多激勵(lì)下結(jié)構(gòu)反共振頻率的計(jì)算和配置

史英沙，黎 勝

（1.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

引言

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，反共振是指系統(tǒng)的某個(gè)自由度在特定頻率下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)幅值為零［1］。因此反共振在結(jié)構(gòu)的局部振動(dòng)控制中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。目前反共振主要應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的隔振系統(tǒng)［2-5］。反共振是系統(tǒng)的局部現(xiàn)象，不僅與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度相關(guān)，還與激勵(lì)位置和響應(yīng)輸出位置相關(guān)，不同的激勵(lì)位置和響應(yīng)輸出位置存在不同的反共振頻率。目前對(duì)反共振的研究主要是考慮單個(gè)激勵(lì)的作用，而在實(shí)際工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)受力較為復(fù)雜，有時(shí)會(huì)受到多個(gè)激勵(lì)力甚至是分布力的作用，此時(shí)結(jié)構(gòu)某個(gè)自由度的振動(dòng)響應(yīng)與所有的激勵(lì)力大小及其位置相關(guān)。因此在多個(gè)激勵(lì)力，甚至是分布力作用時(shí)，分析和研究結(jié)構(gòu)某一位置的振動(dòng)響應(yīng)為零的頻率具有重要意義。目前的文獻(xiàn)主要是針對(duì)單輸入單輸出時(shí)的反共振頻率的計(jì)算和靈敏度分析［6-8］。對(duì)單輸入單輸出時(shí)的反共振頻率的計(jì)算方法主要有兩種：劃去質(zhì)量陣和剛度陣的相關(guān)行和列來構(gòu)造子矩陣方法，以及Wang 等［6］使用的零空間構(gòu)造矩陣方法。前者無法應(yīng)用于多個(gè)激勵(lì)作用下的反共振頻率的計(jì)算，后者雖可以計(jì)算多個(gè)激勵(lì)作用下的反共振頻率，但構(gòu)造出的矩陣沒有明確的物理意義，難以應(yīng)用于對(duì)反共振頻率的配置中。

在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)控制中，根據(jù)不同需求使用主動(dòng)方法或被動(dòng)方法對(duì)結(jié)構(gòu)的反共振頻率進(jìn)行配置，以達(dá)到在穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下某一位置振動(dòng)響應(yīng)為零的目的。Mottershead［9］使用測量導(dǎo)納方法對(duì)原點(diǎn)導(dǎo)納或跨點(diǎn)導(dǎo)納的反共振頻率進(jìn)行配置。Kyprianou 等［10］證明通過附加質(zhì)量彈簧簡單振子可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意反共振頻率的配置。Mottershead 等［11］使用主動(dòng)振動(dòng)控制對(duì)反共振頻率進(jìn)行配置。Tsai 等［12］使用逆結(jié)構(gòu)修改方法同時(shí)配置一個(gè)導(dǎo)納函數(shù)的兩個(gè)反共振頻率。但是上述文獻(xiàn)主要關(guān)注于單激勵(lì)系統(tǒng)的反共振頻率配置，而對(duì)多個(gè)激勵(lì)力作用時(shí)的反共振頻率配置研究較少。Shi 等［13］基于測量導(dǎo)納的結(jié)構(gòu)修改方法提出了在結(jié)構(gòu)受到多個(gè)力作用時(shí)的反共振頻率的配置，但該方法局限于對(duì)一個(gè)反共振頻率的配置，并且不能直接計(jì)算得到反共振頻率。目前通過部分特征結(jié)構(gòu)配置的方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)共振頻率的配置［14-17］，而對(duì)多個(gè)反共振頻率的配置研究較少。若部分特征結(jié)構(gòu)配置方法可應(yīng)用于反共振頻率的配置，將對(duì)結(jié)構(gòu)的局部振動(dòng)控制具有重要的意義。

