橋梁斷面范德波爾振子渦激氣動(dòng)力模型參數(shù)非線性化的能量原理

陳泓欣，張志田，曾加?xùn)|，郄 凱

（1.海南大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，海南 海口 570228；2.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

引言

渦振是一種兼有自激與限幅性質(zhì)的周期性振動(dòng)，是由鈍體尾流中旋渦的交替脫落所致［1］，但根據(jù)鈍體的不同形態(tài)其機(jī)理表現(xiàn)也不同［2］。渦振會(huì)使橋梁的正常使用受到嚴(yán)重影響，甚至引起構(gòu)件的疲勞破壞［3］。因此準(zhǔn)確分析大跨度橋梁的渦振響應(yīng)有實(shí)際工程意義［4］。

對(duì)橋梁渦振特性的研究主要依賴(lài)節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)或計(jì)算流體力學(xué)（CFD）數(shù)值模擬。渦激振動(dòng)可以由Navier-Stokes 方程結(jié)合邊界條件得出，但求解N-S 方程是困難的。Scanlan［5］提出了由簡(jiǎn)諧力項(xiàng)、氣動(dòng)阻尼力項(xiàng)與氣動(dòng)剛度項(xiàng)組成的非線性半經(jīng)驗(yàn)渦激力模型。該模型把氣動(dòng)阻尼項(xiàng)改為由兩個(gè)氣動(dòng)力參數(shù)控制的類(lèi)范德波爾振子［6］，從而克服了線性模型不能反映渦振物理特性（如自激性質(zhì)與限幅性質(zhì)等）的缺陷。之后，文獻(xiàn)［7-8］研究表明，Scanlan 經(jīng)驗(yàn)非線性模型中簡(jiǎn)諧力項(xiàng)與氣動(dòng)剛度項(xiàng)在大質(zhì)量比結(jié)構(gòu)中均可忽略。從而Scanlan 非線性經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂珊?jiǎn)化為范德波爾升力振子模型，模型參數(shù)通過(guò)穩(wěn)定的振幅識(shí)別。ZHU 等［9］針對(duì)扁平箱梁提出了一種非線性渦激力模型，并與Scanlan 的經(jīng)驗(yàn)非線性渦激力模型進(jìn)行了比較。XU 等［10-11］提出了一種采用多項(xiàng)式表達(dá)的廣義渦激力模型，通過(guò)比較評(píng)價(jià)了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣。這些模型也未能表達(dá)渦振時(shí)程中氣動(dòng)響應(yīng)的非線性特征。文獻(xiàn)［12］研究了阻尼非線性對(duì)渦激力模型參數(shù)的影響。GAO 等［13］嘗試了一種能描述渦振與顫振的自激力的模型，分析了該模型氣動(dòng)力參數(shù)隨折減風(fēng)速的演變。CHEN 等［14］通過(guò)CFD 數(shù)值模擬研究了扁平閉口箱梁渦激力的演變歷程。ZHANG 等［15］通過(guò)SIDF模型研究了渦激氣動(dòng)特性隨瞬態(tài)振幅的分布。ZHANG 等［16］將氣動(dòng)力參數(shù)簡(jiǎn)化為一個(gè)，給出了基于瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)振幅的識(shí)別結(jié)果，并用于不同阻尼比下的渦振振幅預(yù)測(cè)。在氣動(dòng)特征的應(yīng)用上，張志田等［17］基于能量原理得到節(jié)段模型至全橋模型的幅值換算關(guān)系。許坤等［18］通過(guò)兩自由度尾流振子模型研究了橋梁節(jié)段至全橋的渦振幅值換算關(guān)系。周奇等［19］、秦浩等［20］也研究了渦振幅值換算關(guān)系。這些換算關(guān)系未考慮非線性氣動(dòng)特性隨瞬態(tài)振幅的影響。

