圓的切線方程與切點(diǎn)弦方程關(guān)系探究

楊福海

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用。直線與圓的位置關(guān)系的判定中有幾何法和代數(shù)法之分，幾何法是通過(guò)圓心到直線的距離與圓的半徑比大小，代數(shù)法是聯(lián)立直線與圓的方程，通過(guò)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系。通常情況下我們不探討這兩種方法之間的聯(lián)系，特別是在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時(shí)我們并不強(qiáng)調(diào)位置發(fā)生變化時(shí)直線方程之間有什么聯(lián)系。在課前預(yù)習(xí)時(shí)，學(xué)生遇到一道作業(yè)題，從中發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的結(jié)論，卻找不出所涉及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。我也咨詢(xún)了不少老師，但沒(méi)有得到滿(mǎn)意的答案，因此我嘗試從另一個(gè)角度進(jìn)行探討。

作業(yè)題：已知圓C的方程為x2+y2=16 ，點(diǎn)P在直線X=8上，過(guò)p點(diǎn)引圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：直線AB 恒過(guò)定點(diǎn)。

學(xué)生的解法： ∵PA，PB是圓C的兩條切線， ∵OA⊥AP，OB⊥BP。 ∵A，B在以O(shè)P為直徑的圓上。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，則線段OP的中點(diǎn)Q坐標(biāo)為4

，。∴以O(shè)P 為直徑的圓Q方程為（x-4）2+

y-2=42+

2，b∈R?；?jiǎn)得：x2+y2-8x-by=0，b∈R?！逜B為圓Q和圓C的公共弦， ∴直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，0） 。

這個(gè)解法是我們平時(shí)教學(xué)中常用的方法，但是有個(gè)別學(xué)生發(fā)現(xiàn)了直線AB的方程8x+by=16，b∈R與過(guò)圓x2+y2=16上一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程x0x+y0y=16完全雷同，于是提出了疑問(wèn)：為什么定點(diǎn)P在圓上時(shí)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）切線方程與定點(diǎn)P在圓外時(shí)過(guò)點(diǎn)p（x0，y0）引圓的切線方程（切點(diǎn)為A，B，直線AB ）完全一樣？在這里一條是切線一條是割線?。?/p>

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先要了解，如果設(shè)P（x0，y0）為圓外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引圓x2+y2=r2的兩條切線PA，PB ，切點(diǎn)為A，B，則直線AB的方程稱(chēng)為切點(diǎn)弦方程。通過(guò)上例方法的推導(dǎo)可得切點(diǎn)弦方程為x0x+y0y=r2。不可否認(rèn)，切點(diǎn)弦方程確實(shí)與過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程x0x+y0y=r2完全相同。那么這又是為什么呢？是偶然的現(xiàn)象還是必然的結(jié)論？

對(duì)此，我做了進(jìn)一步思考，先從兩個(gè)方程的求法上尋找兩者之間的聯(lián)系。

首先，先了解過(guò)圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程的求法。

方法一：當(dāng)切線l的斜率存在，即y0≠0時(shí)，切線l的方程為y-y0=（x-x0），即x0x+y0y=x02+y02，因?yàn)镻（x0，y0）為圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)，所以x02+y02=r2，則切線l的方程為x0x+y0y=r2;當(dāng)切線l的斜率不存在，即y0=0時(shí)，切線l的方程為x=x0，因?yàn)閤02=r2，所以切線l的方程也可改寫(xiě)為x0x+y0y=r2。綜上，過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的圓C：x2+y2=r2的切線l的方程為x0x+y0y=r2。

在學(xué)完向量知識(shí)后，可以用以下方法求過(guò)圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程。

方法二：任取切線l上一點(diǎn)M（x，y），由題意得·=0。由向量的數(shù)量積可得x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，即x0x+y0y=x02+y02，因?yàn)镻（x0，y0）為圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)，所以 xo2+y02=r2，則切線l的方程為x0x+y0y=r2。

方法三：任取切線l上的一點(diǎn)M（x，y），由題意得

·

·cosθ=r2 ，其中θ為和的夾角，即·=r2，則過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線l方程為x0x+y0y=r2。

我們?cè)賮?lái)看看設(shè)P（x0，y0）為圓外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引圓x2+y2=r2的兩條切線PA，PB ，切點(diǎn)為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程的求法如下：

方法一：跟上面作業(yè)題的解法類(lèi)似，通過(guò)求以O(shè)P為直徑的圓與圓C的公共弦可得切點(diǎn)弦方程為x0x+y0y=r2。

方法二：以PB為半徑， P（x0，y0）為圓心的圓P的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=x02+y02-r2，切點(diǎn)弦AB即為圓P和圓C：x2+y2=r2的公共弦，兩式相減可得切點(diǎn)弦方程為x0x+y0y=r2。