本文主要計(jì)算和配置了結(jié)構(gòu)受到多個(gè)激勵(lì)力時(shí)的反共振頻率，通過構(gòu)造矩陣，使得矩陣的特征值為多激勵(lì)作用下的反共振頻率，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜激勵(lì)下反共振頻率的直接計(jì)算。并且基于上述反共振頻率的計(jì)算方法可把部分特征結(jié)構(gòu)配置方法應(yīng)用于對(duì)多個(gè)反共振頻率的配置中，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)多激勵(lì)作用下反共振頻率的配置。本文分別利用了質(zhì)量陣/剛度陣修改以及附加一個(gè)自由度的簡單振子的修改方法，對(duì)多激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的一個(gè)或兩個(gè)反共振頻率進(jìn)行配置。以線性面載荷激勵(lì)下的矩形鋼板為例研究了分布力下反共振頻率的計(jì)算和配置，并以多個(gè)力激勵(lì)下的六自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為例研究了多激勵(lì)下的反共振頻率的計(jì)算和配置。

1 理 論

1.1 多激勵(lì)作用下反共振頻率的計(jì)算

無阻尼結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中M和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣；ω為激勵(lì)力頻率；x為位移向量；F為節(jié)點(diǎn)激勵(lì)力向量。

當(dāng)結(jié)構(gòu)受到分布力作用時(shí)，可將分布力轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)力F進(jìn)行計(jì)算。系統(tǒng)的位移響應(yīng)為：

式中Z-1(ω)=H(ω)為結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納矩陣，矩陣元素hpq的求解公式為：

式（3）中分母為零的頻率為結(jié)構(gòu)的共振頻率。當(dāng)分子adj(K-ω2M)pq=0 時(shí)，所求頻率即為激勵(lì)力作用在q自由度時(shí)，p自由度的響應(yīng)輸出為零的反共振頻率。

結(jié)構(gòu)受到多個(gè)激勵(lì)作用時(shí)，p自由度處的振動(dòng)位移響應(yīng)為：

當(dāng)位移xp=0，式（4）可寫為：

根據(jù)行列式性質(zhì)，式（5）可轉(zhuǎn)化為用激勵(lì)力向量轉(zhuǎn)置FT來替換阻抗矩陣Z的p行元素的行列式，即為：

式中zij=kij-ω2mij，其中i，j=1，…，n；F為實(shí)向量。

因此在求解式（6）時(shí)可將系統(tǒng)的剛度陣、質(zhì)量陣中p行元素 分別替換為kpr=fr，mpr=0，其中r=1，…，n，從而形成新的矩陣和，并且式（6）可轉(zhuǎn)化為廣義特征值問題的形式：

式（7）求得的特征值即為多激勵(lì)作用下p自由度的反共振頻率，特征向量沒有具體的物理意義。結(jié)構(gòu)僅有部分自由度受到激勵(lì)力時(shí)，其他自由度的激勵(lì)力為零，利用上述方法依舊可求解此時(shí)的振動(dòng)位移響應(yīng)為零的頻率。

1.2 多激勵(lì)作用下反共振頻率的配置

1.2.1 基于結(jié)構(gòu)修改的多激勵(lì)下反共振頻率配置

無阻尼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：

公式（8）的廣義特征值為結(jié)構(gòu)共振頻率的平方ω2，而公式（6）和（7）的特征值為多個(gè)激勵(lì)力作用下結(jié)構(gòu)反共振頻率的平方。目前相關(guān)文獻(xiàn)可通過對(duì)結(jié)構(gòu)特征值進(jìn)行配置實(shí)現(xiàn)對(duì)共振頻率的配置。參考Mottershead 等［18］對(duì)共振頻率和振型節(jié)點(diǎn)的配置方法，可實(shí)現(xiàn)多個(gè)激勵(lì)力甚至分布力作用下結(jié)構(gòu)反共振頻率的配置。

根據(jù)文獻(xiàn)［18］中的配置方法，在對(duì)多激勵(lì)作用下的結(jié)構(gòu)反共振頻率ωa配置時(shí)，公式（7）左乘，可得到如下等式：

