陷的反演模型，該模型主要分為前處理和反演兩個階段：

1)前處理階段：在一個無缺陷薄板中隨機(jī)生成缺陷信息使其變成含缺陷薄板，并儲存缺陷信息(缺陷的位置、深度、開裂角)，同時利用SBFEM計算該缺陷薄板的觀測點(diǎn)處的Lamb波動力響應(yīng)。此時，一個訓(xùn)練樣本已經(jīng)構(gòu)建完畢，缺陷信息即為樣本的數(shù)據(jù)標(biāo)簽，動力響應(yīng)即為樣本的數(shù)據(jù)特征。如此重復(fù)構(gòu)建大量的訓(xùn)練樣本，形成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集。用ELM算法對訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練，得到一個各部分權(quán)重已確定的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(圖4中輸入層與隱含層、隱含層與輸出層之間連接權(quán)值已確定)，從而構(gòu)建數(shù)據(jù)標(biāo)簽與數(shù)據(jù)特征之間的關(guān)系，即動力響應(yīng)與缺陷信息之間的非線性映射關(guān)系。此時整個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)好比一個“黑匣子”，輸入一個動力響應(yīng)便輸出對應(yīng)的缺陷信息。

圖4 用于反演缺陷的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig. 4 The structure of single hidden layer neural network for detecting flaws

2)反演階段：針對一個缺陷信息未知的薄板，通過試驗(yàn)對其激發(fā)Lamb波得到觀測點(diǎn)處實(shí)測的動力響應(yīng)，將該動力響應(yīng)輸入“黑匣子”，從而獲得預(yù)測的缺陷信息。

缺陷反演模型流程如圖5所示。

圖5 反演模型實(shí)現(xiàn)流程Fig. 5 Flow chart of inversion model

3 數(shù)值算例

3.1 單個開口缺陷的反演

如圖6(a)所示，待研究的薄板內(nèi)部缺陷形式為單個開口缺陷(具有一定開裂角和開裂深度的裂紋)，可用三個參數(shù)來近似描述這樣的缺陷，裂紋尖端坐標(biāo)xc、裂紋垂向深度d和半開裂角 α。缺陷板的長度為180 mm，厚度為2 mm，彈性模量為E=200GPa ，泊松比為ν=0.3 ，密度為ρ=7850kg/m3。板為自由邊界，在板的最左端施加均勻分布的對稱脈沖荷載激發(fā)Lamb波，施加的脈沖荷載時程為：

圖6 含缺陷的薄板結(jié)構(gòu)幾何尺寸及SBFEM離散單元Fig. 6 The geometrical dimension of a thin plate structure with flaws and the SBFEM discretized domain

其中，f=0.6MHz ， σ=2μs ，μ=6μs。固定的信號觀測點(diǎn)P設(shè)置在板下表面xP=30mm處。

數(shù)值計算時，采用基于Guass-Lobatto-Legendre積分的7階線單元組成的S單元離散板的邊界，板邊界被離散成907個結(jié)點(diǎn)，156個線單元，31個子域，8516個自由度，離散單元的代表性部分如圖6(b)所示，連分式展開階數(shù)Mcf取5，數(shù)值計算的總時間t為45 μs，分析步時間 ?t為0.03 μs。

基于ELM進(jìn)行反演分析時，將觀測點(diǎn)P的動位移作為單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，將3個待反演參數(shù)(裂紋尖端坐標(biāo)xc、半開裂角 α和裂紋深度d)作為輸出，輸入數(shù)據(jù)被歸一化到 [0,1]范圍，隱含層神經(jīng)元個數(shù)采用試錯法確定為240。本算例中，2000個隨機(jī)生成的缺陷板以及對應(yīng)的觀測點(diǎn)動力響應(yīng)樣本用于訓(xùn)練單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。訓(xùn)練結(jié)束后，交叉驗(yàn)證采用200個缺陷板樣本，以待反演參數(shù)裂縫深度為例，這些用于交叉驗(yàn)證的缺陷板裂紋深度的分布如圖7所示，可以看到，200個樣本的裂紋深度是隨機(jī)分布的，將這200個樣本的觀測點(diǎn)處的動力響應(yīng)作為訓(xùn)練好的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，該網(wǎng)絡(luò)對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，輸出200個樣本的預(yù)測裂紋深度，然后將預(yù)測的裂紋深度與真實(shí)值進(jìn)行比較，圖8給出了經(jīng)過2000個樣本訓(xùn)練之后的交叉驗(yàn)證誤差的分布，200個樣本的交叉驗(yàn)證誤差大部分在2%以下，交叉驗(yàn)證的平均誤差為0.79%。因此，在交叉驗(yàn)證中沒有發(fā)現(xiàn)明顯的過擬合現(xiàn)象，可以進(jìn)一步利用該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測實(shí)際缺陷板樣本的缺陷信息。

