索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)初始態(tài)確定及靜力分析

張莉

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)初始態(tài)確定及靜力分析

張莉

(上海大學(xué)土木工程系,上海 200072)

索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)作為一種新穎的結(jié)構(gòu)形式,是由拉索和壓桿(鋼管/鋁合金圓管)組成的自應(yīng)力狀態(tài)下的穩(wěn)定自平衡體系,體系中受拉連續(xù),受壓不連續(xù).在給定結(jié)構(gòu)幾何外形和拓?fù)潢P(guān)系的基礎(chǔ)上,采用動(dòng)力松弛法確定該體系的自應(yīng)力初始態(tài);在自重及外部荷載作用下,采用牛頓-拉弗森方法分析確定結(jié)構(gòu)的靜力性能.為揭示此類結(jié)構(gòu)的受力機(jī)理,該體系中的壓桿分別采用鋼管和鋁合金圓管,對比分析兩類組合結(jié)構(gòu)在受力性能方面的異同.數(shù)值算例表明了本方法的實(shí)用性和優(yōu)越性,為索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的推廣應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu);自應(yīng)力初始態(tài);力學(xué)性能

張拉整體體系是當(dāng)今國際空間結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的前沿研究課題之一,被譽(yù)為“未來的結(jié)構(gòu)體系”[1].該體系是一種由拉索和壓桿組成的自應(yīng)力狀態(tài)下的穩(wěn)定自平衡體系(以下簡稱為拉索/壓桿體系),體系中不連續(xù)受壓處于連續(xù)受拉的內(nèi)部.

張拉整體體系所特有的建筑造型、結(jié)構(gòu)形式和力學(xué)機(jī)理為土木工程師的設(shè)計(jì)提供了全新的靈感[1].這種體系的潛在優(yōu)勢在于其自成一體,無需強(qiáng)大的下部支承結(jié)構(gòu),可覆蓋如膜、輕型屋面板等輕質(zhì)屋面材料,從而極具經(jīng)濟(jì)性,這就為會(huì)展場館、體育場館、機(jī)場候機(jī)樓等大跨度空間結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了新思路和新技術(shù).此外,張拉整體體系的應(yīng)用范圍不局限于建筑領(lǐng)域,還可作為藝術(shù)雕塑以供觀賞,國外學(xué)者還將張拉整體的概念擴(kuò)展到了其他領(lǐng)域如生物學(xué)領(lǐng)域中[1-2].

國內(nèi)外學(xué)者的研究工作大多基于張拉整體基本單元或由基本單元拓展而成的張拉整體結(jié)構(gòu).我國學(xué)者對張拉整體體系的研究雖然起步較晚[3],但與國外的研究差距正在逐步縮小.就建筑領(lǐng)域而言,國內(nèi)外學(xué)者的研究成果尚未被應(yīng)用于大跨度屋蓋結(jié)構(gòu),這方面的工作還有待于進(jìn)一步研究.

鋁合金結(jié)構(gòu)、空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和索結(jié)構(gòu)在我國逐步得到應(yīng)用并已頒布相關(guān)規(guī)范[4-6].本研究在此基礎(chǔ)上,將張拉整體體系應(yīng)用于索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu),其中的受拉單元采用鋼索,受壓單元分別采用鋼管和鋁合金圓管.通過數(shù)值方法來確定體系的自應(yīng)力初始態(tài)及荷載態(tài),揭示體系的受力機(jī)理,為該體系應(yīng)用于工程實(shí)踐奠定理論基礎(chǔ).

1 拉索-壓桿體系的自應(yīng)力初始態(tài)確定

自應(yīng)力初始態(tài)確定是指無自重狀態(tài)下的初始態(tài)確定,基于結(jié)構(gòu)給定曲面/平面幾何及拓?fù)潢P(guān)系的力的平衡,不涉及結(jié)構(gòu)本身的材料性能,可采用動(dòng)力松弛法求解[7-9].