通常，范德波爾振子渦激力模型是常參數(shù)模型。常參數(shù)模型能正確描述某一風(fēng)速、某個(gè)確定的結(jié)構(gòu)阻尼比下模型的渦振穩(wěn)態(tài)振幅，但不能描述渦激氣動(dòng)力性能隨振幅演變的非線性特性。這種情況下識(shí)別出來(lái)的模型應(yīng)用十分有限，比如結(jié)構(gòu)阻尼比變化后模型即失效。而對(duì)阻尼比的依賴(lài)與高度敏感性是渦激共振的特征之一。針對(duì)這一問(wèn)題，本文通過(guò)能量原理，探索渦激氣動(dòng)力模型參數(shù)非線性化的基本方法。

1 渦激氣動(dòng)力模型

1.1 常參數(shù)范德波爾振子模型

以文獻(xiàn)［7-8］提出的經(jīng)驗(yàn)非線性模型為基礎(chǔ)，進(jìn)行簡(jiǎn)化后可得到如下雙參數(shù)范德波爾振子渦激氣動(dòng)力模型：

式中ρ為空氣密度；D為節(jié)段模型特征高度；U為平均來(lái)流風(fēng)速；Y1為試驗(yàn)識(shí)別得到的參數(shù)，為折算頻率K=Dω/U的函數(shù)，其中ω為結(jié)構(gòu)振動(dòng)圓頻率；y和分別為結(jié)構(gòu)位移和速度；ε為試驗(yàn)識(shí)別的氣動(dòng)力參數(shù)；L為節(jié)段模型長(zhǎng)度。

式（1）具有自激與限幅的雙重性質(zhì)，其初始?xì)鈩?dòng)阻尼由Y1(K)確定，當(dāng)其大于結(jié)構(gòu)阻尼時(shí)開(kāi)始形成渦激振動(dòng)，此時(shí)具有自激性質(zhì)；隨著振幅的增大，參數(shù)ε發(fā)揮并擴(kuò)大正阻尼作用，從而可限制振幅的無(wú)限發(fā)展，并最終形成極限環(huán)。式（1）表達(dá)的氣動(dòng)力在宏觀上表現(xiàn)為阻尼形式，它不能反映氣動(dòng)力對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率的影響，但通常情況下，渦激共振時(shí)結(jié)構(gòu)的頻率變化可忽略不計(jì)。從能量吸收或耗散的角度來(lái)看，識(shí)別出參數(shù)ε隨風(fēng)速以及振幅的演變特性后，該模型就具有了完備性。即可真實(shí)地反映各風(fēng)速下結(jié)構(gòu)的初始?xì)鈩?dòng)阻尼及其隨振幅的演變，從而可重現(xiàn)結(jié)構(gòu)的渦激振動(dòng)響應(yīng)。

1.2 參數(shù)非線性化及識(shí)別原理

對(duì)于節(jié)段模型，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中m為模型的振動(dòng)質(zhì)量；c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)；k為懸掛系統(tǒng)的等效剛度；y和分別為模型的位移、速度和加速度。

在一個(gè)周期T內(nèi)，氣動(dòng)力所做的功Wa為：

結(jié)構(gòu)振幅變化時(shí)，位移以及速度時(shí)程可分別表示為：

式中yT為模型在周期T內(nèi)的初始振幅；t為時(shí)間；λ為振幅增長(zhǎng)或衰減指數(shù)。

結(jié)合式（1），（3）～（5）可得：

引入指數(shù)λ與振動(dòng)宏觀阻尼比ξ的關(guān)系：

則式（7）可重新寫(xiě)為：

通常情況下，即使是明顯的渦激共振，其宏觀阻尼比|ξ|≤0.05，此時(shí)有：

β相對(duì)α的誤差隨阻尼比ξ的變化曲線如圖1 所示。從圖中可知，在阻尼比絕對(duì)值小于5%的情況下，該誤差小于1%。因此Wa可簡(jiǎn)化為：

圖1 β 相對(duì)α 的誤差隨阻尼比ξ 的變化Fig.1 Variation of the β-to-α error with damping ratio ξ