圖7 200個樣本的裂紋深度分布Fig. 7 Crack depth distribution in 200 samples

圖8 交叉驗(yàn)證誤差分布Fig. 8 Cross validation error distribution

建立該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目的是反演實(shí)際樣本的缺陷尺寸?，F(xiàn)選取一個缺陷未知的真實(shí)樣本，圖9為實(shí)測觀測點(diǎn)處動力響應(yīng)信號(該實(shí)測信號通過SBFEM模擬得到)，通過該實(shí)測信號利用文中建立的反演模型進(jìn)行缺陷信息預(yù)測。將圖9中的動力響應(yīng)信號作為訓(xùn)練好的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，需要說明的是，該真實(shí)樣本未在訓(xùn)練過程中使用過。由于ELM的初始權(quán)重值是隨機(jī)生成的，為了避免偶然性以及象征性地表明文中反演模型的概率統(tǒng)計特征，反演過程采用1000次的蒙特卡洛模擬，即將反演程序連續(xù)獨(dú)立運(yùn)行1000次，根據(jù)1000次模擬的統(tǒng)計特征來獲得反演問題的近似解。1000次蒙特卡洛模擬后的反演結(jié)果的頻率直方圖如圖10所示，橫坐標(biāo)表示每個反演參數(shù)的反演值，縱坐標(biāo)表示1000次模擬后該反演值出現(xiàn)的次數(shù)，并對1000次反演結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布擬合，繪制正態(tài)分布擬合曲線，如圖中實(shí)線，并得到正態(tài)分布擬合曲線的期望值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，期望值即為最后的反演結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)差則決定了概率分布的幅度，最終的反演結(jié)果如表1所示。

圖9 待反演缺陷的模擬量測信號Fig. 9 Simulated measurement signal of the identified defect

圖10 單個開口缺陷1000次蒙特卡洛模擬后的反演結(jié)果正態(tài)擬合頻率直方圖Fig. 10 Normal fitting frequency histogram of identified results after 1000 Monte Carlo simulations for single opening flaw

表1 單個開口缺陷的反演結(jié)果及誤差Table 1 Identified results and errors of single opening defect

可以看出，對于單個開口缺陷，建立的反演模型可以十分準(zhǔn)確地探測出缺陷的信息。另外值得注意的是，由于ELM極快的學(xué)習(xí)速度，1000次蒙特卡洛模擬所需的時間成本極低，總計共需僅323 s左右，反演效率得到極大地提高。

3.2 兩個開口缺陷的反演

本節(jié)探討建議的反演模型對于多缺陷識別的適用性，本算例中雙裂紋板的尺寸、邊界條件、計算網(wǎng)格、材料參數(shù)及荷載條件同3.1節(jié)，連分式展開階數(shù)Mcf同樣取5，但板表面含有兩個開口裂紋，如圖11所示，雙開口裂紋共有6個反演參數(shù)：第一個裂紋的尖端坐標(biāo)x1、裂紋深度d1、半開裂角 α1，以及第二個裂紋的尖端坐標(biāo)x2、裂紋深度d2、半開裂角 α2。固定的信號觀測點(diǎn)P仍設(shè)置在板的下表面xP=30mm處，實(shí)測動位移信號仍通過SBFEM數(shù)值解模擬得到。

圖11 雙開口缺陷裂紋板Fig. 11 A cracked plate with two opening flaws

本算例中，仍然采用2000個隨機(jī)生成的缺陷板組以及對應(yīng)的觀測點(diǎn)動力響應(yīng)樣本用于訓(xùn)練單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最后采用經(jīng)過訓(xùn)練的模型預(yù)測缺陷信息。圖12為待反演缺陷板的觀測點(diǎn)動力響應(yīng)圖，將其作為訓(xùn)練好的單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)。圖13給出了經(jīng)過1000次蒙特卡洛模擬后的反演結(jié)果正態(tài)擬合頻率直方圖，最終的反演結(jié)果及誤差值如表2所示。可以看出，在進(jìn)行1000次蒙特卡洛模擬之后，作為最終反演結(jié)果的概率分布期望值能很好地逼近真實(shí)結(jié)果，因此，文中提出的反演模型對于多缺陷識別也具有較好的適應(yīng)性，能較準(zhǔn)確地探測多個缺陷的位置和尺寸參數(shù)。

