基于反共振頻率的復(fù)合材料損傷檢測理論研究

哈爾濱飛機(jī)工業(yè)集團(tuán)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所 何永亮 王 剛

東北大學(xué)理學(xué)院 李永強(qiáng)

目前，關(guān)于復(fù)合材料無損檢測的方法有很多，但是每一種方法都有其自身的適用范圍和局限性。本文旨在針對日益復(fù)雜的檢測環(huán)境和不斷提高的檢測效率要求，研究一種既能滿足外場檢測環(huán)境和飛機(jī)部件原位檢測要求，又能兼顧實(shí)用性和高效性的損傷檢測理論。本文以復(fù)合材料結(jié)構(gòu)動力學(xué)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過損傷引起的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)剛度變化而導(dǎo)致的動力學(xué)特性改變量為損傷檢測依據(jù)，對復(fù)合材料進(jìn)行損傷檢測。

Yang和Lee[1]利用反共振頻率對彈簧質(zhì)量系統(tǒng)進(jìn)行了損傷識別研究。Bamnios等[2]對裂紋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值和試驗(yàn)研究，并利用得到的反共振頻率成功地識別單裂紋損傷。Inada等[3]基于反共振頻率成功對一復(fù)合層狀懸臂梁進(jìn)行了分層損傷識別。Dilena和Morassi[4]利用反共振頻率變化對單裂紋自由梁進(jìn)行了損傷識別。結(jié)論指出，該識別方法能有效地識別結(jié)構(gòu)的損傷位置和損傷程度。

由于傳統(tǒng)的損傷標(biāo)識量均有其自身固有的缺點(diǎn)，而結(jié)構(gòu)驅(qū)動點(diǎn)反共振頻率在理論上兼具有振型和固有頻率兩者的優(yōu)點(diǎn)，它既能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)的內(nèi)在稟性，又能反映結(jié)構(gòu)局部物理特性的變化，同時還具有與同階的固有頻率相近的測量精度。由此可見，結(jié)構(gòu)驅(qū)動點(diǎn)反共振頻率適合作為損傷標(biāo)識量。由于目前應(yīng)用反共振頻率都是對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷診斷，在復(fù)合材料蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，從國內(nèi)外文獻(xiàn)上還未見報(bào)道。

1 反共振頻率

振動系統(tǒng)中的反共振是一個對工程實(shí)際很有價(jià)值的概念。所謂反共振指的是彈性系統(tǒng)在某些特定頻率的諧和激勵作用下，系統(tǒng)某些部位出現(xiàn)諧和響應(yīng)等于零的情形。換句話說，反共振情形也就是指在某些頻率上系統(tǒng)某些部位的動柔度為零。那些出現(xiàn)諧和響應(yīng)為零的頻率就是反共振頻率。

一般的無阻尼多自由系統(tǒng)在正弦激勵下的頻域運(yùn)動方程為：

式中，K和M為分別為系統(tǒng)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，f和x分別是輸入和響應(yīng)向量。

由式（1）可以求得位移導(dǎo)納或位移頻響函數(shù)為

式中，表示伴隨矩陣，表示行列式。的第k，j項(xiàng)可表示為

式中，下標(biāo)k，j表示矩陣的第k行、第j列已經(jīng)被刪去。則可得到多自由度系統(tǒng)的第k，j自由度的頻響函數(shù)（或?qū)Ъ{函數(shù)）為

當(dāng)k=j時，上式即為多自由度系統(tǒng)k點(diǎn)的驅(qū)動點(diǎn)頻響函數(shù)（或驅(qū)動點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)）。

令式（4）分子為0，即求解的特征值問題，可得到的頻率即為第k，j自由度處的反共振頻率。當(dāng)k=j時，得到的ωr則為驅(qū)動點(diǎn)反共振頻率。令式（4）分母為0，即求解的特征值問題，可得到多自由度系統(tǒng)的共振頻率，即固有頻率。而且對于n自由度系統(tǒng)驅(qū)動點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)來說，其反共振頻率數(shù)為（n-1），且與共振頻率是一個接一個相互交替出現(xiàn)的，即兩個共振頻率之間必有一個反共振頻率。

