利用“剝層法”求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

張小玲

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；“剝層法”；復(fù)合函數(shù)；導(dǎo)數(shù)

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 C

【文章編號(hào)】 1004—0463（2015）13—0123—01

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題在整個(gè)高中理科知識(shí)體系中占有十分重要的位置.從極限角度看函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變?cè)隽口呌诹銜r(shí)的極限，從而是一類特殊的函數(shù)極限；從幾何角度看，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示曲線切線的斜率；從物理的力學(xué)問題上看，路程函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是速度，速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是加速度.因此，學(xué)好導(dǎo)數(shù)至關(guān)重要.然而在實(shí)際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍認(rèn)為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程復(fù)雜，容易搞錯(cuò)求導(dǎo)的順序與方向，容易丟項(xiàng)漏項(xiàng)等等，而這些問題反過來又加深了學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題的畏懼心理。筆者結(jié)合多年教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過思考和研究，設(shè)計(jì)了一套針對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題的整體教學(xué)方法——變量代換基礎(chǔ)上的“剝層法”，收到了教好的教學(xué)效果，現(xiàn)介紹如下.

一、復(fù)合函數(shù)概念的引出

對(duì)于函數(shù)y=f [φ（x）]，令u=φ（x）·若y=f（u）是中間變量u的函數(shù)，u=φ（x）是自變量x的函數(shù)，則函數(shù)y=f [φ（x）]是自變量x的復(fù)合函數(shù).

二、對(duì)復(fù)合函數(shù)“代換剝層”

判斷復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，進(jìn)行分層的一般方法是：從外向里分析，最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主要形式，各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系，這樣層層分析，最里層應(yīng)是關(guān)于自變量的基本函數(shù)或關(guān)于自變量的基本函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算而得到的函數(shù).

例1 對(duì)復(fù)合函數(shù)y=sin5（1-）分層.

分析：可以設(shè)y=u5，u=sin（1-），但顯然此時(shí)u仍然是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因?yàn)槲覀冏罱K是要對(duì)x求導(dǎo)，所以我們需要接著分層.

解：令y=u5，u=sinv，v=1-.

例2 對(duì)復(fù)合函數(shù)y=分層.

解：令y=，u=1-v，v=3x.

“代換剝層”過程的總結(jié)：

1.對(duì)函數(shù)變量代換剝層后，我們得到了y、u、v等函數(shù)，這些函數(shù)的自變量都不一樣，所以求導(dǎo)時(shí)要特別注意對(duì)每個(gè)函數(shù)的求導(dǎo)分別是該函數(shù)對(duì)哪個(gè)自變量求導(dǎo)；

2.因?yàn)樽罱K是要得到y(tǒng)對(duì)x的求導(dǎo)結(jié)果，所以分層過程結(jié)束后，最后一個(gè)分層函數(shù)必須是以x為自變量，且易于對(duì)x求導(dǎo)的簡(jiǎn)單函數(shù).

三、利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)已分層函數(shù)“逐層求導(dǎo)，結(jié)果相乘”

首先應(yīng)認(rèn)識(shí)并理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：一般地，復(fù)合函數(shù)y=f [φ（x）]對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)y′x，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量u=φ（x）的導(dǎo)數(shù)y′u，乘中間變量u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)u′x，即y′x=y′u×u′x.這個(gè)公式符合鏈條法則，即y′x=y′u·u′v·v′x，以此類推.

對(duì)函數(shù)分層后，函數(shù)y對(duì)u求導(dǎo)的結(jié)果為y′u，這個(gè)過程相當(dāng)于我們“剝開了”這個(gè)復(fù)合函數(shù)的第一層；接著，我們將函數(shù)u對(duì)v求導(dǎo)，即“剝開了”函數(shù)的第二層.這樣層層遞進(jìn)，對(duì)每層函數(shù)的對(duì)應(yīng)自變量求導(dǎo)，最終得到各個(gè)剝層后的函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果.將這些“剝下來”的各層導(dǎo)數(shù)全部相乘，我們將得到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果.

下面我們?cè)趯?shí)例中講解這個(gè)方法的運(yùn)用.所用復(fù)合函數(shù)為上面已經(jīng)分好層的函數(shù)例1和例2.

例 對(duì)復(fù)合函數(shù)y=sin5（1-）求導(dǎo).

分析：在例1中已經(jīng)得到了該函數(shù)的三個(gè)分層函數(shù)，也知道了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式y(tǒng)′x=y′u·u′v·v′x，接下來只需要分別求第一層：y′u，第二層：u′v，第三層：v′x，最后將結(jié)果相乘即可.

解：令y=u5，u=sinv，v=1-，

∴ y′u=5u4 （第一層）

u′v=cosv （第二層）

v′x= （第三層）

∴ y′x=y′u·u′v·v′x

=5u4·cosv·=5·（sinv）4·cos（1-）·

=·sin4（1-）·cos（1-）

“逐層求導(dǎo)，結(jié)果相乘”過程的總結(jié)：

1.逐層求導(dǎo)中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，最好和例3和例4的計(jì)算過程一樣將求導(dǎo)函數(shù)和自變量以y′x，y′u、u′v、y′x這種形式表示出來；

2.在求出各層導(dǎo)數(shù)并運(yùn)用y′x=y′u·u′v·y′x（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式）以后，要注意將所有中間變量重新?lián)Q回x這個(gè)自變量，即需要進(jìn)行一步“化掉未知”的過程，因?yàn)閡、v等中間變量是我們?yōu)榱擞?jì)算方便而假設(shè)出來的，并不是題目中已知的，相當(dāng)于“未知數(shù)”，答案中不能含有未知數(shù)，也就不能含有這些中間變量.

在上述講解的整個(gè)過程即是復(fù)合函數(shù)的剝層法，由簡(jiǎn)單的四個(gè)步驟組成，即代換剝層，逐層求導(dǎo)，結(jié)果相乘，化簡(jiǎn)未知.當(dāng)然，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不用再寫出函數(shù)的具體分層或者復(fù)合過程了.編輯：謝穎麗