覆水效應的地下相干函數(shù)與相變V 形峽谷多點地震動模擬及其特征規(guī)律

柳國環(huán)，陳欣宇，費琦翔

（1.天津大學水利工程智能建設與運維全國重點實驗室，天津 300350；2.天津大學建筑工程學院，天津 300350）

引言

受行波效應、相干效應和局部場地效應的影響，地震動表現(xiàn)出復雜的時空變化特性。地震動的空間變異性對大壩、長距離隧道和大跨橋梁等長大結(jié)構(gòu)的影響不可忽視，因此預測并模擬空間變化的多點地震動對長大結(jié)構(gòu)的抗震分析具有重要意義。俞瑞芳等［1］合成了多點非平穩(wěn)地震動并進行了大跨結(jié)構(gòu)地震響應分析，重點關(guān)注了包線函數(shù)的影響。Li等［2］的研究表明，地表地震動和地下地震動在幅值和頻率分布上均表現(xiàn)出明顯差異，結(jié)構(gòu)基礎深埋于地下，輸入地表地震動將錯估結(jié)構(gòu)響應。為此，Liu等［3］提出了地下相干函數(shù)，結(jié)合場地傳遞函數(shù)，構(gòu)建了地下功率譜矩陣，生成了空間變化的地下多點地震動。利用此方法，Liu 等［4-5］進一步模擬了層狀飽和介質(zhì)有無上覆水時的地下多點地震動，其研究結(jié)果揭示了介質(zhì)屬性和覆水因素對地下多點地震動具有顯著影響。

針對地形和場地條件對地震動的影響，學者們開展了廣泛研究。Wu 等［6］利用水平地表到峽谷表面的傳遞函數(shù)模擬了V 形峽谷表面的多點地震動，但其未進一步探究地下地震動。韓淼等［7］開展了近斷層地震動下的結(jié)構(gòu)響應分析，重點比選出了相關(guān)性強、能表征近斷層地震動破壞作用的主要參數(shù)。Liu 等［8］利用水平地表到峽谷表面再到地下的兩步傳遞函數(shù)法模擬了U 形峽谷場地的地下多點地震動。柳國環(huán)等［9-12］陸續(xù)獲得了分層圓弧峽谷和V 形峽谷的地下多點地震動，分析了其上橋梁在超大地震作用下的破壞模式。

現(xiàn)有研究所關(guān)注的場地普遍為單相介質(zhì)或飽和多孔介質(zhì)（雙相介質(zhì)），而天然場地往往是由單相介質(zhì)過渡至雙相介質(zhì)的相變場地，因此研究相變場地的地下多點地震動模擬方法是必要的。近期，李鑫洋等［13］合成了半覆水相變圓弧形峽谷在SV 波入射下的地下多點地震動，這是首次對相變場地多點地震動的研究，但該文僅針對圓弧形峽谷，尚缺乏對在其他地形中引入介質(zhì)相變的研究。此外，現(xiàn)有地下地震動模擬方法均采用了文獻［3］基于單相介質(zhì)場地提出的地下相干函數(shù)，文獻［13］未能考慮覆水效應對地下相干函數(shù)的影響。因此，尚需推導出一種引入覆水效應的地下相干函數(shù)。

基于此，本文將“介質(zhì)相變”和“峽谷覆水”兩大因素引入V 形峽谷場地，提出適用于半覆水相變V形峽谷的“覆水效應地下相干函數(shù)”?；诖讼喔珊瘮?shù)和場地特征，模擬地下多點地震動，探究“覆水效應地下相干函數(shù)”和“覆水深度”對多點地震動、進而對結(jié)構(gòu)響應的影響。

1 覆水效應地下相干函數(shù)

當?shù)乇韮牲cj和k均位于無覆水區(qū)時，對應地下兩點j'和k'間的相干函數(shù)可按文獻［3］計算：

式中ω為地震波的圓頻率；τ為時間因子且τ=k?z/ω=z，其中，ρ為目標點處土壤的密度，z為目標點距離地表的深度，k*和G*分別代表復波數(shù)和復剪切模量，其表達式分別為：