結(jié)構(gòu)阻尼力做功Wc為：

式中c為結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)，代入時(shí)程函數(shù)得：

式（11）和（13）分別表示氣動(dòng)力和阻尼力在單個(gè)周期內(nèi)所做的功與結(jié)構(gòu)振幅yT以及指數(shù)λ的關(guān)系。當(dāng)模型振動(dòng)為穩(wěn)定的極限環(huán)時(shí)，氣動(dòng)阻尼與結(jié)構(gòu)阻尼在一個(gè)周期內(nèi)做功互相抵消；當(dāng)模型處于振幅增長(zhǎng)階段時(shí)，單個(gè)周期內(nèi)二者做功有一定差值，具體表現(xiàn)為系統(tǒng)的機(jī)械能增大，其增量ΔW為：

式中 ?y為一個(gè)周期內(nèi)的振幅增量，文獻(xiàn)［21］研究表明高階力分量對(duì)振動(dòng)能量輸入貢獻(xiàn)甚微，因此可忽略?y高階項(xiàng)。

由能量守恒定律可得，氣動(dòng)阻尼力做功、結(jié)構(gòu)阻尼力做功以及二者差值的關(guān)系為：

將式（11）和（13）代入式（15）后化簡(jiǎn)得：

從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可知，在單個(gè)周期內(nèi)有：

令初始?xì)鈩?dòng)阻尼系數(shù)為：

則式（16）可寫(xiě)成：

根據(jù)上式可識(shí)別參數(shù)ε隨振幅yT的演變關(guān)系。但前提是先識(shí)別出Y1，從而確定初始?xì)鈩?dòng)阻尼cin。

在穩(wěn)定的極限環(huán)狀態(tài)下，?y=0，?W=0，此時(shí)式（19）簡(jiǎn)化為：

上式表明穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)ε的值由結(jié)構(gòu)阻尼、初始?xì)鈩?dòng)阻尼以及穩(wěn)態(tài)振幅三者共同確定。

要得到式（18）表示的初始?xì)鈩?dòng)阻尼，需要先根據(jù)以下公式識(shí)別出Y1：

式中n為所采用的運(yùn)動(dòng)周期數(shù)，可根據(jù)實(shí)際情況選用時(shí)程曲線開(kāi)始的若干個(gè)周期；δn為與n相對(duì)應(yīng)計(jì)算得到的對(duì)數(shù)衰減率：

式中yT0為參考時(shí)刻0 的結(jié)構(gòu)振幅；yTn則為相對(duì)于時(shí)刻0 第n個(gè)周期后的振幅。

參數(shù)識(shí)別后，根據(jù)式（18）可得到初始?xì)鈩?dòng)阻尼比為：

2 應(yīng)用算例

本文采用圖2 所示的橋梁主梁斷面制作了縮尺比為1∶50 的節(jié)段模型并進(jìn)行了渦激共振風(fēng)洞試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置如圖3 所示。模型主要特性如表1 所示，試驗(yàn)雷諾數(shù)范圍為1.0×104～1.3×104。傳統(tǒng)渦激共振風(fēng)洞試驗(yàn)中，通常在某一級(jí)風(fēng)速下達(dá)到穩(wěn)態(tài)振幅后再增加風(fēng)速，連續(xù)測(cè)試其在下一級(jí)風(fēng)速下的振動(dòng)。與傳統(tǒng)方法不同的是，在本文的試驗(yàn)過(guò)程中，每級(jí)風(fēng)速下須首先控制模型至靜止?fàn)顟B(tài)，再讓其自由發(fā)展到等幅振動(dòng)狀態(tài)，從而得到各級(jí)風(fēng)速下渦激振幅的完整演變過(guò)程。

表1 模型主要特性Tab.1 Major properties of the model

圖2 橋梁主梁斷面構(gòu)造圖（單位：mm）Fig.2 Configuration of the bridge girder section（Unit：mm）

圖3 節(jié)段模型測(cè)振試驗(yàn)裝置Fig.3 Experimental set-up of the sectional model vibration test