方法三：設(shè)A（x1，y1） ， B（x1，y1），則切線PA方程為x1x+y1y=r2，因?yàn)镻（x0，y0）在直線PA上，所以x1x0+y1y0=r2，同理可得x2x0+y2y0=r2，又直線 x0x+y0y=r2（ x0、y0 不全為0）過(guò)點(diǎn)A（x1，y1） ，B（x1，y1） ，因此直線AB的方程為x0x+y0y=r2。

這種設(shè)而不求的思想給我們帶來(lái)了簡(jiǎn)捷而意外的結(jié)果。

方法四：任取直線AB上的一點(diǎn) M（x，y），連結(jié) CA、CP 和CM ，設(shè) CP和AB 交于點(diǎn)Q，由圓的性質(zhì)可得CP⊥AB， CA⊥PA，由相似三角形可得CQ·CP=CA2=r2，而在 方向上的投影恰好是CQ，所以·=r2，于是直線AB的方程為x0x+y0y=r2。

通過(guò)上面的求法我們可以看到求切線方程的方法一跟求切點(diǎn)弦方程的方法三之間有一定的聯(lián)系，可以利用切線方程求出切點(diǎn)弦方程，但還是解釋不了為什么這兩個(gè)方程完全相同的問(wèn)題。而求切線方程的方法三和求切點(diǎn)弦方程的方法四能夠帶給我們一些啟示，因?yàn)檫@兩種求法完全一樣，都是利用了動(dòng)向量與定向量的數(shù)量積恰好等于 r2，也就是說(shuō)不管點(diǎn)P（x0，y0）是圓C：x2+y2=r2上一點(diǎn)還是圓外一點(diǎn)，向量都是確定的，而點(diǎn)M（x，y）是直線（切線或切點(diǎn)弦）上任意一點(diǎn)，動(dòng)向量在定向量投影與定向量的模長(zhǎng)之積都是r2。由此可見(jiàn)，這兩個(gè)方程存在一些必然的聯(lián)系，只是無(wú)法了解誰(shuí)是本源，表面上看感覺(jué)是由切線方程聯(lián)想到切點(diǎn)弦方程的求法，也就是先有切線方程后有切點(diǎn)弦方程。事實(shí)果真如此嗎？

既然兩個(gè)方程有必然的聯(lián)系，而且一條是切線方程，一條是切點(diǎn)弦方程，即割線方程，這不禁讓我們聯(lián)想到它們之間的變化過(guò)程，聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)教學(xué)中提到切線是割線的極限位置等知識(shí)，因此我們可以嘗試從逼近的角度來(lái)理解它們之間的聯(lián)系。

當(dāng)弦 AB（不是直徑）確定時(shí)，則以A，B為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)P也確定，即過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)A，B的切線PA，PB的方程也跟著確定。在學(xué)完導(dǎo)數(shù)的幾何意義后我們知道當(dāng)其中一個(gè)切點(diǎn)B向另一個(gè)切點(diǎn)A逼近時(shí)，切點(diǎn)弦 AB（不是直徑）所在直線（割線 AB）會(huì)趨近于確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線稱(chēng)為點(diǎn) A處的切線。我們發(fā)現(xiàn)這種定義真正反映了切線的本質(zhì)，即割線（弦所在直線）的極限位置就是切線。也就是說(shuō)當(dāng)兩個(gè)切點(diǎn)A，B重合為 A點(diǎn)時(shí)，兩條切線PA，PB也成為了一條，且點(diǎn) P也與A點(diǎn)重合。這就解釋了為什么過(guò)圓 C：x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程與設(shè)P（x0，y0）為圓外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引圓x2+y2=r2的兩條切線 PA，PB，切點(diǎn)為 A，B，則切點(diǎn)弦 AB所在直線方程完全相同的原因。歸根結(jié)底，切線是割線（切點(diǎn)弦所在直線）的極限位置，圓外一點(diǎn)P（x0，y0）隨著割線的逼近與切點(diǎn)A重合，從而兩個(gè)方程完全一樣。

在此基礎(chǔ)上我們可以把結(jié)論推廣到更一般的情況：

已知P（x0，y0）為圓C：（x-a）2+（y-b）2上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線l 的方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2;

已知P（x0，y0）為圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為 A，B，則切點(diǎn)弦AB所在直線方程（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“少教多學(xué)”能使學(xué)生對(duì)問(wèn)題有更深的思考，產(chǎn)生解決問(wèn)題的欲望，也能使教師有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題多樣性的可能，促使教師努力提高業(yè)務(wù)水平和課堂教學(xué)效率。

數(shù)學(xué)思想方法就像一張“無(wú)形的網(wǎng)絡(luò)”把整個(gè)高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，并滲透到所有的數(shù)學(xué)知識(shí)里，反映了龐大數(shù)學(xué)體系最本質(zhì)和最深層的規(guī)律。在課堂教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生掌握各種數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的解題能力和自主學(xué)習(xí)能力。

（責(zé)任編輯 趙永玲）