式中G為土體的剪切模量；ζ為土體的阻尼比。

當j，k兩點位于覆水區(qū)時，文獻［3］未考慮P 波在水中的傳播，本文針對該缺陷，在地下相干函數(shù)中引入覆水效應。此時點k的振動可以用具有相位差的點j的振動來表示：

式中A為諧波運動的振幅；τj和τk為常數(shù)，計算方法同上；ρw為水的密度為水的復體積模量；hwj為j點距離覆水水面的深度；hwk為k點距離覆水水面的深度。等式右邊括號內(nèi)增加的第3 和5 項分別表示j，k兩點處由于P 波在水中傳播而產(chǎn)生的附加相位角。

式中Kw為水的體積模量；研究表明，在黏彈性波動方程中，除了存在剪切黏滯性，還存在一種與體積變化有關(guān)的黏滯性［14］，本文將水視作理想流體，不承受剪力，故略去剪切黏度，η代表與體積變化有關(guān)的黏度；ω0代表介質(zhì)固有的過渡頻率［14］。

過渡頻率ω0、黏度η和體積模量Kw之間存在如下關(guān)系［14］：

文獻［15］指出，當ω/ω0?1（實際地震波傳播情況）時，1+iω/ω0≈，故式（4）變?yōu)椋?/p>

根據(jù)隨機振動理論，地表兩點j和k間的互功率譜密度函數(shù)可以表示為：

式中Rjk(Δτ)為j，k兩點運動的互相關(guān)函數(shù)。

將式（3）代入式（7），并注意到積分區(qū)間趨于無窮大時，最終結(jié)果不受初始相位差的影響，得到：

相似地，地下兩點j'和k'間的互功率譜密度函數(shù)可以表示為：

地面和地下運動的兩個相干函數(shù)之間的關(guān)系可以表示為：

式中γjk(iω)和γj'k'(iω)分別為地表和地下相干函數(shù)；TFjj'(ω)和TFkk'(ω)為地表到地下的傳遞函數(shù)。

將式（8）和（9）代入式（10）可以得到：

綜上，對于局部覆水的場地，地下相干函數(shù)與地表相干函數(shù)的關(guān)系為：

2 半覆水相變V形峽谷地下多點地震動模擬

2.1 目標點地震動模擬結(jié)果

采用文獻［10］提出的兩步傳遞函數(shù)法（水平自由表面→V 形峽谷表面→峽谷地下），傳遞函數(shù)由半覆水相變V 形峽谷散射頻域理論解得到。聯(lián)立本文的地下相干函數(shù)構(gòu)造地下功率譜矩陣，通過Cholesky 分解生成了相變V 形峽谷場地的多點地震動。目標點的選取如圖1 所示，各點坐標已在圖中注明，地震動持時取為20.48 s。選取Clough-Penzien 功率譜［16］作為水平地表的目標功率譜，其參數(shù)取為S0=0.0069，ωg=5π rad/s，ωf=0.1ωg，ξg=ξf=0.6。地表相干函數(shù)模型采用Hao 等［17］的模型，參數(shù)采用SMART-1 臺陣45 條地震記錄的統(tǒng)計參數(shù)［16］，其參數(shù)β1，a，b和c分別取值為1.109×10-4，3.853×10-3，-1.811×10-5和1.177×10-4。選 取Jennings包絡函數(shù)［16］進行調(diào)幅，其參數(shù)t1，t2和c分別取為1.2，9 和0.155。覆水深度取為峽谷深度的一半，水的體積模量取為2.2×109Pa，密度取為1000 kg/m3，各層土體物理參數(shù)如表1 所示。

