PMC邊界手征負(fù)折射平板波導(dǎo)模式特性及場(chǎng)分布

馬全問(wèn),肖中銀,徐曉雪,徐文杰,馬孝龍,劉德君,王子華

(上海大學(xué)特種光纖與光接入網(wǎng)省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200444)

PMC邊界手征負(fù)折射平板波導(dǎo)模式特性及場(chǎng)分布

馬全問(wèn),肖中銀,徐曉雪,徐文杰,馬孝龍,劉德君,王子華

(上海大學(xué)特種光纖與光接入網(wǎng)省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200444)

從理論上分析了以理想磁導(dǎo)體(perfect magnetic conductor,PMC)為邊界的手征負(fù)折射平板波導(dǎo)的模式特性及其磁場(chǎng)的具體分布.利用PMC邊界條件,導(dǎo)出了手征負(fù)折射波導(dǎo)的色散方程和磁場(chǎng)各分量表達(dá)式.通過(guò)波導(dǎo)的色散曲線發(fā)現(xiàn),當(dāng)手征參數(shù)κ>1時(shí),某些區(qū)域曲線出現(xiàn)下凹,左旋圓極化(left circularly polarized,LCP)波的折射率為負(fù)值,實(shí)現(xiàn)了負(fù)折射特性,截止頻率也不再是傳播常數(shù)β=0所對(duì)應(yīng)的頻率.根據(jù)傳播常數(shù)β和k+,k?的關(guān)系,將色散曲線分為3個(gè)區(qū)域,給出了各區(qū)域一階奇模和一階偶模磁場(chǎng)的具體分布,并與一般手征媒質(zhì)平板波導(dǎo)的磁場(chǎng)分布作了比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn),切向分量場(chǎng)Hy,Hz在上下邊界處為零,滿足PMC邊界條件.而由于面磁流的存在,法向分量Hx在邊界處不為零.

手征負(fù)折射;平板波導(dǎo);理想磁導(dǎo)體;色散特性;電磁場(chǎng)分布

手征媒質(zhì)因具有旋光性以及圓二色性而被廣泛關(guān)注,由手征媒質(zhì)填充構(gòu)成的平板波導(dǎo)和手征光纖的特性研究也一度成為熱點(diǎn)[1-2].手征波導(dǎo)支持混合模的傳播,而且對(duì)于相同的截止頻率有不同的傳播模式,從而限制了手征參數(shù)的大小[3].近年來(lái),負(fù)折射波導(dǎo)的一些特性,比如表面波模的存在、基模的缺失,以及能夠應(yīng)用于“完美透鏡”等[4-5],使其在通信、光學(xué)領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景.

近期研究表明,手征參數(shù)是頻率的函數(shù),并且在諧振頻率處最大,這意味著可以利用手征媒質(zhì)實(shí)現(xiàn)負(fù)折射.文獻(xiàn)[6]指出,當(dāng)手征參數(shù)κ>1時(shí),手征媒質(zhì)中的一個(gè)本征極化波將會(huì)變成后向波,其相應(yīng)折射率將小于零,從而實(shí)現(xiàn)手征負(fù)折射.并且,在微波和太赫茲波段具有負(fù)折射特性的手征媒質(zhì)已經(jīng)出現(xiàn)[7],相應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)負(fù)折射的頻段也日趨多樣化[8-9].因此,在微波新器件的研制方面,手征負(fù)折射媒質(zhì)也有著巨大的應(yīng)用潛力.對(duì)于手征媒質(zhì)平板波導(dǎo),已有學(xué)者對(duì)其理論以及結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量廣泛的研究[3,10].相關(guān)研究大多針對(duì)以理想電導(dǎo)體(perfect electric conductor,PEC)作為邊界的手征波導(dǎo),對(duì)以理想磁導(dǎo)體(perfect magnetic conductor,PMC)為邊界波導(dǎo)的研究相對(duì)較少[11].本研究對(duì)以PMC為邊界的手征負(fù)折射平板波導(dǎo)進(jìn)行分析,得出色散方程以及場(chǎng)分布表達(dá)式,并給出了色散曲線和磁場(chǎng)分布.結(jié)果發(fā)現(xiàn)色散曲線與以PEC為邊界的手征負(fù)折射波導(dǎo)有類似的特性,但由于PEC和PMC的邊界條件不同,所以二者場(chǎng)分布完全不同.

對(duì)于PMC而言,磁導(dǎo)率μ為無(wú)窮大,邊界條件如下[12]:

1 理論分析

電磁場(chǎng)在各向同性手征媒質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系為

圖1 邊界為PMC的手征負(fù)折射平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of parallel-plate chiral waveguide with PMC boundary

在手征媒質(zhì)平板波導(dǎo)中,n±=n(1±κ),可見(jiàn)當(dāng)手征參數(shù)κ>1時(shí),n?=n(1?κ)<0,即LCP波的折射率為負(fù),從而實(shí)現(xiàn)手征負(fù)折射特性.

