不等式證明的幾種解題方法

湯曉玲

(江蘇省海門(mén)中學(xué) 226100)

一、通過(guò)作差來(lái)比較

要想證明a0，即等價(jià)于a>b，a-b<0，即等價(jià)于a

例1 給定一個(gè)集合，M∈{x|-1

證明(a+b)2-(1+ab)2=a2+2ab+b2-(1+2ab+a2b2)=a2-1+b2(1-a2)=(a2-1)(1-b2).

由題可知，a的取值范圍是-10，借此就可以得到(a+b)2<(1+ab)2，也就是所求的|a+b|<|1+ab|，此時(shí)a，b∈M.

評(píng)析此題將平方作差法和因式分解法相結(jié)合，進(jìn)一步確定在a，b∈M這個(gè)范圍內(nèi)，a2-1和1-b2的符號(hào)，借此來(lái)證明|a+b|<|1+ab|這個(gè)不等式是成立的.

二、利用作商來(lái)比較

小結(jié)作差比較法和作商比較法可以歸納為一類：比較法.比較法常用于處理多項(xiàng)式的大小的比較等相關(guān)問(wèn)題，作差比較和作商比較是比較法中使用頻率最高的兩者方法.使用作差比較法時(shí)一般是求被證明的不等式的兩端是分式、多項(xiàng)式和對(duì)數(shù)式；而使用作商比較法時(shí)，一般是求被證明的不等式的兩邊含有指數(shù)式、冪式或乘積式.

三、基本不等式及其變式法

類似a2+b2≥2ab等題型,可以利用均值不等式進(jìn)行分析.

例3若a,b滿足條件a>0，b>0，且有a3+b3=2.證明a+b≤2.

所以(a+b)3≤8.

所以a+b≤2.

四、均值不等式法

例4 已知有三個(gè)數(shù)x,y,z，且x>0，y>0，z>0，xyz=1，求證：x3+y3+z3≥xy+yz+xz.

證明由題意可以得到：x>0，y>0，z>0，

因此有：x3+y3+z3≥3xyz，

x3+y3+1≥3xy，

y3+z3+1≥3yz，

x3+z3+1≥3xz.

把上述各個(gè)式子相加可以得到：

3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz.

又已知xyz=1，所以x3+y3+z3≥xy+yz+xz.

五、柯西不等式求解

證明根據(jù)柯西不等式可以得到：

根據(jù)題目中的條件可以知道：4a2+b2+2c2=4.

因此我們可以進(jìn)一步求得(2a+b+c)2≤10.

不等式兩邊同時(shí)開(kāi)方，得

評(píng)析將原不等式轉(zhuǎn)化成符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)以及要學(xué)會(huì)適宜的變形是使用柯西不等式證明的關(guān)鍵所在，要想使用柯西不等式對(duì)一個(gè)式子進(jìn)行放大或者縮小就要求這個(gè)式子的左右任意一邊要與柯西不等式具有相類似的形式，進(jìn)而使得需要求證的問(wèn)題得到證明.

小結(jié)通過(guò)分析可以發(fā)現(xiàn)，也可以將方法3、方法4、方法5進(jìn)行一個(gè)歸納總結(jié)，將這三個(gè)方法歸納為綜合法.證明不等式的最根本的方法之一就是綜合法，綜合法主要通過(guò)利用不等式的相關(guān)性質(zhì)、實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、已知的不等式等來(lái)進(jìn)行證明.這幾個(gè)相關(guān)性質(zhì)是使用綜合法的核心.根據(jù)“據(jù)因得果”的方法，利用已知的條件進(jìn)行綜合推理就能得出題目要求證明的不等式.其中最常使用的是不等式的相關(guān)性質(zhì)和基本不等式，在運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行解題時(shí)，要時(shí)刻關(guān)注這些性質(zhì)成立的前提要求.

本篇文章主要對(duì)不等式證明的方法進(jìn)行了探究和分析，在實(shí)際運(yùn)用中，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況和解題的實(shí)際需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?關(guān)于不等式的證明方法是多種多樣的，上述方法只是其中的幾種，當(dāng)題目表述簡(jiǎn)單明了，有較為清晰的條理時(shí)，就可以嘗試用綜合法求證，給定的代數(shù)式中存在有“和式”或者存在有“積式”時(shí)，那么此代數(shù)式的“題眼”就已知了，便可利用基本不等式求證.不等式的證明方法靈活，形式多樣，需要同學(xué)們更多地拓展思維，靈活使用學(xué)習(xí)的知識(shí)去解題.