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    正視函數(shù)應(yīng)用中的幾個(gè)易錯(cuò)問(wèn)題
    ——以函數(shù)的單調(diào)性為例

    2015-06-21 12:57:31浙江省寧波鄞州高級(jí)中學(xué)葉琪飛
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年17期
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)易錯(cuò)定義域

    ☉浙江省寧波鄞州高級(jí)中學(xué) 葉琪飛

    正視函數(shù)應(yīng)用中的幾個(gè)易錯(cuò)問(wèn)題
    ——以函數(shù)的單調(diào)性為例

    ☉浙江省寧波鄞州高級(jí)中學(xué) 葉琪飛

    函數(shù)性質(zhì)是高考對(duì)函數(shù)考查的主要內(nèi)容,其中主要涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、零點(diǎn)等.考生在解答此類問(wèn)題時(shí)由于對(duì)性質(zhì)的把握不準(zhǔn)確,易陷入解題誤區(qū).本文以函數(shù)的單調(diào)性為例,就其中常見誤區(qū)舉例分析.

    一、定義域優(yōu)先原則

    定義域是函數(shù)的兩個(gè)要素之一,函數(shù)的性質(zhì)也是在定義域范圍內(nèi)的性質(zhì),因此在涉及單調(diào)性相關(guān)問(wèn)題的解答中勿忽視對(duì)函數(shù)定義域的考慮.

    解析:由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知g(x)=x2-2mx+3在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)為減函數(shù),函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=m,所以m≥1.又由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,故應(yīng)有g(shù)(1)≥0,即4-2m≥0,解得m≤2,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1,2].

    評(píng)注:復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]單調(diào)性的處理原則,當(dāng)f(x)與g(x)的單調(diào)性相同時(shí),y=f[g(x)]為增,當(dāng)f(x)與g(x)的單調(diào)性相異時(shí),y=f[g(x)]為減.本題的解答中易忽視對(duì)函數(shù)定義域的考慮,即函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上應(yīng)有x2-2mx+3>0.

    A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)

    答案:D.

    二、準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)“單調(diào)區(qū)間”與“在區(qū)間上單調(diào)”

    函數(shù)f(x)的“單調(diào)區(qū)間是D”與“在區(qū)間D上單調(diào)”的含義,這是兩個(gè)不同的范圍.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I,指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I,而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞減,則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間的子集.

    例2若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實(shí)數(shù)a的取值為________.

    解析:因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,4],且函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=1-a,所以1-a=4,即a=-3.

    評(píng)注:正確理解“單調(diào)區(qū)間”和“在區(qū)間上單調(diào)”的含義,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)單調(diào)的最大范圍,而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào),則此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

    變式:若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+4在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

    答案:(-∞,-3].

    三、函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性質(zhì)

    函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性質(zhì),若f(x)在區(qū)間(-∞,0),[0,+∞)上均為單調(diào)增函數(shù),但在(-∞,+∞)內(nèi)不一定為增.如反比例函數(shù)等.

    解析:由已知f(x)是(-∞,+∞)上的減函數(shù),應(yīng)滿足如下條件:(1)g1(x)=(3a-1)x+4a在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,即3a-1<0,;(2)g2(x)=logax在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以0

    評(píng)注:上述解答中易忽視對(duì)條件(3)的考慮,即g1(1)≥g2(1),7a-1≥0,a≥

    函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的整體性質(zhì),分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,在保證左右分支分別滿足單調(diào)的前提下,應(yīng)保證在定義域范圍內(nèi)單調(diào)性的連續(xù)性,即在分段點(diǎn)處的單調(diào)性.

    A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

    C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

    答案:B.

    四、奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的異同

    偶函數(shù)是特殊的對(duì)稱函數(shù),其關(guān)于y軸對(duì)稱,且在對(duì)稱兩區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相異.奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且在對(duì)稱兩區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相同.

    例4(2015年新課標(biāo)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是().

    評(píng)注:若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于O對(duì)稱,且在其定義域范圍內(nèi)滿足f(-x)=f(x),則f(x)為偶函數(shù),且有f(-x)= f(x)=f(|x|),據(jù)此可將不確定區(qū)間內(nèi)的變量范圍變換到確定的單調(diào)區(qū)間內(nèi),進(jìn)而得出變量的范圍.

    變式:已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)2f(1),則a的取值范圍是_________.

    五、f(x+1)>f(x)與f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)的關(guān)系

    圖1

    若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則“?x∈R,f(x+ 1)>f(x)”并不能保證“函數(shù)f(x)在R內(nèi)為增函數(shù)”,如函數(shù)f(x)的圖像,如圖1,則當(dāng)a<1時(shí),滿足f(x+1)>f(x),但此時(shí)f(x)為非單調(diào)函數(shù).但當(dāng)f(x)為單調(diào)增函數(shù)時(shí),則有f(x+1)>f(x),故“?x∈R,f(x+1)> f(x)”是“函數(shù)f(x)在R內(nèi)為增函數(shù)”的必要非充分條件.

    例5(2014年湖北卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí)(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若則實(shí)數(shù)a的取值范圍為().

    圖2

    評(píng)注:解答本題時(shí)需要正確認(rèn)識(shí)“?x∈R,f(x-1)≤f(x)”,即使f(x)最小時(shí)條件成立,進(jìn)而求出參數(shù)的范圍.

    變式:已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=|x-a2|-a2,且對(duì)x∈R,恒有f(x+1)≥f(x),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為().

    綜上,函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題的一條主線,由于這一部分內(nèi)容具有較強(qiáng)的抽象性,常因缺乏透徹的理解,而出現(xiàn)錯(cuò)解.為了避免錯(cuò)誤的重演,錯(cuò)過(guò)之后的反思就顯得非常重要,因此學(xué)習(xí)中要善于歸納易錯(cuò)點(diǎn),分析錯(cuò)因,加強(qiáng)訓(xùn)練,方能取得好的效果.

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