表1 各層土體物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of soil

圖1 目標點示意圖Fig.1 Illustration of target points

圖2 給出了各目標點的模擬加速度時程，圖中標注的σ代表所模擬加速度時程的標準差，上標“db”和“dx”分別代表該點位于地表和地下，下標“b”代表峽谷半覆水。結(jié)果表明，各地下目標點的加速度峰值和標準差均小于相應的地表目標點，這是由土體的濾波作用和放大效應所導致的，而地表目標點和地下目標點的最大距離僅為120 m，衰減阻尼可以忽略不計。地表A，B，C 和D 點的標準差放大幅度分別為26.8%，13.9%，36.8% 和38.4%，表明土體的放大效應與土層厚度呈正相關(guān)。此外，點C和C'與點D 和D'間跨越了相變界面，相變界面使土體產(chǎn)生了分層，層效應會加劇土體的放大效應［10］。一系列實測數(shù)據(jù)和理論研究表明，河谷地形存在放大效應，峽谷兩側(cè)壁有明顯的地震放大現(xiàn)象，并且隨高程的增高地震放大系數(shù)越來越大，谷頂?shù)卣饎哟笥诠鹊祝?8］。本文模擬結(jié)果表明，谷頂C 點地震動大于谷底B 點地震動，與已有研究成果結(jié)論一致。

圖2 地表及地下目標點模擬加速度時程Fig.2 Simulated acceleration time histories of ground and underground target points

2.2 功率譜及相干函數(shù)擬合

圖3 給出了目標點加速度時程的頻譜關(guān)系，限于篇幅，本文僅以地表A 點、B 點、地下A'點和B'點為例。各點目標功率譜的譜密度主要集中在頻率小于4 Hz 的低頻區(qū)間，受傳遞函數(shù)隨頻率波動的影響，地表目標譜和地下目標譜均表現(xiàn)出了波動性，且地下目標譜的總面積小于地表目標譜。模擬譜按S(ω)=F(ω)F*(ω)/Δω計算，其中，F(xiàn)(ω)為單條加速度時程的傅里葉譜，F(xiàn)*(ω)為F(ω)的共軛復數(shù)，Δω為頻率步長。結(jié)果表明，各目標點的模擬功率譜均與目標功率譜擬合良好。圖4 給出了相干函數(shù)的擬合情況，限于篇幅，僅以點AB（A'B'）和點BC（B'C'）間的相干函數(shù)為例。結(jié)果表明，盡管相干函數(shù)的模擬值出現(xiàn)了一定程度的波動，但總體上模擬值仍圍繞目標值變化，故所模擬地震動表現(xiàn)出了良好的空間相關(guān)性，證明了本文所模擬地震動的合理性。

圖3 目標點功率譜擬合Fig.3 PSD fitting of target points

圖4 地表及地下相干函數(shù)擬合Fig.4 Fitting of ground and underground coherence functions

2.3 改進前后地下相干函數(shù)的對比

覆水效應的地下相干函數(shù)乘以了一個代表水影響的復指數(shù)函數(shù)，即

式中 上標“0”和“1”分別代表未改進和改進。

圖1 給出了各目標點的位置和坐標，以峽谷半覆水為例，目標點A'B'，A'C'和A'D'間的相干性變化如圖5 所示，由于Hao 等［17］的模型對百米 以上距離擬合效果較好，故地表相干函數(shù)模型采用Hao 等［17］的模型，其參數(shù)取值與2.1 節(jié)中一致。結(jié)果表明，引入覆水效應后，多點地震動間相干性表現(xiàn)增強。

圖5 改進前后相干函數(shù)模型的對比Fig.5 Coherence functions comparison between before-and after-improvement model

該現(xiàn)象的物理本質(zhì)是：引入覆水效應后，P 波可以在水中傳播，與周邊土介質(zhì)中波動的相互影響增強，波動連續(xù)性更強，由此導致地震動間相干性表現(xiàn)增強。

2.4 本文提出的地下相干函數(shù)對地下多點地震動的影響

圖6 給出了引入覆水效應前后地下多點地震動的對比，圖中下標“0”和“1”分別代表未改進和改進。結(jié)果表明，引入覆水效應后位于覆水區(qū)的點A'和點B'地震動減?。ǘ叩臉藴什罘謩e為改進前的0.94和0.97），而位于無覆水區(qū)的點C'和點D'地震動增大（二者的標準差分別為改進前的1.04 和1.11）。原因在于對應P 波的部分能量被傳遞至水中，導致點A'和點B'地震動減小。