2 反共振頻率對損傷敏感性分析

為了便于對多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行敏感性分析，下面將引入模態(tài)坐標(biāo)表示方法。為此，在諧振力激勵下，多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移響應(yīng)可表示為

式中，p為模態(tài)坐標(biāo)向量，φ為振型向量矩陣，則有

式中

是由矩陣特征值組成的對角矩陣。因?yàn)橛?/p>

則可令（φadj(Λ-ω2I)φT）的第kj項(xiàng)為零，由式（9）可得到導(dǎo)納函數(shù)Hkj的零點(diǎn)（即反共振頻率）。

對于任意的ω（包括ωr），(Λ-ω2I)i的行列式能展開為

于是對于第k，j導(dǎo)納函數(shù)

利用式（10）可得到導(dǎo)納函數(shù)表達(dá)式

考慮式（9）左邊求和表達(dá)式中的一項(xiàng)，并讓它對參數(shù)θ求導(dǎo)有

對上式右邊第二項(xiàng)進(jìn)行差分，然后代入式（9），經(jīng)過重新整理可得到反共振頻率的敏感性為

式中

由式（14）可以看出，結(jié)構(gòu)反共振頻率的敏感性是其振型敏感性和固有頻率敏感性的線性組合。結(jié)構(gòu)反共振頻率，特別是驅(qū)動點(diǎn)反共振頻率在理論上兼具有振型和固有頻率兩者的優(yōu)點(diǎn)，它既能在一定程度上反映結(jié)構(gòu)的內(nèi)在稟性，又能反映結(jié)構(gòu)局部物理特性的變化，同時還具有與同階的固有頻率相近的測量精度。由此可見，結(jié)構(gòu)反共振頻率是一個重要的結(jié)構(gòu)動力參數(shù)，對結(jié)構(gòu)局部損傷敏感，適合用于結(jié)構(gòu)損傷識別。

3 反共振頻率對蜂窩板損傷分析

基于反共振頻率信息的蜂窩夾層板結(jié)構(gòu)沖擊損傷識別方法的基本思想是：損傷的出現(xiàn)必然導(dǎo)致結(jié)構(gòu)局部剛度的變化，從而引起蜂窩板結(jié)構(gòu)各驅(qū)動點(diǎn)反共振頻率發(fā)生不同程度的變化。通過獲取蜂窩板結(jié)構(gòu)各驅(qū)動點(diǎn)第一階反共振頻率曲面，與無損蜂窩板結(jié)構(gòu)的各驅(qū)動點(diǎn)第一階反共振頻率數(shù)據(jù)比較，觀察比較后曲面的突變來識別損傷發(fā)生，并對損傷進(jìn)行定位及定量分析。

本文以鋁制0.2m×0.2m，0.01m厚，蒙皮厚1mm，蜂窩胞元壁厚t為0.05mm，蜂窩胞元壁長l為6mm的蜂窩夾層板為模型，數(shù)值仿真模擬計(jì)算出各種損傷情況下蜂窩板各節(jié)點(diǎn)第一階反共振頻率值（本節(jié)中損傷程度以損傷面積D表示，D以蜂窩面積為單位）。

當(dāng)蜂窩板存在芯層壓潰損傷，損傷位于蜂窩夾層板中心位置時，隨著損傷程度的增加，損傷對蜂窩板反共振頻率差值的影響如圖1所示。

當(dāng)蜂窩板存在蒙皮脫層損傷，考慮損傷位于非中心位置（圖2中凸起位置），隨著損傷程度的增加，損傷對蜂窩板反共振頻率差值的影響如圖2所示。

由圖1、圖2可看出，數(shù)據(jù)圖中較銳利的突起處與損傷位置完全符合，表明反共振頻率法可準(zhǔn)確地識別出蜂窩板的損傷位置。隨著損傷程度的有規(guī)律增加，突起峰值點(diǎn)所對應(yīng)的反共振頻率差值也相應(yīng)的規(guī)律增加，表明反共振頻率法可判定蜂窩板的損傷程度。

下面考慮損傷位置改變時，反共振差值法對損傷識別的效果。當(dāng)存在芯層壓潰損傷，且損傷位置沿對角線由中心位置向邊界斜向移動時，損傷對反共振頻率差值的影響如圖3所示。

