圓錐曲線中最值問題的求解策略

鄒慶龍

(福建省長汀縣第二中學(xué) 366300)

一、均值不等式法

均值不等式法是高中數(shù)學(xué)的一個重要公式：a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.在圓錐曲線最值的求解中，均值不等式常用于離心率的計算，題干中已知離心率，求離心率之差或之和，通過共軛方程的設(shè)立，分別表示離心率，然后利用均值不等式a2+b2≥2ab的原理，求得最值.

例1一對共軛曲線的離心率分別為e1,e2，求e1+e2的最小值.

解析設(shè)這對共軛曲線的方程為：

≥2+2+2×2

=8.

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

二、參數(shù)法

參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量(參數(shù)),以此作為媒介,再進行分析和綜合,從而解決問題.在求圓錐曲線上點到直線的問題中，可以利用圓錐曲線的參數(shù)方程的定義，將點P用參數(shù)式表示出來，然后將點到直線的距離表達出來，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到直線的最短距離，同時得到sinθ和cosθ值，即點P的坐標(biāo).

解析設(shè)點P到l的距離為d，

三、判別式法

判別式法可以判斷方程是否有根以及有幾個根，b2-4ac<0無實數(shù)根，b2-4ac=0有兩個相等實數(shù)根，即一個實數(shù)根，b2-4ac>0有兩個不相等實數(shù)根.在圓錐曲線最值求解中，若求函數(shù)式，則需構(gòu)建等式，化簡得出y的表達式，聯(lián)立已知橢圓的方程與構(gòu)建的新方程，利用判別式原理得出新方程的值.

例3已知(x,y)是橢圓x2+4y2=1上的點，試求3x+4y的最大值與最小值.

解析設(shè)3x+4y=z,

13x2-6zx+z2-4=0.

所以根據(jù)判別式Δ=b2-4ac，

得Δ=36z2-4×13(z2-4)≥0.

圓錐曲線最值求解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，也是高考出題考慮的范圍，其涉及的知識繁多，可應(yīng)用的方法也是多樣化.通過均值不等式法、參數(shù)法和判別式法三種方法的理解，同學(xué)們要加強核心內(nèi)容的練習(xí)，熟練運用，加深對圓錐曲線內(nèi)容的深化.