利用手征媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系(見(jiàn)式(3)和(4))和麥克斯韋方程組,可以得到波導(dǎo)內(nèi)部的波動(dòng)方程[10]如下:

式(9)對(duì)應(yīng)E=F,G=H,這使得Hx和Hy呈奇對(duì)稱分布,所以稱為奇模特征方程;同理,式(10)對(duì)應(yīng)E=?F,G=?H,此時(shí)Hx和Hy呈偶對(duì)稱分布,故稱為偶模特征方程.

進(jìn)而由式(8)以及PMC的邊界條件,可以得到波導(dǎo)內(nèi)部的各磁場(chǎng)分量如下:

1.1 研究對(duì)象 選取2004—2017年于遼寧中醫(yī)藥大學(xué)附屬第二醫(yī)院口腔科行下頜阻生第三磨牙拔除術(shù)的260例患者為研究對(duì)象，按照手術(shù)方法不同，將患者分入A、B兩組。A組中，男性150例，女性64例；中位年齡32.7歲；前傾阻生100例，水平阻生62例，垂直阻生51例，復(fù)雜型1例。B組中，男性32例，女性14例；中位年齡33.1歲；前傾阻生20例，水平阻生18例，垂直阻生8例。兩組患者一般資料比較，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)，具有可比性?；颊呒捌浼覍倬炇鹬橥鈺狙芯拷?jīng)醫(yī)院倫理委員會(huì)批準(zhǔn)。

式(11)～(13)為奇模磁場(chǎng).

式(14)～(16)為偶模磁場(chǎng).E為各分量的系數(shù),由電磁波的功率大小來(lái)決定.

2 數(shù)值分析及討論

2.1 色散特性

基于式(9)和√(10),可得到波導(dǎo)中的奇偶模色散特性曲線如圖2所示,其中橫坐標(biāo)為βd,縱坐標(biāo)為且手征媒質(zhì)的折射率n=2.3,手征參數(shù)κ=1.8.

圖2 手征負(fù)折射波導(dǎo)中低階模奇偶模色散特性曲線(κ=1.8>1)Fig.2 Dispersion curves of propagating modes in a chiral negative refraction waveguide(κ=1.8>1)

對(duì)于以PMC為邊界的手征負(fù)折射平板波導(dǎo),奇偶模色散曲線從同一截止頻率處出發(fā)后分為兩支(見(jiàn)圖2),也就是說(shuō)對(duì)于任意大于最低截止頻率的平面波,相同的傳播常數(shù)會(huì)有兩種模式與之對(duì)應(yīng)(實(shí)線對(duì)應(yīng)偶模,虛線對(duì)應(yīng)奇模).由于手征參數(shù)κ>1,奇偶模曲線都會(huì)有下凹的部分,但下凹程度的不同導(dǎo)致各自的截止頻率不再相同.這種波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的截止頻率并不是普通波導(dǎo)中定義的βd=0時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率,而是導(dǎo)?？梢詡鞑サ淖钚☆l率.另外,在某些交叉點(diǎn)處,奇模和偶?？梢酝瑫r(shí)存在.圖2中部分曲線的斜率為負(fù),這表明由于κ>1實(shí)現(xiàn)了負(fù)折射,使能量的傳播方向與波矢方向相反.但是一般手征媒質(zhì)(n=2.3,κ=0.4<1)填充的PMC邊界平板波導(dǎo)(見(jiàn)圖3)就沒(méi)有這種特性.

圖3 一般手征波導(dǎo)中低階模奇偶模色散特性曲線(κ=0.4<1)Fig.3 Dispersion curves of propagating modes in a common chiral waveguide(κ=0.4<1)

比較圖2和3還可以發(fā)現(xiàn),手征負(fù)折射平板波導(dǎo)中不存在基模,而一般手征媒質(zhì)波導(dǎo)中存在;并且圖3中色散曲線沒(méi)有下凹的部分,這也印證了一般手征媒質(zhì)波導(dǎo)中能量傳播的方向和波矢方向是相同的,沒(méi)有后向波的產(chǎn)生.

2.2 場(chǎng)分布特性

由于手征媒質(zhì)中存在2個(gè)波數(shù)k+和k?,所以根據(jù)k+,k?和傳播常數(shù)β之間的關(guān)系[3],把色散曲線分為3個(gè)區(qū)域(見(jiàn)圖2和3).區(qū)域Ⅰ:β

所以稱區(qū)域Ⅰ為快-快-波(fast-fast-wave)區(qū)域;同理,在區(qū)域Ⅱ中滿足v?>vp>v+,故稱之為快-慢-波(fast-slow-wave)區(qū)域;而在區(qū)域Ⅲ中滿足v?>v+>vp,故稱之為慢-慢-波(slow-slowwave)區(qū)域.下面將對(duì)這3個(gè)區(qū)域的場(chǎng)分布情況進(jìn)行詳細(xì)討論.

