例談初中生數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)

朱成燈

[摘 要] 在課堂教學(xué)中，通過精心設(shè)計(jì)探究情境來激發(fā)學(xué)生的解題興趣，以典型題目為載體，進(jìn)行一題多解、一法解多題、一題多變的訓(xùn)練，能讓學(xué)生體會(huì)到解題的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解題能力.

[關(guān)鍵詞] 創(chuàng)設(shè)情境；一題多解；多題一解；解后反思；解題能力

在初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，存在這樣的現(xiàn)象：在課堂上，學(xué)生聽得懂老師講解的題目，課外做作業(yè)、練習(xí)卻無從下手，多數(shù)初中生的解題能力不盡如人意. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？那就是善于解題. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題訓(xùn)練. ”可見，解題是數(shù)學(xué)的核心，通過解題訓(xùn)練來培養(yǎng)解題能力，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 因此，在平常的教學(xué)過程中，每一位數(shù)學(xué)老師都要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力. 下面筆者就自己多年的教學(xué)實(shí)踐來談?wù)勁囵B(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)解題能力的幾點(diǎn)嘗試，與各位老師商榷.

創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)學(xué)生解題興趣

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容要貼近學(xué)生的生活，有利于學(xué)生思考與探索. 在實(shí)際課堂教學(xué)中，我們盡量避免內(nèi)容和形式上的單調(diào)，可以結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，將要解決的問題生活化、情境化，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光關(guān)注情境，激發(fā)他們的探究興趣和學(xué)習(xí)的主動(dòng)性. 例如在中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)規(guī)律探索——《 的妙用》教學(xué)時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了以下探究情境.

情境1：友好握手，攜手共進(jìn)

在上學(xué)期開學(xué)第一課，我們初次見面，進(jìn)行了友好握手活動(dòng)，即全班36位同學(xué)每?jī)扇硕枷嗷ノ找淮问?，那么這次友好握手共有多少次？

情境2：畢業(yè)情深，互送照片留戀

畢業(yè)時(shí)，全班36位同學(xué)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，那么全班共送多少張照片？

由于問題觸及了學(xué)生的情感，喚起他們的心靈共鳴. 學(xué)生聽完后，情緒高漲，議論紛紛，但一時(shí)沒有頭緒，筆者趁機(jī)告訴學(xué)生要解決上面的問題，我們可以先進(jìn)行以下探究：一條直線有n個(gè)點(diǎn)（n≥2），那么這條直線上有多少條線段？這樣，把學(xué)生的情緒調(diào)到最佳狀態(tài)，激發(fā)他們的解題興趣，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力.

精選典型題目，進(jìn)行一題多解、多題一解、一題多變教學(xué)，提高學(xué)生的解題能力

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，無窮無盡，“題?！泵Ｃ＃瑢W(xué)生無所適從. 為了使學(xué)生跳出題海，只有教師跳進(jìn)題海，抓住根本，依據(jù)“量不在多，典型就行；題不在難，有思想就靈”的原則精挑細(xì)選出典型題目.對(duì)典型題目進(jìn)行縱向或橫向的展開，精心設(shè)計(jì)，進(jìn)行“一題多解、多題一解、一題多變”的解題教學(xué). 在解題教學(xué)時(shí)，既要引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度去分析思考問題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，使其創(chuàng)造性地解決問題，又要指導(dǎo)學(xué)生善于找出一些題目解法的共性，歸納出解題方法，再用這種方法去解決類似問題時(shí)，便會(huì)迎刃而解，發(fā)揮一法解多題的優(yōu)勢(shì).

在中考數(shù)學(xué)幾何探究專題復(fù)習(xí)《給力的三角形等面積法》教學(xué)中，筆者把北師大數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第6頁的問題“等腰三角形兩腰上的高相等嗎”進(jìn)行變式、拓展，設(shè)置自主探究“三角形等面積法”環(huán)節(jié).

探究一：初探三角形等面積法

已知：如圖1，在△ABC中，AB = AC，BE，CD是等腰三角形ABC兩條腰上的高，求證：CD=BE.

探究二：再探三角形等面積法

接著，筆者將探究二進(jìn)行變式，設(shè)計(jì)了一組有一定層次的題目，請(qǐng)同學(xué)們利用三角形的等面積法進(jìn)行探究.

變式1：如圖3，將探究二中的“P為底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“P為底邊BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么r1+r2=h還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，那么r1，r2與h之間有怎樣的關(guān)系，寫出結(jié)論，并加以證明.

變式2：如圖4，將“△ABC，AB=AC”改為“△ABC是等邊三角形”，其余條件不變，那么r1，r2與h之間有怎樣的關(guān)系，寫出結(jié)論，并加以證明.

變式3：如圖5，在變式2的基礎(chǔ)上，將“P為底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“P為△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)”，P到BC的距離為r3，那么r1，r2，r3與h之間有怎樣的關(guān)系，寫出結(jié)論，并加以證明.