表2 兩個開口裂紋的反演結(jié)果及誤差Table 2 Identified results and errors of two opening flaws

圖12 雙開口缺陷裂紋板的模擬量測信號Fig. 12 Simulated measurement signal of double-crack plate

圖13 兩個開口缺陷1000次蒙特卡洛模擬后的反演結(jié)果正態(tài)擬合頻率直方圖Fig. 13 The normal fitting frequency histogram of the identified results after 1000 Monte Carlo simulation of two opening flaws

3.3 魯棒性分析

實(shí)際問題中，傳感器測量誤差、人工測量誤差會導(dǎo)致測量到的動力響應(yīng)信號含有一定程度的噪聲。本算例為了分析測量噪聲對缺陷參數(shù)識別的影響，考慮了測量數(shù)據(jù)中的各種噪聲污染程度，以驗(yàn)證文中提出的反演模型的魯棒性。本算例同3.2，只是在通過SBFEM數(shù)值解得到的結(jié)構(gòu)實(shí)際動力響應(yīng)值的基礎(chǔ)上引入一定的高斯白噪聲來模擬有噪聲的量測動力響應(yīng)信號，含噪聲的實(shí)測動位移向量um通過下式計算得到[33]：

式中：uc表示通過SBFEM計算的真實(shí)位移；ω為高斯白噪聲變量；RMSu為真實(shí)位移的均方根；p%為噪聲水平。

首先在訓(xùn)練樣本中引入5%和10%的噪聲水平，并在測試信號中分別引入2%、5%、8%的噪聲水平，仍然采用2000個隨機(jī)生成的缺陷板組以及對應(yīng)的含噪聲的觀測點(diǎn)動力響應(yīng)樣本用于訓(xùn)練單隱含層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最后采用經(jīng)過訓(xùn)練的模型預(yù)測缺陷信息。表3、表4給出了不同噪聲水平下的最終反演結(jié)果?？梢钥闯?，文中建議的反演模型根據(jù)添加噪聲之后的動響應(yīng)仍能準(zhǔn)確地識別缺陷參數(shù)，但隨著噪聲水平的提高，反演精度會下降。

表3 訓(xùn)練樣本中添加5%噪聲干擾時多缺陷參數(shù)反演結(jié)果Table 3 Multiple flaw parameter identified results when adding 5% noise interference to training samples

表4 訓(xùn)練樣本中添加10%噪聲干擾時多缺陷參數(shù)反演結(jié)果Table 4 Multiple flaw parameter identified results when adding 10% noise interference to training samples

4 結(jié)論

機(jī)器學(xué)習(xí)依靠一定量的數(shù)據(jù)作為支撐，通過訓(xùn)練提取出數(shù)據(jù)內(nèi)部蘊(yùn)藏的抽象映射關(guān)系，近年來逐漸成為計算力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。文中提出了一種結(jié)合SBFEM和機(jī)器學(xué)習(xí)的缺陷反演模型用以建立結(jié)構(gòu)動響應(yīng)和缺陷參數(shù)之間的映射關(guān)系。SBFEM通過改變裂紋所在子域的比例中心位置反映不同的裂紋信息，減少了需要進(jìn)行重劃分的網(wǎng)格數(shù)量，大大提升了計算效率，能夠提供足夠多的反映缺陷特性的訓(xùn)練數(shù)據(jù)；基于極限學(xué)習(xí)機(jī)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)機(jī)器學(xué)習(xí)模型避免了傳統(tǒng)反分析問題求解的目標(biāo)函數(shù)極小化迭代過程，能在極快的學(xué)習(xí)速度下保證缺陷反演的精度。通過含單個和兩個開口缺陷的薄板結(jié)構(gòu)數(shù)值算例，驗(yàn)證了建議的反演模型可以對缺陷位置及尺寸進(jìn)行精確量化且效率極高，而且該反演模型能夠在一定的噪聲水平下保持良好的魯棒性，具有工程實(shí)用性。

此外，文中提出的反演思路也可擴(kuò)展到其他工程結(jié)構(gòu)的缺陷檢測中，雖然反演模型有待進(jìn)一步完善，比如考慮更為豐富的缺陷種類、更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形式，但在一定程度上反映了結(jié)合計算力學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)的可行性、優(yōu)越性和可挖掘性。