為了研究以PMC為邊界的手征負(fù)折射波導(dǎo)的具體場(chǎng)分布,在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ的一階奇模和一階偶模上分別選取幾個(gè)點(diǎn),并根據(jù)式(11)～(16),給出磁場(chǎng)各個(gè)分量的具體分布.

對(duì)于圖2所示區(qū)域Ⅰ中一階奇模上的A點(diǎn),βd=1,?=3.095 9.將各個(gè)參量數(shù)值代入式(11)～(13),并令系數(shù)E=1,可以得到與A點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)分量Hx,Hy和Hz的分布如圖4所示,相應(yīng)的參數(shù)及坐標(biāo)值已在圖中標(biāo)出.

從圖4中可以看出,Hz是關(guān)于x軸的偶函數(shù),即Hz呈偶對(duì)稱分布,而Hx,Hy呈奇對(duì)稱分布,故稱這種橫向磁場(chǎng)呈奇對(duì)稱分布的電磁場(chǎng)模式為奇模場(chǎng).對(duì)于PMC而言,磁場(chǎng)的切向分量要在分界面處連續(xù)(滿足邊界條件),從而Hy,Hz在上下邊界(圖中x/d=±0.5)處應(yīng)為0.而由于理想磁導(dǎo)體上有磁流的存在,使得法向分量Hx不連續(xù),從而在x/d=±0.5處不為0.

同樣,對(duì)于圖2所示區(qū)域Ⅰ中一階偶模上的B點(diǎn),βd=1,?=3.027 5.根據(jù)式(14)～(16),可以得到磁場(chǎng)各個(gè)分量Hx,Hy和Hz的具體分布如圖5所示.從圖中可以發(fā)現(xiàn),橫向場(chǎng)Hx,Hy呈偶對(duì)稱分布,而縱向場(chǎng)Hz呈奇對(duì)稱分布,故稱這種橫向磁場(chǎng)呈偶對(duì)稱分布的電磁場(chǎng)模式為偶模場(chǎng).可以看出,偶模場(chǎng)在x/d=±0.5處同樣滿足PMC的邊界條件.

圖4 一階奇模磁場(chǎng)分布(圖2區(qū)域Ⅰ中的A點(diǎn))Fig.4 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode(corresponds to point A in Fig.2)

圖5 一階偶模磁場(chǎng)分布(圖2區(qū)域Ⅰ中的B點(diǎn))Fig.5 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode(corresponds to point B in Fig.2)

通過(guò)上述分析可知,圖2所示區(qū)域Ⅱ中的奇偶模磁場(chǎng)表達(dá)式與式(11)～(16)相同.通過(guò)區(qū)域Ⅱ中一階奇模上的D點(diǎn)(βd=4,?=2.996 1),以及一階偶模上的C點(diǎn)(βd=4,?=1.954 4),可以得出相應(yīng)的磁場(chǎng)分布分別如圖6和7所示.

觀察圖6和7可知,雖然區(qū)域Ⅱ中的磁場(chǎng)分布也滿足奇偶模特性和PMC邊界條件,但波形較區(qū)域Ⅰ有較大改變,原因是區(qū)域Ⅱ中LCP波變?yōu)樗p波,而RCP波仍是正(余)弦項(xiàng)疊加的傳輸波.比較圖5和7可知,圖5中Hz沿x軸方向上大于一個(gè)波長(zhǎng),這是因?yàn)樵诖藚^(qū)域有兩個(gè)極化波相互疊加;而圖7中Hz沿x軸方向上只有一個(gè)波長(zhǎng),這是由于LCP波變?yōu)檠豿軸方向的衰減波,而導(dǎo)波僅剩RCP波.

對(duì)于區(qū)域Ⅲ而言,由于β>k+>k?,LCP波和RCP波均變?yōu)樗p波(見(jiàn)圖2),使得導(dǎo)模不存在,則電磁波在此區(qū)域?qū)⒉荒軅鞑?

為了更好地說(shuō)明以PMC為邊界的手征負(fù)折射平板波導(dǎo)的場(chǎng)分布特性,下面給出一般手征媒質(zhì)平板波導(dǎo)一階偶模和一階奇模的具體磁場(chǎng)分布(見(jiàn)圖8和9),分別對(duì)應(yīng)圖3中的E點(diǎn)(βd=1,?=3.384 3)和F點(diǎn)(βd=4,?=4.625 7).

