Origin在共振法測量固體材料的楊氏模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

余瀟杭，張軍朋

(華南師范大學(xué)，廣東廣州 510006)

楊氏模量反映固體材料抵抗外力產(chǎn)生拉伸(或壓縮)形變的能力，根據(jù)動力學(xué)共振法原理，采用懸掛法來測量固體材料的楊氏模量能準(zhǔn)確反映材料在微小形變時的物理性能，測得值精確穩(wěn)定，對脆性材料也能測量，該方法被廣泛使用［1-3］。

實(shí)驗(yàn)中求楊氏模量需要測出樣品的固有頻率，然而本實(shí)驗(yàn)無法直接測出，而是采用外延測量法測量基頻共振頻率來代替樣品固有頻率。這就需要先用已測出的數(shù)據(jù)繪制曲線，再按照曲線規(guī)律延長到求值范圍，在延長線部分求出所要的值。這就對作圖以及求延長線部分極值點(diǎn)的精確度提出更高要求。傳統(tǒng)的手工作圖和人主觀確定極值點(diǎn)難免造成較大的誤差，采用Origin軟件的多項(xiàng)擬合(Fit Polynomial)、微分(Differentiate)和由X(Y)值求Y(X)值(find X(Y)from Y(X))功能，參考李艷琴等人《動力學(xué)共振法測量固體楊氏模量》一文中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［4］，介紹一種用 Origin對該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的方法，操作簡單，精確直觀。

1 實(shí)驗(yàn)原理

對于一長為L的細(xì)棒，如圖1，棒的軸線沿x方向，那么棒在z方向的振動(棒的橫振動)滿足動力學(xué)方程式中η為棒上距左端x處橫截面在z方向的位移，E為該棒的楊氏模量(單位為Pa)，ρ為材料的密度，S為棒的橫截面積，I為棒的某一截面對棒的中心軸線(x軸)的慣性矩［5］。

對于直徑為d的圓棒，慣性矩I為:

根據(jù)特定的邊界條件定出常數(shù)K，代入橫截面的慣性矩I，就可以得到具體條件下的關(guān)系式，結(jié)合方程(1)的通解，可得到超越方程:cosKLchKL=1，其根依次是:

只要長度L確定，Kn就可以確定。第一個根“0”對應(yīng)于靜止?fàn)顟B(tài)，第二個根KnL=4．730 0，與此對應(yīng)的振動頻率為基頻(固有頻率)。從試樣棒做基頻振動波形圖，即圖2，可以看出，試樣棒在作基頻振動時存在兩個節(jié)點(diǎn)，它們的位置距離端面0．224 L(距離另一端面為0．776 L)處。

將KnL=4．730 0代入式子(3)，結(jié)合圓的面積公式，得到對于直接為d的圓棒，其楊氏模量為

其中，f1為圓棒的基頻頻率。

圖1 棒的橫振動

圖2 基頻振動波形圖

由于式(5)在試樣的直徑與長度之比趨于零時才能滿足，因此對試樣的不同徑長比作出修正，即

T1為修正系數(shù)，修正系數(shù)是由徑長比確定的，如表 1 所示［6］。

表1 徑長比與修正系數(shù)的關(guān)系

由于本實(shí)驗(yàn)的試樣機(jī)械品質(zhì)因數(shù)Q較大，最小約為 50，根據(jù)，兩者相差較小，可以測量共振頻率代替基頻頻率(固有頻率)。

實(shí)驗(yàn)中，若要測量試樣棒的基頻頻率，只能將懸線掛于0．224 L和0．776 L節(jié)點(diǎn)處，但該節(jié)點(diǎn)處的振動幅度幾乎為零，很難激振和檢測，故采用外延法測基頻共振頻率。即本實(shí)驗(yàn)采用測量棒上幾個不同位置的共振頻率，根據(jù)已測數(shù)據(jù)繪制曲線，將曲線按照原來規(guī)律延長，找到曲線最低點(diǎn)(即結(jié)點(diǎn))所對應(yīng)的頻率，即為棒的固有頻率f1。

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

用Origin軟件的多項(xiàng)擬合(Fit Polynomial)、微分(Differentiate)和由X(Y)值求Y(X)值(Find X(Y)from Y(X))功能對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

2．1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本實(shí)驗(yàn)使用的儀器是SG-9動態(tài)型楊氏模量測試儀，示波器等。通過調(diào)節(jié)信號源頻率，觀察示波器上的電信號波形，測出懸線位于不同位置的共振頻率f1，本文采用李艷琴等人《動力學(xué)共振法測量固體楊氏模量》一文中對于黃銅橫棒測量到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，如表3所示，以此為例介紹Origin軟件在該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。

表2 懸線位于試樣棒不同位置測到的共振頻率

2．2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

第一步，數(shù)據(jù)輸入。Origin啟動后會自動生成一個工作表Worksheet，將表3的數(shù)據(jù)輸入表格Data1中，其中懸線位置x(mm)數(shù)據(jù)置于x(X)列中，共振頻率f(Hz)數(shù)據(jù)置于f(Y)列中，如圖3所示。

第二步，繪制f-x散點(diǎn)圖。選中Data1中的x(X)列和f(Y)列，然后點(diǎn)擊菜單中的Plot中Symbol中的Scatter鍵，得到f-x散點(diǎn)圖，如圖3所示。

