如何從集合論觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)教學(xué)

韓桂玲

摘要：集合論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了基礎(chǔ)作用，也使幾個(gè)數(shù)學(xué)分支統(tǒng)一到一起。集合論貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)從基礎(chǔ)數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)中，無論是概念還是方法，集合論都有著不可替代的作用。

關(guān)鍵詞：集合論數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法

集合論在數(shù)學(xué)中有獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，如各種數(shù)學(xué)理論是建立在集合論的基礎(chǔ)上的，（實(shí)數(shù)理論是奠定在集合論的基礎(chǔ)上），各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念（比如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、函數(shù)等）都是借助集合定義出來，從這個(gè)意義上來講，集合論可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

一、集合論的概念與數(shù)學(xué)教學(xué)中集合概念的關(guān)系

1874年，康托爾越過“數(shù)集”的限制，開始提出“集合”的概念。他對(duì)“集合”給出了這樣的定義：把若干確定的有區(qū)別的（具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，就稱為一個(gè)集合，其中各事物稱為該集合的元素，也說它屬于該集合，有了集合概念，就可以定義出一系列有關(guān)的概念，集合論就產(chǎn)生了。具體定義：一般情況下，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，簡稱集，集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。這句話，只是對(duì)集合概念的描述性說明，但集合是集合論中的原始概念，是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)。從數(shù)集、幾何中的點(diǎn)集，到函數(shù)的概念與性質(zhì)等，這些知識(shí)就離不開集合，更離不開集合論。也就是說，集合論為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)集合提供了理論基礎(chǔ)，而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的集合是集合論在一定范疇內(nèi)的細(xì)化。

集合論是現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中每個(gè)對(duì)象本質(zhì)上都是集合。有人說：“數(shù)學(xué)能嵌套在集合論中”——其含義就是指數(shù)學(xué)的一些對(duì)象如數(shù)、函數(shù)、線、面等都可以用集合來定義。換句話說，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支在本質(zhì)上都是研究這種或那種對(duì)象的集合。集合論把無窮集合理論運(yùn)用到了其他學(xué)科上，如整系數(shù)代數(shù)多項(xiàng)式的全體是一個(gè)可數(shù)集。又如，幾何學(xué)——研究點(diǎn)、線、面的集合;數(shù)學(xué)分析——研究連續(xù)函數(shù)的集合;代數(shù)學(xué)——研究數(shù)的集合以及在此集合上定義有關(guān)運(yùn)算的集合等。因此，把集合論作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是也是有道理的。

二、集合論的語言與數(shù)學(xué)的基本關(guān)系

集合論語言是一項(xiàng)數(shù)學(xué)語言，借助于集合論語言，教師可以將基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的一些基本關(guān)系闡述得很清楚，如借助字母符號(hào)表式集合與元素，及其邏輯關(guān)系，其中大寫字母常常用來表示集合，小寫字母表示元素。

（一）數(shù)集

常用的數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)）、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集。在這些基本的數(shù)集中，相互之間有的是序關(guān)系，有的是等價(jià)關(guān)系，有的是集合與集合的隸屬關(guān)系，即包含與真包含關(guān)系。

（二）幾何的點(diǎn)集

幾何中的點(diǎn)集為一維點(diǎn)集，即數(shù)軸上的點(diǎn)，進(jìn)入二維點(diǎn)集的學(xué)習(xí)即平面點(diǎn)集，它的元素是有序數(shù)對(duì)。由點(diǎn)集為基礎(chǔ)建立了幾何的一系列的概念系統(tǒng)，由點(diǎn)到線、面的概念。集合論語言用簡練易懂的文字闡述了點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與面、線與線、面與面的關(guān)系。具體來說，直線集內(nèi)存在著線線平行和線線垂直的關(guān)系，平面集內(nèi)存在著面面平行和面面垂直的關(guān)系，向量集內(nèi)存在著向量的共線關(guān)系;圓集內(nèi)存在著圓與圓的相切、相交、相離、同心的關(guān)系;球集內(nèi)存在著球與球的同心關(guān)系。

（三）點(diǎn)集、數(shù)集、函數(shù)集之間建立的映射關(guān)系

1.數(shù)集到其自身的函數(shù)，即數(shù)值自變量的數(shù)值函數(shù)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的主要函數(shù)類型，如所有初等函數(shù)。

2.數(shù)集到點(diǎn)集、點(diǎn)集到數(shù)集的映射。如實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)、有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)、三元有序?qū)崝?shù)組與坐標(biāo)空間的點(diǎn)、復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)都存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.點(diǎn)集到其自身的映集，如通過幾何變換（比如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、位似等）。

4.幾何圖形集與數(shù)集之間的映射，如測算圖形的長度、面積、體積等幾何量的度量。

5.作函數(shù)圖形，即將序?qū)谧鴺?biāo)平面（空間）上表示出來，完成了序?qū)胶瘮?shù)曲線的點(diǎn)集上的映射。

此外，還有函數(shù)集到其自身的映射，如求導(dǎo)數(shù)，求不定積分;函數(shù)集到數(shù)集的映射，如求定積分。

三、集合論的思想方法與數(shù)學(xué)教學(xué)

集合論的思想方法貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是講述概念還是解決某些問題，集合論的思想使數(shù)學(xué)概念的定義與問題的解決變得簡單和直觀。

其一，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中線段的垂直平分線，到兩個(gè)定點(diǎn)（線段的兩個(gè)端點(diǎn)的）的距離相等的點(diǎn)的集合;圓可以看作是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長（圓的半徑）的點(diǎn)的集合;角的平分線可看作到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)的集合。雖然在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)初期階段還沒有給出集合的定義，但是學(xué)生已經(jīng)接觸到集合思想的運(yùn)用，集合論思想解釋了這些幾何概念的本質(zhì)。

其二，解決函數(shù)定義域問題。定義域的解是由解析式有意義的幾個(gè)條件決定的，每一個(gè)條件又是一定元素的集合，它們的交集元素就是定義域的解，函數(shù)定義域的求解一般會(huì)用求交集的思想來求解。另外，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也是運(yùn)用了這個(gè)思想。

其三，概率論中的概念及解決方法。集合論觀點(diǎn)也可以解釋概率論中的概念與事件之間的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)是利用集合論的基本數(shù)學(xué)思想，來分析基本事件，并用集合論語言描述事件之間的關(guān)系，用集合論方法分析事件之間的運(yùn)算。而有些需要分類討論的問題，解題過程往往過于繁雜，運(yùn)用補(bǔ)集的思想（即“正難則反”思想）去解答，常?？梢院喕懻?。

其四，在微積分學(xué)中，通過集合論中與數(shù)形結(jié)合研究極限、函數(shù)的概念與性質(zhì)，使用直觀形象的函數(shù)圖像來幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，使他們明白概念蘊(yùn)含的真正意義，并能容易區(qū)分出相似概念之間的細(xì)微差別，此外，集合論在拓?fù)鋵W(xué)、圖論等學(xué)科上也有廣泛應(yīng)用。

集合論已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)，它與數(shù)學(xué)教材中的很多的基礎(chǔ)概念，基礎(chǔ)思想與方法有著重要的聯(lián)系，集合論所思想，使得數(shù)學(xué)問題變得簡單直觀易懂，很自然地延伸出分類思想和數(shù)形結(jié)合思想，使得代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)有機(jī)地結(jié)合，使概率學(xué)等知識(shí)變得系統(tǒng)易懂。

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