式中I為單位陣；kg為g自由度的剛度修改量，且修改位置與響應(yīng)輸出位置不相同，即p≠g。

根據(jù)公式（9）可以得到在位移響應(yīng)位置p處和結(jié)構(gòu)修改位置g處的等式分別為：

同理，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行質(zhì)量修改時(shí)，在響應(yīng)輸出位置和修改位置的等式分別如下：

令xp=0，可得到質(zhì)量修改量為：

在構(gòu)造廣義特征值時(shí)用激勵(lì)力向量替換了結(jié)構(gòu)阻抗矩陣中響應(yīng)位置的相關(guān)元素，因此該結(jié)構(gòu)修改方法僅適用于配置一個(gè)響應(yīng)輸出位置的反共振頻率，而無法同時(shí)配置多個(gè)位置的反共振頻率。目前已有相關(guān)文獻(xiàn)通過對(duì)特征值的配置實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)共振頻率的配置。因此基于相關(guān)計(jì)算方法也通過對(duì)構(gòu)造特征值的配置實(shí)現(xiàn)多激勵(lì)作用下多個(gè)反共振頻率的配置。

1.2.2 附加一個(gè)自由度的簡單振子的反共振頻率配置

Kyprianou 等［10］通過對(duì)系統(tǒng)附加一個(gè)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)來配置共振頻率的方法可擴(kuò)展應(yīng)用于反共振頻率的配置。其配置共振頻率的方法如下文所述，在配置多激勵(lì)作用下的反共振頻率時(shí)僅需將文獻(xiàn)［10］中的剛度陣K和質(zhì)量陣M分別替換為公式（7）中的Kˉ和Mˉ。

假設(shè)結(jié)構(gòu)有n個(gè)自由度，并且在第n個(gè)自由度處增加一個(gè)簡單振子，如圖1 所示。簡單振子連接的自由度n與反共振響應(yīng)輸出自由度p不同，即n≠p。

1.2.1 對(duì)照組 采用胃腸動(dòng)力藥+氟哌噻噸美利曲辛片+雙倍PPI[3]。給予枸櫞酸莫沙必利分散片(成都大西南制藥有限公司，國藥準(zhǔn)字：H20031110)5mg，3次/d，飯前服用，氟哌噻噸美利曲辛片(黛力新，丹麥，深圳市康哲藥品有限公司，進(jìn)口藥品注冊證號(hào)：H20080175)1粒，2次/d，于早、晚餐后服用，艾司奧美拉唑鎂腸溶片 (阿斯利康制藥有限公司，國藥準(zhǔn)字：H20046379)40mg，2 次/d，共服 8 周。

圖1 連接在第n 個(gè)自由度上的簡單振子Fig.1 Simple oscillator connected to the nth degree of freedom

簡單振子的質(zhì)量和剛度分別為dm和 dk。此時(shí)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為［10］：

式中 等式左側(cè)zij=kij-ω2mij，其中i，j=1，…，n，是求解特征值的系統(tǒng)阻抗陣。

根據(jù)文獻(xiàn)［10］公式推導(dǎo)，求解系統(tǒng)特征值的等式為：dk-ω2dm-ω2dmdkhnn=0。在式（14）中存在兩個(gè)未知量dk和dm。

當(dāng)配置一個(gè)特征值頻率ωi時(shí)，簡單振子的剛度為［10］：

式中hnn(ωi)為連接簡單振子的結(jié)構(gòu)自由度n的原點(diǎn)導(dǎo)納頻響函數(shù)。為了令dk>0，質(zhì)量和特征頻率應(yīng)滿足不等式［10］：

當(dāng)同時(shí)配置兩個(gè)特征頻率ωi和ωj時(shí)，振子的質(zhì)量為［10］：

為了使得dm>0，特征頻率及連接位置的自由度的導(dǎo)納函數(shù)需要滿足以下不等式［10］：

2 數(shù)值算例

2.1 矩形板反共振頻率的計(jì)算和配置

表1 節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率（單位：Hz）Tab.1 Antiresonant frequency of node a（Unit：Hz）

