基于Mathematica的大學(xué)物理模擬實(shí)驗(yàn)

胡宗元

(首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)，北京 100070)

隨著信息時代的到來，運(yùn)用計算機(jī)進(jìn)行設(shè)計和探究已經(jīng)成為現(xiàn)在大學(xué)生的一種基本能力。然而，中國的計算機(jī)現(xiàn)狀是應(yīng)用不夠，其主要原因就是缺乏人才和軟件。這種形勢值很是得我們警覺［1］。為了培養(yǎng)學(xué)生的計算機(jī)應(yīng)用能力，在教學(xué)中開展模擬實(shí)驗(yàn)是一種非常有效的方法。它能夠讓學(xué)生在掌握知識的同時，發(fā)展計算機(jī)應(yīng)用能力。

Mathematica軟件是Wolfram Research公司開發(fā)的一款數(shù)學(xué)計算軟件，主要用于科學(xué)研究和工程技術(shù)中的計算。它不僅可以進(jìn)行程序運(yùn)行，還可以交互式運(yùn)行，一句簡單的Mathematica命令能完成其它編程軟件可能要用幾十句命令才能完成的任務(wù);它除了能進(jìn)行任意精度的數(shù)值計算，還可以進(jìn)行復(fù)雜的符號演算;Mathematica還提供了多種方式作圖、發(fā)聲和動畫命令，使人們直觀地把握對象的特性［2-5］。基于以上特點(diǎn)，我們選擇Mathematica作為開發(fā)仿真實(shí)驗(yàn)的工具。

下面，以大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的彈簧振子阻尼振動實(shí)驗(yàn)為例，具體展示如何運(yùn)用Mathematica設(shè)計模擬實(shí)驗(yàn)。

1 問題分析

振動是振子圍繞平衡位置的往復(fù)運(yùn)動，設(shè)振子的質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為mw2(固有頻率為w)，阻尼系數(shù)為2mi，取平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則由牛頓第二定律［4］得到運(yùn)動微分方程

解出通解為

如果振子的初始位置和速度分別為a，v0，即

代入通解后得到

于是運(yùn)動方程成為

彈簧振子位置和速度的變化范圍分別為

往復(fù)運(yùn)動的周期為

2 程序設(shè)計

對物理問題進(jìn)行分析和計算提供了計算模擬的基礎(chǔ)，但是要想獲得較好的演示效果，還需要在表現(xiàn)形式上下功夫。

2．1 振子的大小

該物理問題并未確定振子的形狀和大小，為方便起見，我們可以假設(shè)該彈簧振子為小球。從演示的效果來看，小球半徑過小則不易看清;過大則難以看到運(yùn)動全過程。因此，最佳選擇是規(guī)定一個半徑值，如占整個畫面尺度的5%。這樣，兩個方面都可以照顧到。

2．2 范圍的大小

為得到理想的模擬效果，必須選擇合適的演示范圍。演示范圍過小，振子在運(yùn)動過程中會跑出畫面;演示范圍過大，就看不到振子的全部運(yùn)動軌跡。由(8)式，振子到原點(diǎn)的最大距離為

2．3 演示的時間

演示時間也是保證演示效果的另一個重要因素，演示時間過短，無法展示運(yùn)動的主要特點(diǎn);演示時間過長，則浪費(fèi)時間也沒有必要。往復(fù)運(yùn)動周期由(9)式給出，在周期有限的情況下，雖然運(yùn)動有衰減，但通過前幾個周期就足以看出運(yùn)動規(guī)律;在沒有周期性的過阻尼的情況下，我們只要一個固有周期就能看出運(yùn)動規(guī)律。因此我們?nèi)⊙菔緯r間為2到3個固有周期，即

2．4 演示的方式

計算模擬的一大特點(diǎn)是可以用多種方式展示運(yùn)動規(guī)律。除了動畫方式外，我們還可以展示運(yùn)動的頻閃圖、速度時間圖、位置時間圖和速度位置圖等。為了避免前后圖像相互覆蓋，頻閃的時間間隔dt不能太小，總的時間也不能過長。

