電磁感應(yīng)中單、雙桿運(yùn)動問題

高振偉

(河北省張家口市宣化第一中學(xué) 075100)

電磁感應(yīng)是中學(xué)物理主干知識點(diǎn)之一，也是歷年高考必考的內(nèi)容，新課改之前，普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試中電磁感應(yīng)基本上以一道選擇題的形式考查.2017年開始把動量定理、動量守恒定理內(nèi)容由選考改為必考知識點(diǎn)，使動力學(xué)傳送帶、板塊等一系列問題的考查拓寬了思路，同時也使電學(xué)尤其是對電磁感應(yīng)知識的考查注入了新的生機(jī)，近幾年全國普通高考中對電磁感應(yīng)考查的力度明顯加大，時常以計(jì)算題形式出現(xiàn)，電磁感應(yīng)計(jì)算題題型中單、雙桿切割磁感線運(yùn)動問題是高頻考查的對象，將單、雙桿切割磁感線運(yùn)動與牛頓運(yùn)動定律、能量、動量等知識相結(jié)合考查學(xué)生的理解能力、推理能力、分析綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，搞清單、雙桿切割磁感線運(yùn)動的特點(diǎn)、規(guī)律是前提，能夠熟練應(yīng)用動量、能量等觀點(diǎn)解決單、雙桿切割磁感線運(yùn)動問題是對自己邏輯推理、分析綜合等能力質(zhì)的提升.單、雙桿切割磁感線運(yùn)動常見類型如下

一、單桿+導(dǎo)軌五種常見的模型

A.導(dǎo)體棒ab開始運(yùn)動后，電阻R中的電流方向是從P流向M

B.導(dǎo)體棒ab運(yùn)動的最大速度為10 m/s

C.導(dǎo)體棒ab開始運(yùn)動后，a、b兩點(diǎn)的電勢差逐漸增加到1 V后保持不變

D.導(dǎo)體棒ab開始運(yùn)動后任一時刻，F(xiàn)的功率總等于導(dǎo)體棒ab和電阻R的發(fā)熱功率之和

例2如圖7所示，傾角θ=37°，間距L=0.1 m的足夠長光滑金屬導(dǎo)軌底端接有阻值R=0.16 Ω的電阻，不計(jì)其他電阻.質(zhì)量m=1 kg的金屬棒ab始終垂直導(dǎo)軌.以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖7所示方向沿導(dǎo)軌向上的坐標(biāo)軸x.在0.2 m≤x≤0.8 m區(qū)間有垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場.棒在沿x軸正方向的外力F作用下從x=0處由靜止開始沿斜面向上運(yùn)動，其速度v與位移x滿足v=kx，加速度a與速度v滿足a=kv，k=5 s-1.當(dāng)棒ab運(yùn)動至x1=0.2 m處時，電阻R消耗的電功率P=0.16 W.重力加速度為g=10 m/s2.(sin37°=0.6).

求：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；

(2)0≤x≤0.8 m范圍內(nèi)外力F隨位移x變化的關(guān)系式；

(3)在棒ab穿過磁場運(yùn)動過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q.

解析(1)v=kx，U=BLv

①

②

聯(lián)立①②解得B=1.6T

③

(2)0≤x≤0.2m時，F(xiàn)-mgsinθ=ma

④

0.2≤x≤0.8m時，F(xiàn)-mgsinθ-F安=ma

⑤

⑥

v=kx，a=kv

聯(lián)立③④⑤⑥得0≤x<0.2m時，

F=25x+6

⑦

0.2m≤x≤0.8m，F(xiàn)=25.8x+6

⑧

(3)由v=kx和⑤式得

⑨

Q=W安=0.24 J

⑩

例3如圖8所示，光滑金屬導(dǎo)軌足夠長并豎直放置，兩導(dǎo)軌間距離為L，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，磁場方向水平并且垂直軌道面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，軌道頂端接有電容器和定值電阻，定值電阻的阻值為R，電容器的電容為C，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒MN電阻不計(jì)，與軌道接觸良好，從圖示由靜止釋放，重力加速度為g，以下說法正確的是( ).

二、雙桿+導(dǎo)軌三種常見模型

1.光滑等間距水平導(dǎo)軌無外力類(如圖9)，桿a做加速度逐漸減小的變減速直線運(yùn)動，桿b做加速度逐漸減小的變加速直線運(yùn)動，最終兩桿以共同速度勻速直線運(yùn)動，雙桿組成的系統(tǒng)動量守恒m1v0=(m1+m2)v；

2.光滑等間距水平導(dǎo)軌受恒力F類(如圖10)，開始時二者做加速運(yùn)動，最終二者勻加速運(yùn)動，具有共同的加速度，F(xiàn)=(m1+m2)a.

3.光滑不等間距水平導(dǎo)軌有初速度類(如圖11)，b棒減速，a棒加速，由于導(dǎo)軌不等間距，動量不守恒，當(dāng)二者產(chǎn)生的電動勢相等時，電流為0，最終都勻速運(yùn)動，但是二者的速度不相等，只有分別對a、b用動量定理BIL·Δt=m·Δv求解最終速度.

例4如圖12所示，ab和cd是兩條豎直固定的光滑平行金屬導(dǎo)軌，MN和M′N′是用絕緣細(xì)線連接的兩根金屬桿，其質(zhì)量分別為m和2m，用豎直向上、大小未知的外力F作用在桿MN中點(diǎn)，使兩桿水平靜止，并剛好與導(dǎo)軌接觸，整個裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)軌足夠長，間距為L，電阻可忽略，兩桿總電阻為R，與導(dǎo)軌始終接觸良好，重力加速度為g.t=0時刻，將細(xì)線燒斷，保持力F不變.求：

(1)細(xì)線燒斷后任意時刻，求兩桿運(yùn)動的速度大小之比.

(2)若桿MN至速度最大時發(fā)生的位移為s，求該過程中通過金屬桿橫截面的電荷量Δq和電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q各為多少？

(3)從0時刻到兩導(dǎo)體棒達(dá)到最大速度過程中，拉力做功的平均功率及達(dá)到最大速度時回路中的電功率、發(fā)熱功率.

解析(1)對MN和M′N′為系統(tǒng)，取豎直向上為正方向，0=mv1-2mv2,v1∶v2=2∶1.

電磁感應(yīng)的動力學(xué)和能量問題是歷年高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，考查的題型一般包括“單桿”模型、“雙桿”模型或“導(dǎo)體框”模型，單桿模型分析要點(diǎn)是：①桿的穩(wěn)定狀態(tài)一般是做勻速運(yùn)動，達(dá)到最大速度或最小速度，此時合力為零.②電磁感應(yīng)現(xiàn)象遵從能量守恒定律，整個電路產(chǎn)生的電能等于克服安培力所做的功.雙桿模型要注意動量守恒、能量守恒及牛頓運(yùn)動定律的合理應(yīng)用.