第三步，多項(xiàng)擬合f-x曲線。選中Graph1，點(diǎn)擊菜單Analysis中Fitting中的Fit Polynomial(多項(xiàng)擬合)鍵，彈出選項(xiàng)對話框，勾選Polynomial Order為6次，即進(jìn)行6次項(xiàng)擬合，并選擇Find Specific X/Y中 Find Y from X，點(diǎn)擊“OK”，得到 f-x曲線以及相關(guān)系數(shù)R值，如圖4，R=0．998 83，說明擬合效果很好。同時，在Book1中還會生成一個表格Fit Polynomial Find Y from X，只要在該表格中“Enter x values”列中輸入需要的 x值，“Y value”列就會自動輸出該擬合好曲線上該x值對應(yīng)的點(diǎn)的y值。該步驟是為了方便在接下來找到最低點(diǎn)坐標(biāo)對應(yīng)的x值之后，將x值輸入該表格就可以找到最低點(diǎn)的y值，即材料的基頻頻率f1。

第四步，對頻率-位置函數(shù)f(x)求微分。根據(jù)第三步，要知道曲線f-x最低點(diǎn)縱坐標(biāo)，首先要確定最低點(diǎn)橫坐標(biāo)，即求曲線f-x的極小值點(diǎn)。在數(shù)學(xué)上，求一條曲線的極值點(diǎn)，即找到該曲線函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值為0的點(diǎn)，該點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為曲線上最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)?；谝陨系姆椒?，現(xiàn)在對頻率-位置函數(shù)f(x)求微分。

圖3 原始數(shù)據(jù)及f-x散點(diǎn)圖

選中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，點(diǎn)擊Analysis中的Differentiate健，在彈出的對話框中勾選 Plot Derivative Curve項(xiàng)，即輸出微分曲線，點(diǎn)擊“OK”，得到微分?jǐn)?shù)據(jù)表和微分曲線，如圖5。

圖4 “Find Y from X”輸入框及f-x曲線

圖5 微分?jǐn)?shù)據(jù)表和微分曲線

第五步，多項(xiàng)擬合微分曲線。由于第四步得到的微分曲線并不是圓滑曲線，因此要擬合微分曲線。按照第三步的方法，采用多項(xiàng)擬合，勾選Polynomial Order為6次，并選擇Find Specific X/Y 中 Find X from Y，點(diǎn)擊“OK”，得到“Find X from Y”輸入框及f-x微分曲線和其相關(guān)系數(shù)R值，如圖6所示，相關(guān)系數(shù)R=0．985 69，擬合效果較好。同時，在Book1中還會生成一個表格Fit Polynomial Find X from Y1，只要在輸入框中輸入y值，就能得到f-x微分曲線上該y值對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x。

第六步，求導(dǎo)函數(shù)值為0的點(diǎn)橫坐標(biāo)。在圖6中所示“Find X from Y”輸入框的“Enter Y values”列中輸入0，則在“X value”列就會自動輸出f-x微分曲線上y值為0的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)，輸出結(jié)果為x=36．752 43，如圖7所示。

圖6 “Find Y from X”輸入框及f-x微分曲線

第七步，求 f-x曲線的極小值點(diǎn)。將 x=36．752 43輸入圖4中所示“Find Y from X”輸入框，即在“Enter X values”列中輸入 36．752 43，則在“Y value”列就會自動輸出f-x曲線上x值為36．752 43的點(diǎn)對應(yīng)的縱坐標(biāo)，輸出結(jié)果為 y=823．445 7，如圖7所示。也就是基頻共振頻率為f1=823．445 7 Hz。

圖7 “Find Y from X”輸入框及“Find Y from X”輸入框

2．3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)以上數(shù)據(jù)處理的結(jié)果，被測材料黃銅棒的基頻共振頻率為f1=823．445 7 Hz，結(jié)合測到的棒的長度平均值 L=166．78 mm，直徑 d=7．937 mm，質(zhì)量m=69．6 g，通過查表1，修正系數(shù)為 T1=1．014，代入式(6)，得到黃銅的楊氏模量為E=8．99 ×1010Pa。

理論推導(dǎo)得到試樣棒的基頻振動理論節(jié)點(diǎn)位置為0．224 L［7-9］，即本實(shí)驗(yàn)的理論值為 x0=37．4 mm，而本文用Origin處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到的節(jié)點(diǎn)位置x=36．752 43 mm。比較實(shí)驗(yàn)值和理論值，計(jì)算百說明用該方法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的結(jié)果接近理論值，誤差可能由于儀器的精度造成。

3 結(jié) 論

采用Origin軟件的多項(xiàng)擬合(Fit Polynomial)、微分(Differentiate)和由 X(Y)值求 Y(X)值(find X(Y)from Y(X))功能，對共振法測量固體材料的楊氏模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，操作簡單，精確直觀。

此外，該方法還可以拓展運(yùn)用到用Origin軟件求曲線極值點(diǎn)，相比于傳統(tǒng)手工作圖，人為取最低點(diǎn)的主觀性，這種方法比較精確方便。

綜上所述，將Origin軟件引入物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，有利于提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度，也有利于提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的效率。

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