圖1 蜂窩板中心位置損傷程度增加反共振頻率差值Fig.1 Effect of increased damage in the center position on honeycomb panel anti-resonance frequency difference

圖2 蒙皮脫層損傷程度增加反共振頻率差值Fig.2 Effect of increased skin damage on anti-resonance frequency difference

圖3 損傷位置沿對角線方向改變時反共振頻率差值Fig. 3 Effect of damage position moving on diagonally on honeycomb panel anti-resonance frequency difference

由圖3可看出，由于邊界效應(yīng)，當(dāng)損傷位置越靠近邊界時，反共振頻率法對蜂窩板損傷的判定效果越不明顯。

4 蜂窩板損傷程度的定量分析

由于蜂窩夾層板的復(fù)雜結(jié)構(gòu)所致，當(dāng)損傷程度按一定比例增加時，其頻率變化大都呈無規(guī)律變化，這給蜂窩夾層板的損傷程度識別帶來很大困難。這里只對個別位置的個別損傷情況的損傷程度識別加以研究探討。

在損傷形式、損傷位置判定正確的基礎(chǔ)上，先以蜂窩夾層板中心位置處芯層損傷為例，其第2階固有頻率隨損傷程度增加的頻率變化量如圖4所示（本節(jié)損傷程度以損傷蜂窩個數(shù)為單位）。

圖4 蜂窩板中心位置芯層損傷第2階頻率變化量Fig.4 The second mode frequency variation of honeycomb panel with damage in the center position

從圖4中我們可看出，各損傷對應(yīng)的頻率變化量與擬合直線能較好地吻合。通過圖4所示3點(diǎn)數(shù)據(jù)可求得擬合直線方程如下：

其中，下標(biāo)為相應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)號。

通過式（16）可計(jì)算出損傷程度D。

由反共振頻率定義可知，對于蜂窩板每個單元節(jié)點(diǎn)都有對應(yīng)該點(diǎn)的反共振頻率，故反共振頻率反應(yīng)結(jié)構(gòu)局部性能的能力要強(qiáng)于固有頻率，因此反共振頻率可以更準(zhǔn)確地反映蜂窩板損傷程度的變化。

中心損傷時損傷所在行單元各點(diǎn)隨損傷程度增加的變化關(guān)系如圖5所示，可見曲線峰值（即損傷位置反共振頻率差值）近似等差遞增。其損傷位置反共振頻率隨損傷程度增加的變化量如圖6所示，得此擬合直線就可在損傷形式、損傷位置判定正確的基礎(chǔ)上，只要計(jì)算出其與無損蜂窩板反共振頻率的差值，就可準(zhǔn)確計(jì)算出損傷程度。

5 結(jié)論

反共振頻率法可有效直觀地判定損傷位置，并具備損傷程度判定的能力。通過與筆者對蜂窩夾層板損傷檢測研究的其他方法[5]（振型法、曲率模態(tài)法等） 相比較，反共振頻率法較其他方法可更有效地識別蜂窩板各位置的損傷，這是本方法的突出優(yōu)點(diǎn)。

圖5 中心損傷所在行單元反共振頻率差值Fig.5 Line unit anti-resonance frequency difference of increased damage in the center position on honeycomb panel

圖6 損傷位置反共振頻率變化量Fig.6 Anti-resonance frequency variation at damage location

[1]Yang S M, Lee G S. Structural damage identification using pole/zero dynamics in neural networks. AIAA Journal, 2001, 39(9)： 1805-1808.

[2]Bamnios Y, Douka E, Trochidis A. Crack identification in beam structures using mechanical impedance. Journal of Sound and Vibration,2002, 256(2)： 287-297.

[3]Inada T, Shimamura Y, Todoroki A, et al. Development of the two-step elimination identification method by resonant and anti-resonant frequency changes. Key Engineering Materials, 2004, 270-273：1852-1858.

[4]Dilena M, Morassi A. The use of ant resonances for crack detection in beams. Journal of Sound and Vibration, 2004, 276(1/2)： 195-214.

[5]張英杰,顏云輝,李永強(qiáng),等.基于振型數(shù)據(jù)的蜂窩夾芯板損傷檢測.東北大學(xué)學(xué)報(bào),2012, 33(3)：418-421.