動(dòng)力松弛法的基本思想是逐點(diǎn)(空間上)、逐步(時(shí)間上)跟蹤體系的動(dòng)能,通過遞推方程求解.基于牛頓第二定律建立遞推方程,通過對時(shí)間點(diǎn)上虛擬動(dòng)態(tài)過程的模擬來解決靜力問題.首先假定結(jié)構(gòu)的初始曲面或平面幾何,可用有限單元來表示,本研究采用拉索/壓桿單元.假定結(jié)構(gòu)的虛擬質(zhì)量M集中在節(jié)點(diǎn)上,不平衡節(jié)點(diǎn)力激發(fā)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng),引起節(jié)點(diǎn)振蕩.節(jié)點(diǎn)振蕩隨著結(jié)構(gòu)動(dòng)能的逐步減小并趨于零而停止,此時(shí)可看作結(jié)構(gòu)處于靜力平衡狀態(tài).

t時(shí)刻空間任一點(diǎn)i在x方向的運(yùn)動(dòng)可直接由牛頓第二定律得到,以中心差分形式表示如下:

根據(jù)Barnes[7]給出的保證解收斂條件,取?t=1,得到

式中,Simax為節(jié)點(diǎn)i的最大可能剛度.對于拉索/壓桿單元,節(jié)點(diǎn)最大剛度Simax可由下式求得:

式中,Ni表示交匯于節(jié)點(diǎn)i的單元總數(shù),EA為給定的單元軸向剛度,l0為單元m的無應(yīng)力長度,l和T分別為單元m當(dāng)前時(shí)刻的長度及內(nèi)力.將式(3)代入(2)得到

則t+?t時(shí)刻i節(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)變?yōu)?/p>

根據(jù)新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可求出各單元內(nèi)力如下:

式中,Ts,ls分別為單元初始給定內(nèi)力和長度.t+?t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)不平衡力可由下式給出:

式中,與節(jié)點(diǎn)i相連的單元m的另一端為節(jié)點(diǎn)j.

計(jì)算步驟如下:

(1)假定體系的初始平面或曲面幾何及各單元的初始內(nèi)力,通常情況下假定的內(nèi)力分布不滿足節(jié)點(diǎn)平衡條件,此外將節(jié)點(diǎn)速度及結(jié)構(gòu)動(dòng)能設(shè)置為0;

(5)重復(fù)步驟(2)～(4),直到節(jié)點(diǎn)不平衡力最大值滿足給定精度ε.每次迭代均需記錄結(jié)構(gòu)動(dòng)能E,若下一時(shí)刻的動(dòng)能Et+?t/2小于前一時(shí)刻的動(dòng)能Et??t/2,則體系的動(dòng)能在t??t/2時(shí)刻達(dá)到極大值,此時(shí)將所有的速度分量設(shè)置為零,運(yùn)動(dòng)從t??t/2時(shí)刻重新開始.

2 拉索/壓桿體系荷載態(tài)的確定

荷載態(tài)的確定包含兩個(gè)階段的設(shè)計(jì):第一階段僅考慮包含體系自重的荷載態(tài)確定,以下簡稱為第一荷載態(tài);第二階段則在此基礎(chǔ)上,考慮外部荷載作用,以下簡稱為第二荷載態(tài).

2.1 第一荷載態(tài)的確定

根據(jù)所確定的初始態(tài),按照結(jié)構(gòu)實(shí)際所采用的拉索、壓桿截面尺寸,求解體系在自重作用下的第一荷載態(tài).考慮幾何非線性,可采用牛頓-拉弗森方法迭代求解非線性方程組[8,10],按i=1,2,3,…進(jìn)行求解:

其中

式(9)～(11)中,R為作用于節(jié)點(diǎn)的外荷載,F(i?1)為等價(jià)于單元應(yīng)力的第i?1次迭代的節(jié)點(diǎn)力向量,?R(i?1)為第i?1次迭代的不平衡荷載向量,K(i?1)為第i?1次迭代的切線剛度矩陣,?U(i)為第i次位移增量修正值,U(i)為第i次迭代的位移向量.

非線性方程(10)的求解還需考慮支座的約束條件,由于拉索/壓桿體系為穩(wěn)定的自應(yīng)力體系,因此對于各支座節(jié)點(diǎn)可僅考慮由自重引起的豎向約束.

對于拉索/壓桿單元,軸力T可由下式求得:

式中,l0為單元的初始放樣長度,l為當(dāng)前位置單元長度,EA為單元的實(shí)際軸向剛度.單元切線剛度矩陣[kT]為6×6矩陣:

式中,[I3]為3×3單位矩陣,{c}為當(dāng)前位置的單元方向余弦,可表示為

其中I,J為單元的兩端節(jié)點(diǎn)編號(hào),xI1,xI2,xI3為節(jié)點(diǎn)I的空間位置三維坐標(biāo).