圖6 本文提出的地下相干函數(shù)對地震動的影響Fig.6 Influence of the proposed underground coherence function on seismic motions

2.5 覆水深度對地震動的影響

為了進一步探究覆水深度對地下多點地震動的影響，圖7 分別給出了陜谷無覆水和滿覆水時各點處地震動放大幅度的對比（半覆水時的地震動已在圖2 給出），圖中下標“w”和“m”分別代表峽谷無覆水和滿覆水。圖7 中注明了地表地震動的放大百分比。結(jié)果表明，土體對地震動的放大作用隨著覆水深度的增大而減?。ㄘ撓嚓P(guān)），原因在于對應P 波的部分能量被傳遞至水中，且覆水深度越大，傳遞至水中的能量越多，土體中的地震動隨之越小。其中在點A（A'）處，無覆水與滿覆水相比，土體放大百分比的差值為10.7%，該數(shù)值在點B，C 和D 處分別為15.8%，4.6%和3.3%，這表明距離覆水越遠，受覆水深度的影響越弱。此外，土層厚度相同的點C（C'）和點D（D'）相比，點C（C'）處地震動放大幅度小，原因在于點C（C'）距離覆水較近，受覆水影響更大。

圖7 覆水因素對各點地震動的影響Fig.7 Influence of water-covered factor on seismic motions

3 算例分析

3.1 工程概況與有限元模型

如圖8 所示，某預應力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋跨越半覆水V 形峽谷，峽谷寬為300 m，深為100 m，地基彈性模量為1.5 GPa，泊松比為0.22。剛構(gòu)橋全長300 m，跨徑組合為75 m+150 m+75 m，采用變截面箱梁，截面尺寸如圖9 所示。左墩高41 m，墩底埋深21 m，右墩高47 m，墩底埋深18 m?；炷敛捎肅50，縱筋和箍筋均采用HRB400。

圖8 某連續(xù)剛構(gòu)橋立面圖（單位：m）Fig.8 Elevation of a continuous rigid frame bridge（Unit：m）

圖9 主梁墩頂（左）及跨中（右）截面（單位：cm）Fig.9 Section of main beam at pier top（left）and midspan（right）（Unit：cm）

采用有限元軟件ABAQUS 建立橋梁的數(shù)值計算模型，進行彈性時程分析，如圖10 所示。箱梁、橋墩、樁基和土體均采用C3D8R 實體單元，共12588個單元；鋼筋采用T3D2 桁架單元，共6732 個單元。墩梁綁定約束，鋼筋嵌入混凝土，由于本文不關(guān)注樁-土相互作用，樁土采用共節(jié)點簡化處理。梁體兩側(cè)只施加豎向位移約束及繞橋向轉(zhuǎn)動約束（U3=UR1=UR2=0）。截取的地基周圍施加接地的彈簧和阻尼器以建立黏彈性人工邊界，模擬無限地基的輻射阻尼。黏彈性人工邊界的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)按文獻［19］計算。

圖10 橋梁有限元模型Fig.10 Finite element model of bridge

3.2 工況設置及地震動輸入

本文共設置4 種工況，設置目的與詳細設置方式列于表2 中。地震動采用多點輸入方式，依據(jù)前文方法模擬得到各組工況的地震動，如圖11 所示。選取每一跨的跨中，以及左右兩橋墩的墩頂和墩底作為觀測點。輸入地震動前首先對各組地震動進行歸一化處理，即對每一組地震動數(shù)據(jù)除以該組數(shù)據(jù)中的最大值，再對歸一化后的數(shù)據(jù)分別按加速度峰值為0.2g和0.4g進行輸入（g為重力加速度）。采用三向激勵，各方向的地震動按順橋向∶橫橋向∶豎向=1∶0.85∶0.65 進行設置。黏彈性邊界上采用文獻［20］的方法將地震動以等效節(jié)點力的方式輸入。等效節(jié)點力的計算公式如下：