圖6 一階奇模磁場(chǎng)分布(圖2區(qū)域Ⅱ中的D點(diǎn))Fig.6 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode(corresponds to point D in Fig.2)

圖7 一階偶模磁場(chǎng)分布(圖2區(qū)域Ⅱ中的C點(diǎn))Fig.7 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode(corresponds to point C in Fig.2)

圖8一般手征媒質(zhì)波導(dǎo)一階偶模磁場(chǎng)分布(圖3區(qū)域Ⅰ中的E點(diǎn))Fig.8 Amplitudes of magnetic field components for even-wave mode in a common chiral medium(corresponds to point E in Fig.3)

圖9一般手征媒質(zhì)波導(dǎo)一階奇模磁場(chǎng)分布(圖3區(qū)域Ⅱ中的F點(diǎn))Fig.9 Amplitudes of magnetic field components for odd-wave mode in a common chiral medium(corresponds to point F in Fig.3)

比較區(qū)域Ⅰ中的圖5和8,由于手征參數(shù)κ的取值不同,u+,u?不同,且都是實(shí)數(shù),從而導(dǎo)致場(chǎng)分布不同;對(duì)于區(qū)域Ⅱ中的圖6和9,當(dāng)κ=1.8>1時(shí),u+仍為實(shí)數(shù),u?變?yōu)樘摂?shù),從而使得對(duì)應(yīng)場(chǎng)分布不同.

3 結(jié)束語(yǔ)

首先對(duì)以PMC為邊界的手征負(fù)折射波導(dǎo)的模式特性進(jìn)行了較為詳盡的分析,發(fā)現(xiàn)此種波導(dǎo)中不存在基模;色散曲線在某些區(qū)域會(huì)下凹,截止頻率也不再是縱向傳播常數(shù)βd=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率,而是導(dǎo)?？梢詡鞑サ淖钚☆l率,并且奇偶模的截止頻率也不再相等.隨后,根據(jù)傳播常數(shù)β與k+,k?的關(guān)系,將色散曲線分為3個(gè)區(qū)域,給出了波導(dǎo)內(nèi)部磁場(chǎng)的表達(dá)式,并繪出了每個(gè)區(qū)域的一階奇模和一階偶模的磁場(chǎng)分布,且與一般手征媒質(zhì)平板波導(dǎo)磁場(chǎng)分布作了比較.結(jié)果發(fā)現(xiàn),區(qū)域Ⅰ中LCP波和RCP波都是正(余)弦項(xiàng)疊加的傳輸波,而區(qū)域Ⅱ中LCP波為指數(shù)項(xiàng)疊加的衰減波,RCP波仍為正(余)弦項(xiàng)疊加的傳輸波.奇模對(duì)應(yīng)的橫向場(chǎng)Hx,Hy呈奇對(duì)稱分布,縱向場(chǎng)Hz呈偶對(duì)稱分布;偶模對(duì)應(yīng)的橫向場(chǎng)Hx,Hy呈偶對(duì)稱分布,縱向場(chǎng)Hz呈奇對(duì)稱分布.并且,磁場(chǎng)切向分量都滿足PMC邊界條件,即Hy,Hz在x/d=±0.5處為0.

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Modes and fields for a chiral negative refraction parallel-plate waveguide under PMC boundary

MA Quan-wen,XIAO Zhong-yin,XU Xiao-xue,XU Wen-jie,MA Xiao-long, LIU De-jun,WANG Zi-hua
(Key Laboratory of Specialty Fiber Optics and Optical Access Networks, Shanghai University,Shanghai 200444,China)

The mode characteristics and magnetic distributions of a chiral negative refraction parallel-plate waveguide under perfect magnetic conductor(PMC)boundary are studied theoretically.With boundary conditions of PMC,dispersion relations and electromagnetic fields are obtained.Using the dispersion curves,if the chirality parameter κ>1,curves become concave-down in some regions and the refractive index of left circularly polarized(LCP)wave is negative.It imply that chiral medium can realize negative refraction.The cutoff frequency is no longer the conventionally defined frequency when propagation constant is zero.According to the relations between propagation constant β and wavenumbers k+and k?,the dispersion curves are divided into three regions.Amplitudes of magnetic field components on the first-order even mode and first-order odd mode are plotted respectively.Chatacteristics of the magnetic field components are discussed and compared with the conventional chiral slab waveguide.It is shown that Hyand Hzare zero at x/d=±0.5.It indicates that they satisfy the PMC boundary conditions and,due to the existence of magnetic current,Hxis not zero at the interface.

chiral negative refraction;slab waveguide;perfect magnetic conductor(PMC); dispersion characteristic;electromagnetic field

O 441.4

A

1007-2861(2015)05-0579-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.03.013

2014-04-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61275070,61077068)

肖中銀(1964—),男,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)楣獠▽?dǎo)理論與技術(shù)、微波毫米波電路. E-mail:zhyxiao@staff.shu.edu.cn