一個(gè)有效的以迭代法為基礎(chǔ)的增量解法,必須為終止迭代而采用現(xiàn)實(shí)可行的準(zhǔn)則. Bathe[10]給出了3種常用的收斂準(zhǔn)則.

(1)位移準(zhǔn)則:

式中,εD為預(yù)定位移收斂限值,表示第i步位移增量的2范數(shù)在總位移向量的2范數(shù)的預(yù)定限值之內(nèi).

(2)殘余力準(zhǔn)則:

式中,εF為預(yù)定殘余力限值,表示殘余力向量的2范數(shù)在荷載向量的2范數(shù)的預(yù)定限值之內(nèi). (3)能量準(zhǔn)則:

式中,εE為預(yù)定能量限值,表示每次迭代時(shí)內(nèi)能增量(即在位移增量上不平衡荷載所做功的大小)的2范數(shù)在初始內(nèi)能增量的2范數(shù)的預(yù)定限值之內(nèi).

2.2 第二荷載態(tài)的確定

在僅考慮體系自重的第一荷載態(tài)已確定的基礎(chǔ)上,考慮外部荷載作用,采用牛頓-拉弗森法迭代求解,此時(shí)支座的約束條件依照結(jié)構(gòu)的實(shí)際支座約束而定.

3 應(yīng)用算例

作為理論應(yīng)用,本研究給出一個(gè)數(shù)值算例.圖1為依據(jù)莫特羅[1]給出的“微型網(wǎng)格”所設(shè)計(jì)的平板型雙層拉索/壓桿體系,圖中以較粗實(shí)線表示壓桿,以較細(xì)實(shí)線表示拉索.拉索在上、下層及層間均有布置,受拉連續(xù);壓桿僅在層間有布置,受壓不連續(xù).鑒于該體系雙軸對稱,圖中僅給出了1/4網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)編號(hào).與“微型網(wǎng)格”相比,圖1所示體系增加了上層索2-4,1-3和下層索8-11,7-9.

圖1 拉索/壓桿體系Fig.1 Cable-strut system

與節(jié)點(diǎn)編號(hào)相對應(yīng)的拉索、壓桿單元的初始給定長度如表1～4所示,其中所有壓桿的初始給定長度均相同(2 262.742 mm),所有與坐標(biāo)軸方向一致的層間垂直索(2-9,3-10,5-11, 6-12)及上、下層索的長度均相同(1 600.000 mm).

首先需確定體系的初始態(tài),計(jì)算中假定所有單元的軸向剛度EA=1.0×106,節(jié)點(diǎn)不平衡力最大值滿足給定精度ε=1.0×10?6,所有壓桿的初始給定內(nèi)力為?30.000 kN(壓為負(fù)),所有拉索的初始給定內(nèi)力為30.000 kN(拉為正).采用動(dòng)力松弛法求得各單元在初始態(tài)的內(nèi)力及長度如表1～4所示.由表可見,體系的內(nèi)力分布比較均勻,其中壓桿的內(nèi)力分布在?32.384～?34.909 kN之間;上、下層索單元的內(nèi)力有較大差別,在2.526～10.068 kN之間;層間垂直索的內(nèi)力分布在47.021～48.244 kN之間;層間斜索的內(nèi)力分布在16.192～22.924 kN之間.

采用索-鋼組合和索-鋁合金組合分別確定體系的第一荷載態(tài),區(qū)別在于壓桿分別采用鋼管和鋁合金圓管.計(jì)算中考慮節(jié)點(diǎn)自重,節(jié)點(diǎn)采用螺栓球節(jié)點(diǎn)BS100[11],拉索采用鋼絲繩結(jié)構(gòu)1×37[12],鋼管采用焊接鋼管[13],鋁合金圓管采用弱硬化鋁合金擠壓無縫圓管(牌號(hào)6061;狀態(tài)T6)[4,14],壓桿、拉索的截面尺寸如表1～4所示.由于體系屬于自應(yīng)力作用下的自平衡體系,參考現(xiàn)行《空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[5],網(wǎng)架可采用上弦或下弦支承方式,計(jì)算中假定僅在上層外節(jié)點(diǎn)處(對應(yīng)于1/4網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)1,4)有豎向固定支承,即支座節(jié)點(diǎn)僅承受體系的豎向自重.無需如索網(wǎng)、索膜等預(yù)應(yīng)力體系所需的強(qiáng)大水平支承,這也是自應(yīng)力體系與預(yù)應(yīng)力體系相比具有的一大優(yōu)勢.