對(duì)上面三個(gè)題目的探究、分析后，師生概括出各題中共同的、本質(zhì)的東西：這組變式題都可以通過將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)小三角形的面積和來求解，并且非常巧妙、簡(jiǎn)潔. 這樣充分利用一題多變、一題多解、多題一解的訓(xùn)練，學(xué)生能積極、主動(dòng)地參與探究，激活思維，開拓思路，鞏固知識(shí)，掌握規(guī)律，觸類旁通，收到舉一反三、少而勝多的效果，使自己的解題能力更勝一籌. 下課后，學(xué)生對(duì)三角形等面積法探究的興趣和熱情依然很高，筆者對(duì)變式3又做以下改變：將“P為△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)”改為“P為△ABC外部任意一點(diǎn)”，其他條件不變，請(qǐng)?zhí)骄縭1，r2，r3與h之間的關(guān)系，并加以證明.供他們課外繼續(xù)研究，給他們留下回味的余地.

注重學(xué)生解題后反思習(xí)慣的培養(yǎng)，促進(jìn)解題能力的可持續(xù)性發(fā)展

數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧與反思. ”可見解題后的反思是提高解題能力的重要環(huán)節(jié). 因此，在教學(xué)中，做到“授之以漁”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題后反思的有效方法，強(qiáng)化學(xué)生的反思意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、解題能力.

1. 在錯(cuò)誤中反思，提高審題能力

學(xué)生在解題中總會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的失誤，這時(shí)，教師應(yīng)把握機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生反思失誤的原因. 如解這道一元二次方程應(yīng)用題：

星星商場(chǎng)銷售某種襯衫平均每天可銷售30件，每件盈利50元. 為了盡快減少庫存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出 2件. 問：每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日贏利可達(dá)到2100元？

學(xué)生通過獨(dú)立思考，得到以下幾種不同情況：

①得數(shù)為15元或20元；

②得數(shù)為15元；

③得數(shù)為20元.

教師引導(dǎo)學(xué)生共同反思上面3種答案的是非對(duì)錯(cuò)，經(jīng)過交流、探討，最后對(duì)錯(cuò)誤原因達(dá)成以下共識(shí)：①是沒有認(rèn)真審題，忽略了條件“為了盡快減少庫存”，導(dǎo)致沒有對(duì)所得的結(jié)果根據(jù)實(shí)際情境進(jìn)行檢驗(yàn). ②沒有正確理解條件“為了盡快減少庫存”中的“盡快”的意思，導(dǎo)致檢驗(yàn)錯(cuò)誤. ③每件襯衫降價(jià)得越多，銷售量越大，就能盡快減少庫存，所以15元應(yīng)舍去，正確答案為每件襯衫降價(jià)20元. 通過反思，學(xué)生感悟到審題的重要性，對(duì)題目的關(guān)鍵字句要咬文嚼字. 為提高學(xué)生的審題能力，筆者將該題進(jìn)行以下變式：

（1）將題目中的“為了盡快減少庫存”改成 “為了擴(kuò)大銷售” 或“為了減少庫存”，其他條件不變，答案是多少？

（2）題目中的“為了盡快減少庫存”改成“為了減少庫存，同時(shí)又要使顧客得到最大實(shí)惠”，其他條件不變，答案是多少？

2. 反思解題方法，總結(jié)解題規(guī)律，注重拓展推廣

做完一道或幾道數(shù)學(xué)題后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目條件和內(nèi)涵進(jìn)行反思，分析整理出一類問題基本的解題規(guī)律，并能加以拓展推廣應(yīng)用. 這樣有助于學(xué)生深入研究的習(xí)慣的培養(yǎng)，有利于增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性和提高學(xué)生的解題能力. 如在中考數(shù)學(xué)幾何探究專題復(fù)習(xí)《給力的三角形等面積法》教學(xué)后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)變式2、3解法和主要思維過程進(jìn)行反思，歸納出一般性的解法，體會(huì)這種方法的優(yōu)越性；并且在變式3的原有條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)行拓展與延伸，將“已知等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r1，r2，r3，等邊三角形ABC的高為h，則r1+r2+r3=h（定值）”，將其進(jìn)一步推廣為：“若正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r1，r2，r3，…，rn，則r1+r2+…+rn=nr（其中r為這個(gè)正多邊形的內(nèi)切圓的半徑）”.

總之，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是擺在每一位數(shù)學(xué)老師面前的一項(xiàng)長(zhǎng)期的重要任務(wù). 作為一名數(shù)學(xué)教師，要勤于鉆研數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材和習(xí)題，發(fā)揮典型題目的輻射作用，根據(jù)學(xué)情，精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、反思，體會(huì)到解題的樂趣，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解題能力.endprint