圖4 給出了該模型在均勻流場(chǎng)下的渦振鎖定區(qū)間。鎖定區(qū)間內(nèi)共測(cè)試了六組時(shí)程曲線，相應(yīng)的振幅演變曲線通過(guò)Newmark-β法計(jì)算，結(jié)果如圖5 所示，U/（fD）=10.19 時(shí)的時(shí)程局部細(xì)節(jié)如圖6 所示。在識(shí)別初始?xì)鈩?dòng)阻尼參數(shù)時(shí)，取時(shí)程曲線起振時(shí)若干個(gè)周期進(jìn)行分析，如圖7 所示。但受小振幅以及特征紊流隨機(jī)激勵(lì)的影響，具體取幾個(gè)周期進(jìn)行分析是一個(gè)比較難以確定的問(wèn)題，因此初始?xì)鈩?dòng)力參數(shù)的識(shí)別結(jié)果受多種因素制約。在圖7 中，根據(jù)氣動(dòng)阻尼比將給定時(shí)程劃分為初始?xì)鈩?dòng)阻尼識(shí)別區(qū)、參數(shù)演變區(qū)和穩(wěn)定區(qū)。其中，初始?xì)鈩?dòng)阻尼識(shí)別區(qū)以表觀阻尼比是否接近常值確定；參數(shù)演變區(qū)內(nèi)氣動(dòng)阻尼比依賴(lài)結(jié)構(gòu)振幅，呈現(xiàn)明顯的非線性特性；穩(wěn)定區(qū)結(jié)構(gòu)振幅也不再增加。

圖4 渦振響應(yīng)-風(fēng)速曲線Fig.4 Vortex-induced resonance responses versus wind velocities

圖6 渦振位移時(shí)程局部細(xì)節(jié)圖Fig.6 Detailed view of time history of displacement of vortex-induced vibration

圖7 參數(shù)演變分區(qū)（Ⅰ.初始?xì)鈩?dòng)阻尼識(shí)別區(qū)；Ⅱ.參數(shù)演變區(qū)；Ⅲ.穩(wěn)定區(qū)）Fig.7 Parameter evolution zones（Ⅰ.The initial aerodynamic damping identification zone；Ⅱ.The parameter evolution zone；Ⅲ.The stable zone）

本文采用模型的渦激共振基本信息及所識(shí)別的初始?xì)鈩?dòng)阻尼參數(shù)如表2 所示。盡管鎖定區(qū)間內(nèi)渦激振幅值有較大的變化，但初始?xì)鈩?dòng)阻尼比ξin卻基本保持一恒定值。

在每一級(jí)風(fēng)速下，初始?xì)鈩?dòng)力參數(shù)Y1(K)確定后，保持其數(shù)值不變，根據(jù)式（19）可得另一參數(shù)ε隨振幅的非線性演變特征，如圖8 所示。由式（1）可知，正值的參數(shù)ε代表等效的正阻尼特性。圖8 的演變曲線則表明隨著結(jié)構(gòu)振幅的增加，參數(shù)ε的值在不斷減小。ε隨著振幅增加而減小的現(xiàn)象容易形成一種假象，即阻礙結(jié)構(gòu)振幅惡性演化的效應(yīng)在不斷降低。但實(shí)際上，模型很快就達(dá)到了穩(wěn)定的極限環(huán)狀態(tài)。

造成這一假象的主要原因是ε的數(shù)值并不能與該項(xiàng)氣動(dòng)力效應(yīng)做的功直接聯(lián)系起來(lái)。為更好地探索參數(shù)ε的限幅性質(zhì)，考察由該項(xiàng)引起的非線性氣動(dòng)阻尼比ξε。令Wε為限幅參數(shù)項(xiàng)氣動(dòng)阻尼力做的功，容易得出其表達(dá)式為：

Wε所形成的等效非線性氣動(dòng)阻尼系數(shù)cε可按下式計(jì)算：

將式（24）代入得：

根據(jù)式（26）進(jìn)而可得非線性氣動(dòng)阻尼比ξε為：

式（27）給出了ε對(duì)氣動(dòng)阻尼的貢獻(xiàn)，由式（27）可知ξε由初始?xì)鈩?dòng)阻尼參數(shù)Y1與振幅yT控制。基于式（27）可識(shí)別出ξε的演變結(jié)果，如圖9 所示。對(duì)比圖8 與9 可知，盡管參數(shù)ε隨振幅增長(zhǎng)而降低，但非線性氣動(dòng)阻尼比ξε仍然隨著振幅的增加而增加，且增長(zhǎng)的規(guī)律是非線性的。在振幅演變最終極限環(huán)階段，式（27）所示的阻尼比與初始?xì)鈩?dòng)阻尼比以及結(jié)構(gòu)阻尼比三者之和為零，即