表1 初始態(tài)與荷載態(tài)桿單元長度及內(nèi)力Table 1 Element forces and lengths of struts in initial and load states

表2 初始態(tài)與荷載態(tài)上層索單元長度及內(nèi)力Table 2 Element forces and lengths of upper layer cables in initial and load states

表3 初始態(tài)與荷載態(tài)下層索單元長度及內(nèi)力Table 3 Element forces and lengths of lower layer cables in initial and load states

表4 初始態(tài)與荷載態(tài)層間斜索和垂直索單元長度及內(nèi)力Table 4 Element forces and lengths of diagonal/vertical cables in initial and load states

對于第一、第二荷載態(tài),計(jì)算中的收斂準(zhǔn)則同時(shí)以位移準(zhǔn)則、殘余力準(zhǔn)則和能量準(zhǔn)則來控制,分別取εD=1.0×10?3,εF=1.0×10?6,εE=1.0×10?8.對于鋼材取彈性模量E=2.06× 105N/mm2[15],對于拉索(單股鋼絲繩)取E=1.4×105N/mm2[6],對于鋁合金取E=7.0× 104N/mm2[4].

第一荷載態(tài)中各單元的內(nèi)力如表1～4所示,從表中可以看出,當(dāng)壓桿分別采用鋼管和鋁合金圓管時(shí),體系在自重作用下的內(nèi)力分布差別不大.而且由初始態(tài)到第一荷載態(tài)體系的最大豎向位移均為中心節(jié)點(diǎn)12(索-鋼組合:?0.587 mm;索-鋁合金組合:?0.449 mm);豎向支座反力也都不大(索-鋼組合:節(jié)點(diǎn)1為0.588 kN,節(jié)點(diǎn)4為0.840 kN;索-鋁合金組合:節(jié)點(diǎn)1為0.453 kN,節(jié)點(diǎn)4為0.644 kN),主要原因在于體系在初始態(tài)已具有較大剛度.此外,盡管拉索、壓桿在初始態(tài)都具有較大的內(nèi)力,但它們是自平衡的,各支座僅承受體系的自重,這也使得該體系與預(yù)應(yīng)力體系(如索網(wǎng)、索膜、索穹頂?shù)?相比具有較大優(yōu)勢.

在第一荷載態(tài)確定的基礎(chǔ)上,第二荷載態(tài)[6,16]考慮輕型屋面板,自重取0.3 kN/m2,屋面活荷載為0.5 kN/m2.本研究考慮荷載基本組合為1.0×自應(yīng)力+1.2×恒載+1.4×活載,以及荷載標(biāo)準(zhǔn)組合為1.0×自應(yīng)力+1.0×恒載+1.0×活載(用于計(jì)算體系撓度).計(jì)算中假定在上層外節(jié)點(diǎn)處(對應(yīng)于1/4網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)1,4)有豎向固定支承,水平向?yàn)閺椥灾С?彈簧剛度為0.5 kN/mm.

第二荷載態(tài)體系的最大豎向位移均為中心節(jié)點(diǎn)12(索-鋼組合:?3.323 mm;索-鋁合金組合:?3.381 mm).索-鋼組合體系的豎向支座反力:節(jié)點(diǎn)1為5.547 kN,節(jié)點(diǎn)4為7.197 kN;索-鋁合金組合體系的豎向支座反力:節(jié)點(diǎn)1為5.418 kN,節(jié)點(diǎn)4為6.990 kN.第二荷載態(tài)各單元的內(nèi)力如表1～4所示,從表中可看出,體系在第二荷載態(tài)仍具有較強(qiáng)的抵抗外部荷載的能力,除少數(shù)自應(yīng)力值較小的上、下層索外,無論是拉索還是壓桿,其內(nèi)力的變化幅度相對于自應(yīng)力都不大,僅有小幅度的增減,這也表明了這種自應(yīng)力體系的優(yōu)越性.一旦確定了初始態(tài),體系就具有了較大的初始剛度和較強(qiáng)的抵抗外部荷載的能力.