3 仿真程序及其運(yùn)行

3．1 Mathematica 源程序

基于上面的設(shè)計，寫出相應(yīng)的Mathematica模塊:

3．2 程序中的參數(shù)說明

下面，對程序中的各個參數(shù)進(jìn)行一下說明:

輸入?yún)?shù):初始位移x0;初速度v0;固有頻率w;阻尼參數(shù)i;模式參數(shù)mm

輸出模式:mm=0，動畫;mm=1，頻閃圖;mm=2，v-x 圖;mm=3，x-t圖;mm=4，v-t圖

內(nèi)部變量:阻尼頻率w1;最大位移xmax;固有周期 t0，閃光間隔 dt=0．2

運(yùn)動方程:x［t］

3．3 仿真程序的使用

在仿真時調(diào)用模塊dampingvibration，輸入振子的初始位移x0、初速度v0、固有頻率w、阻尼參數(shù)i以及模式選擇等參數(shù)后，便可運(yùn)行。現(xiàn)舉例如下:

設(shè)振子的初始位移x0=2、初速度v0=0、固有頻率w=2、阻尼參數(shù)i=1。

如果要得到動畫， 輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，0］，輸出結(jié)果即是振子作阻尼振動的模擬動畫;由于在文章中無法顯示動畫效果，讀者可以自行測試。

如果要得到頻閃圖，輸入命令為:damping vibration［2，0，2，1，1］，輸出結(jié)果如圖1 所示。

圖1 頻閃圖

如果要得到 v-x圖，輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，2］，輸出結(jié)果如圖 2所示。

圖2 速度位置圖

如果要得到 x-t圖，輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，3］，輸出結(jié)果如圖 3所示。

如果要得到 v-t圖，輸入命令為:dampingvibration［2，0，2，1，4］，輸出結(jié)果如圖 4所示。

圖3 位置時間圖

圖4 速度時間圖

3．4 仿真程序的優(yōu)點(diǎn)

上面基于Mathematica的模擬實(shí)驗(yàn)程序的主要優(yōu)點(diǎn):

(1)輸入?yún)?shù)任意可調(diào)，可以按需進(jìn)行各種模擬實(shí)驗(yàn);

(2)既能夠輸出運(yùn)動實(shí)況，又能夠輸出閃頻照片及其它相關(guān)曲線，展示內(nèi)容豐富;

(3)源程序比較簡單，且具有開放性，略加修改就可以演示其它相近的物理現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

基于Mathematica，以大學(xué)物理中的彈簧振子阻尼振動試驗(yàn)為例設(shè)計了一個結(jié)構(gòu)簡單、功能強(qiáng)大的模擬實(shí)驗(yàn)程序。輸入任意條件，該程序都可以輸出動畫、頻閃圖和軌跡曲線等模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果。直觀、生動形象的展現(xiàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和內(nèi)容，使學(xué)生容易把握住對象特性，從機(jī)理上理解實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，更好的掌握知識內(nèi)容。

此外，該模擬實(shí)驗(yàn)程序具有很好的開放性，在此基礎(chǔ)上加以修改就可以擴(kuò)展功能，還可以編寫出其它實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的模擬實(shí)驗(yàn)程序，進(jìn)一步提高學(xué)生的計算機(jī)應(yīng)用能力。

［1］ 彭芳麟，梁穎，忻蓓．計算軟件在計算物理課程中的地位和作用［J］．大學(xué)物理，2013，8:7．

［2］ 倪致祥．科研的有力工具-Mathematica簡介［J］．阜陽師范學(xué)院學(xué)報，2005(2):7．

［3］ 洪維恩．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算大師Mathematica4［M］．北京:人民郵電出版社，2002:1-16．

［4］ 周衍柏．理論力學(xué)教程［M］．2版．北京:高等教育出版社，1986:24-41．

［5］ 謝文海，古莉，滕艷萍．阻尼振動的Mathmatica模擬［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014(5):72-75．