圖2 受線性面載荷的矩形板Fig.2 The rectangular plate subjected to a linear surface load

首先通過對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣/剛度陣修改的方法將300 Hz 配置為節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率，選擇修改的位置為節(jié)點(diǎn)b，通過質(zhì)量陣/剛度陣修改方法得到需要的修改量為：Δk=-2.992×106Nm 或Δm=0.842 kg。在節(jié)點(diǎn)b 增加質(zhì)量后，節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率見表1（質(zhì)量陣/剛度陣修改），并且節(jié)點(diǎn)a 的頻響曲線如圖3 所示。結(jié)構(gòu)修改后節(jié)點(diǎn)a 在300 Hz 的振動(dòng)響應(yīng)為零，即通過結(jié)構(gòu)修改把300 Hz 配置為節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率。

圖3 質(zhì)量修改后節(jié)點(diǎn)a 的頻響曲線Fig.3 Frequency response curves of node a after mass modification

此外也可通過附加簡單振子的方法將300 Hz配置為節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率。在實(shí)際工程中可根據(jù)已知約束選擇符合要求的簡單振子的連接位置、質(zhì)量和剛度。在本算例中要求簡單振子的質(zhì)量和剛度都較小。選擇振子的質(zhì)量和剛度時(shí)，首先根據(jù)不等式（16）計(jì)算連接在不同節(jié)點(diǎn)時(shí)振子質(zhì)量的取值范圍，然后選取令不等式（16）在各個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)均成立的振子質(zhì)量dm，再通過公式（15）計(jì)算連接在各節(jié)點(diǎn)時(shí)振子的剛度dk，最后選取最小dk為振子剛度，它的節(jié)點(diǎn)為簡單振子的連接位置。在本算例中振子連接在不同節(jié)點(diǎn)時(shí)不等式（16）均成立的質(zhì)量范圍為0

圖4 簡單振子-1 個(gè)頻率節(jié)點(diǎn)a 的頻響曲線Fig.4 Frequency response curves of node a attached to simple oscillator after assigning one frequency

當(dāng)使用簡單振子將200 和300 Hz 同時(shí)配置為節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率，在選取振子附連的位置時(shí)需要滿足不等式（18），并且要求振子的質(zhì)量和剛度都較小。在本算例中根據(jù)公式（17）振子附加在節(jié)點(diǎn)d 時(shí)振子質(zhì)量最小為dm=0.1187 kg，此時(shí)振子的剛度為dk=3.5186×105N/m。附加后的節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率見表1（簡單振子-2 個(gè)頻率），頻響函數(shù)曲線如圖5 所示。配置后200 和300 Hz 已是節(jié)點(diǎn)a 的反共振頻率，見表1 和圖5。

圖5 簡單振子-2 個(gè)頻率節(jié)點(diǎn)a 的頻響曲線Fig.5 Frequency response curves of node a attached to simple oscillator after assigning two frequencies

2.2 六自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)反共振頻率的計(jì)算和配置

以六個(gè)自由度的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為例［18］，如圖6 所示，質(zhì)量塊1～6 的激勵(lì)力向量為FT=［1 2 3 4 5 6］T，此時(shí)分別使用本文方法和文獻(xiàn)［6］中方法計(jì)算得到質(zhì)量塊1 的反共振頻率，如表2 所示。

表2 質(zhì)量塊1 的反共振頻率（單位：Hz）Tab.2 Antiresonant frequency of mass block 1（Unit：Hz）

圖6 六自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)Fig.6 The mass-spring system of six degrees of freedom