從索-鋼組合和索-鋁合金組合的對比中可以看出,鋁合金的彈性模量僅為拉索的1/2,接近于鋼材的1/3;鋼材的質(zhì)量密度ρ=7 850 kg/m3,鋁合金的質(zhì)量密度ρ=2 700 kg/m3,也接近于鋼材的1/3.本算例中,整個(gè)模型水平投影面積為35.84 m2,鋼制螺栓球節(jié)點(diǎn)的自重為197.3 kg,鋼絲繩索的自重為43.5 kg,鋼管的自重為244.7 kg,鋁合金圓管的自重為149.7 kg,不足鋼管自重的62%.索-鋼組合體系總重485.5 kg,耗鋼量不足14 kg/m2;索-鋁合金組合體系總重390.5 kg,耗鋼量不足11.0 kg/m2.如果體系的節(jié)點(diǎn)采用鋁合金螺栓球節(jié)點(diǎn)[17],則體系的自重將有進(jìn)一步較大幅度的減輕.

無論是在第一荷載態(tài)還是第二荷載態(tài),索-鋼組合體系和索-鋁合金組合體系的最大撓度及單元內(nèi)力分布都差別不大,這表明鋁合金材料比鋼材更具有輕質(zhì)高強(qiáng)的優(yōu)勢.特別是隨著跨度的增大,當(dāng)體系自重的影響越來越大時(shí),采用鋁合金材料的優(yōu)勢將更加明顯.

上述算例表明,采用動(dòng)力松馳法確定體系初始態(tài),以及采用牛頓-拉弗森法確定體系荷載態(tài)具有實(shí)用性和優(yōu)越性,為索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程中的推廣應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

4 結(jié)論

(1)索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)是由拉索和壓桿(鋼管/鋁合金圓管)組成的自應(yīng)力狀態(tài)下的穩(wěn)定自平衡體系.體系的自應(yīng)力初始態(tài)可采用動(dòng)力松弛法來確定,在僅考慮體系自重的第一荷載態(tài)和有外部荷載作用的第二荷載態(tài)的情況下,需考慮幾何非線性的影響,可采用牛頓-拉弗森法通過迭代求解非線性方程組來確定荷載態(tài)結(jié)構(gòu)幾何與內(nèi)力分布.

(2)索-鋼組合結(jié)構(gòu)和索-鋁合金組合結(jié)構(gòu)的受力機(jī)理相似,在初始態(tài)由于自應(yīng)力的存在,體系均具有較大的剛度;在第一荷載態(tài),支座節(jié)點(diǎn)僅承受體系的自重作用;在第二荷載態(tài),各單元的內(nèi)力與自應(yīng)力相比變化幅度不大,表明體系具有較好的抵抗外部荷載的能力.

(3)索-鋼/鋁合金組合結(jié)構(gòu)具有自重輕、受力性能好和支座負(fù)擔(dān)輕的優(yōu)點(diǎn);與索-鋼組合結(jié)構(gòu)相比,索-鋁合金組合結(jié)構(gòu)可進(jìn)一步減輕體系自重,這在大跨度結(jié)構(gòu)中更具優(yōu)勢.

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[17]上海市工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化辦公室.DGJ08—95—2001鋁合金格構(gòu)結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程(試行)[S].上海:上海市工程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化辦公室,2001.

Initial state determination and static analysis of composite cable and steel/aluminum structures

ZHANG Li
(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

Composite cable and steel/aluminum structure is a new system.It is in a selfstress and stable self-equilibrated state,comprising a continuous set of tension members (cables)and a discontinuous set of compression components(steel pipes or alloy tubes). Starting from an initial specified geometry and topology,the initial self-stress is determined using a dynamic relaxation method.The behavior of the structure is analyzed for safely resisting the self-weight and applied static load using the Newton-Raphson method.To understand its mechanical property,steel pipes and alloy tubes are used as compression members respectively in the two kinds of composite structures.Application of the process is shown with a numerical example.It is concluded that that improvement in engineering application of the composite cable and steel/aluminum structure has been achieved.

composite cable and steel/aluminum structure;initial self-stress state;mechanical property

TU 398.9

A

1007-2861(2015)05-0631-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.009

2014-10-10

上海大學(xué)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(10011811001)

張莉(1969—),女,副教授,博士,研究方向?yàn)榭臻g結(jié)構(gòu).E-mail：l.zhang@shu.edu.cn