圖9 渦振鎖定區(qū)間內(nèi) ξε 的演變Fig.9 Evolution of ξε within the vortex-induced resonance lock-in range

式中ξs=為結(jié)構(gòu)阻尼比；ξin=為初始?xì)鈩?dòng)阻尼比。初始?xì)鈩?dòng)阻尼比為負(fù)可提供結(jié)構(gòu)振動(dòng)所需能量，克服結(jié)構(gòu)阻尼后使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振幅遞增的振動(dòng)；非線性氣動(dòng)阻尼比提供正氣動(dòng)阻尼使結(jié)構(gòu)振動(dòng)達(dá)到限幅作用。

對(duì)于給定氣動(dòng)外形的橋梁斷面，其初始?xì)鈩?dòng)阻尼比只是風(fēng)速的函數(shù)，即ξin=ξin(Ur)；而ξε則為風(fēng)速與振幅的函數(shù)，即ξε=ξε(Ur，yT)。從圖9 可知，穩(wěn)定的渦激共振極限環(huán)對(duì)應(yīng)著ξε=-ξs-ξin的狀態(tài)。因此通過(guò)試驗(yàn)識(shí)別出ξε(Ur，yT)后，對(duì)于更大的結(jié)構(gòu)阻尼比的情況（即>ξs），由于--ξin<-ξs-ξin，因 此=--ξin<ξε，即ξ'ε出現(xiàn)在 圖9中原來(lái)的路徑上，其最終振幅可直接根據(jù)圖中的函數(shù)關(guān)系找出。對(duì)于更小的結(jié)構(gòu)阻尼比，由于>ξε出現(xiàn)在圖中最高點(diǎn)的上方，因此無(wú)法預(yù)測(cè)其最終振幅。

值得指出的是，本文采用的范德波爾振子渦激力模型只考慮了自激氣動(dòng)力而忽略了強(qiáng)迫力。由于強(qiáng)迫力與自激力是不同性質(zhì)的氣動(dòng)力，因此模型識(shí)別得到的初始?xì)鈩?dòng)阻尼是基于能量平衡的、具有某種“等效”性質(zhì)的氣動(dòng)阻尼，由其帶來(lái)的影響值得進(jìn)一步研究。

3 結(jié)論

本文以范德波爾振子渦激氣動(dòng)力模型為例，從能量平衡的角度出發(fā)研究了氣動(dòng)力模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值的關(guān)系。結(jié)合以上討論得到研究結(jié)論如下：

（1）根據(jù)節(jié)段模型渦振響應(yīng)時(shí)程曲線，采用能量平衡的方法可以得到范德波爾振子模型參數(shù)隨振幅非線性演變的識(shí)別途徑，本文的推導(dǎo)表明，變參數(shù)的范德波爾振子模型在描述結(jié)構(gòu)的能量特性方面具有完備性。

（2）由氣動(dòng)外形以及風(fēng)速確定的初始?xì)鈩?dòng)阻尼，控制著結(jié)構(gòu)是否具有渦激共振鎖定區(qū)間以及鎖定風(fēng)速區(qū)間的寬度。而結(jié)構(gòu)阻尼、初始?xì)鈩?dòng)阻尼以及隨振幅演變的模型參數(shù)ε共同決定結(jié)構(gòu)的最終渦振振幅。

（3）由氣動(dòng)參數(shù)ε控制的非線性氣動(dòng)阻尼比能非常好地體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)渦振能量吸收隨振幅的非線性演變特性。

（4）渦激氣動(dòng)力模型參數(shù)ε的非線性特性被識(shí)別后，可應(yīng)用于更大結(jié)構(gòu)阻尼比下的渦振響應(yīng)預(yù)測(cè)。