若使用質(zhì)量陣/剛度陣修改方法將1.5 rad/s 配置為跨點(diǎn)導(dǎo)納h45的零點(diǎn)時(shí)，在第3 自由度處進(jìn)行剛度修改，通過公式（11）計(jì)算得到剛度的修改量為=0.4605 N/m，與文獻(xiàn)［9］中的剛度修改計(jì)算結(jié)果相同。

質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到多個(gè)激勵(lì)時(shí)，根據(jù)表2 中質(zhì)量塊1 的反共振頻率，要求將0.15 Hz 配置為質(zhì)量塊1 的反共振頻率。使用質(zhì)量陣/剛度陣修改方法對(duì)第6 自由度處進(jìn)行結(jié)構(gòu)修改，計(jì)算可得Δk6==0.1707 N/m。修改后質(zhì)量塊1 的反共振頻率見表2，且質(zhì)量塊1 處的位移頻響曲線如圖7 所示。由表2 和圖7 可知，在多個(gè)激勵(lì)力作用下，質(zhì)量塊1 在0.15 Hz 的振動(dòng)位移響應(yīng)為零。

圖7 結(jié)構(gòu)修改前后質(zhì)量塊1 處的位移響應(yīng)曲線Fig.7 Displacement response curves of mass block 1 before and after structural modification

通過對(duì)結(jié)構(gòu)附加簡單振子來配置質(zhì)量塊1 在多個(gè)激勵(lì)下的反共振頻率0.15 Hz，此時(shí)通過和構(gòu)造的矩陣的原點(diǎn)導(dǎo)納分別為h=［0.1516 0.2459 1.5117 1.0699 -0.3278 -5.8597］。可計(jì)算得到簡單振子連接在各自由度時(shí)均滿足不等式（16）的振子質(zhì)量dm的范圍，即當(dāng)0

圖8 附加簡單振子前后質(zhì)量塊1 處的位移響應(yīng)曲線Fig.8 Displacement response curves of mass block 1 before and after attaching a simple oscillator

通過附加簡單振子同時(shí)配置2 個(gè)反共振頻率時(shí)，假設(shè)質(zhì)量塊1 分別在0.15 和0.25 Hz 的振動(dòng)位移響應(yīng)為零。計(jì)算發(fā)現(xiàn)只有將簡單振子連接在質(zhì)量塊2 或3時(shí)，dm>0，dk>0，以及不等式（18）才得以滿足，此時(shí)它們的質(zhì)量和剛度分別為dm2=1.0562 kg，dk2=1.2195 N/m；dm3=0.3824 kg，dk3=0.6983 N/m。以連接的簡單振子的質(zhì)量和剛度小為原則，選取將簡單振子連接在位置3 處。結(jié)構(gòu)修改后使得質(zhì)量塊1的位移為零的頻率見表2（2 個(gè)頻率），附加前后的位移頻響曲線如圖9 所示。數(shù)值結(jié)果顯示使用附加簡單振子后質(zhì)量塊1 在兩個(gè)配置頻率0.15 和0.25 Hz處的振動(dòng)位移為零。

圖9 配置2 個(gè)頻率時(shí)質(zhì)量塊1 處的位移響應(yīng)曲線Fig.9 Displacement response curves of mass block 1 at after assigning two frequencies

3 結(jié)論

本文提出了一種計(jì)算結(jié)構(gòu)在多激勵(lì)作用下某自由度振動(dòng)位移為零的頻率的方法。該方法通過結(jié)合激勵(lì)力向量與質(zhì)量陣和剛度陣從而構(gòu)造出新的線性矩陣，使得矩陣的廣義特征值為多激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的反共振頻率，并使用部分特征值配置方法實(shí)現(xiàn)了多激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的反共振頻率的配置。在本文中分別計(jì)算和配置了線性面載荷激勵(lì)的矩形板和多個(gè)激勵(lì)下的六自由度系統(tǒng)的反共振頻率。數(shù)值結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)在多激勵(lì)或分布力作用下的計(jì)算方法和配置方法的有效性，為結(jié)構(gòu)復(fù)雜受力下的反共振頻率的研究提供了參考。