表2 工況設置Tab.2 Setting up of cases

圖11 輸入的多點地震動Fig.11 Multi-supports seismic motions input

3.3 跨越半覆水相變V 形峽谷橋梁地震響應的對比與分析

本節(jié)計算了橋梁在各工況下的地震響應，表3給出了工況1 下各觀測點處的最大內(nèi)力和位移。內(nèi)力結(jié)果表明，多點輸入時橋梁左右兩側(cè)的響應表現(xiàn)出了明顯的非對稱性，其中右跨跨中的剪力和彎矩均遠大于左跨跨中；中跨跨中的軸力遠大于左右兩跨，但剪力和彎矩卻小于左右兩跨，其原因是梁體左右兩端進行了豎向位移約束和繞橋向轉(zhuǎn)動約束，導致左右兩跨自由度減小，其剪力彎矩響應隨之增大。位移結(jié)果表明，盡管順橋向施加的地震動大于橫橋向，但橫橋向的最大位移更大（右跨跨中處），這是由于兩橋墩順橋向激勵方向相反時，二者產(chǎn)生的位移被部分抵消。

表3 工況1 的最大內(nèi)力和位移Tab.3 Maximum internal force and displacement of case 1

表4，5 和6 分別給出了工況2，3 和4 的最大剪力和彎矩及其與工況1 的對比。結(jié)果表明，引入覆水效應后本文剛構(gòu)橋的響應普遍減小，且響應與覆水深度呈負相關(guān)，原因在于對應P 波的部分能量被傳遞至水中，且覆水深度越大，傳遞至水中的能量越多，傳遞到結(jié)構(gòu)上的能量隨之越小。前文分析表明，引入覆水效應前后地震動差值不足10%，而多點激勵下結(jié)構(gòu)響應最大差值達到79.4%（左跨跨中在0.4g峰值下的彎矩），這表明本文提出的覆水效應地下相干函數(shù)對結(jié)構(gòu)地震響應影響顯著，在實際工程中不可忽視。工況3 中左跨跨中的剪力彎矩以及兩墩頂部的彎矩反而增大，工況4 中少數(shù)觀測點的內(nèi)力反而減小，原因是在多點激勵差動輸入的復雜情況下，結(jié)構(gòu)不同位置的位移不同步，導致部分位置的內(nèi)力相對增大或減小。多點輸入更符合真實情況。

表4 工況2 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.4 Maximum shear and moment of case 2 and comparison between case 1 and 2

表5 工況3 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.5 Maximum shear and moment of case 3 and comparison between case 1 and 3

表6 工況4 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.6 Maximum shear and moment of case 4 and comparison between case 1 and 4

為了直觀地展示各種工況的內(nèi)力對比，圖12 給出了0.2g峰值下各觀測點最大剪力和彎矩的柱狀圖。

圖12 最大剪力、彎矩的柱狀圖Fig.12 Histogram of maximum shear and moment

4 結(jié)語

本文提出了覆水效應地下相干函數(shù)，模擬了半覆水相變V 形峽谷場地地下多點地震動，驗證了其合理性，分析了覆水深度與相干性的影響。簡要總結(jié)如下：

（1）提出并推導出了覆水效應的地下相干函數(shù)模型，模擬了基于該地下相干函數(shù)的半覆水相變V形峽谷多點地震動，所生成的多點地震動具有良好的譜兼容性和空間相關(guān)性。

（2）引入覆水效應的多點地震動間相干性表現(xiàn)增強，原因在于P 波可以在水中傳播，進而與周邊土介質(zhì)中波動的相互影響增強，波動連續(xù)性更強。

（3）覆水效應導致覆水區(qū)地震動減小；土體的放大作用隨覆水深度增大而減小，且距覆水越遠受覆水影響越弱。

（4）以3 跨連續(xù)剛構(gòu)橋為例，探討了“覆水效應地下相干函數(shù)”及“峽谷覆水深度”對結(jié)構(gòu)地震響應的影響，覆水效應降低了結(jié)構(gòu)響應且結(jié)構(gòu)響應隨覆水深度的增大而減小。