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    承古萌新饒有別致
    ——2015年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷試題評價與備考建議

    2015-06-21 12:57:31廣東省信宜市信宜中學(xué)盧耀才
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年17期
    關(guān)鍵詞:理科文科試卷

    ☉廣東省信宜市信宜中學(xué) 盧耀才

    ☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

    承古萌新饒有別致
    ——2015年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷試題評價與備考建議

    ☉廣東省信宜市信宜中學(xué) 盧耀才

    ☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

    綜觀今年新課程全國Ⅰ卷高考數(shù)學(xué)文理試卷,在試卷結(jié)構(gòu)、題目數(shù)量、分值分布、主干知識等方面與往年基本一致.試卷難度適中、中規(guī)中矩、不偏不怪,立足于高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,重點考查主干內(nèi)容,在基礎(chǔ)知識和通性通法的考查上濃墨重彩.整份試卷全面深入地考查考生對高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的理解和掌握,多角度、多層次、全方位地考查了考生的素養(yǎng)和能力,這比較切合新課程的教學(xué)實際,本文就2015年全國Ⅰ卷試題(以下簡稱全國Ⅰ卷試題)的試卷設(shè)計、試題特點、試題賞析進行分析,希望有助于高中數(shù)學(xué)教學(xué)及2016年的高考備考.

    一、試題設(shè)計分析

    2015年全國Ⅰ卷的結(jié)構(gòu)既延續(xù)與往年大體的一致(即試題的數(shù)量和題型沒有發(fā)生變化,仍然以12道選擇題、4道填空題、5道解答題、3道選考題的形式出現(xiàn),在結(jié)構(gòu)上保持穩(wěn)定),又有適當?shù)膭?chuàng)新(題目在排列順序、難易程度上作了適當?shù)恼{(diào)整),從而避免了“八股”備考的形式.從表1、表2來看,無論是文科還是理科,2015年解答題(主要版塊)的考查內(nèi)容與2014年的相似度高,只是在題目的位置方面有少許的差異,這體現(xiàn)了考點不變、考法變化的思想,既符合考生的學(xué)情,也符合考試說明和大綱的要求,使考生以比較平和的心態(tài)迎接考試.

    表1 2013~2015年理科解答題考查內(nèi)容、順序和分值

    表2 2013~2015年文科解答題考查內(nèi)容、順序和分值

    2015年新課程全國Ⅰ卷高考數(shù)學(xué)試題在重點考查基礎(chǔ)知識的前提下,對于數(shù)學(xué)知識體系中的主干知識,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計、三角函數(shù)、數(shù)列等重點知識在試卷中占主導(dǎo)地位.其中主干知識文科分值達到115分,理科分值也達到110分(詳見表3),這集中體現(xiàn)了重要內(nèi)容重點考查,主干知識反復(fù)考查的原則.

    表3 2015年文理科知識點分值分布表

    二、試題特點分析

    1.試題保持相對穩(wěn)定,承古萌新,饒有別致

    全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)文理試卷的結(jié)構(gòu)、題型、題量及分值分布等都與往年保持相對穩(wěn)定,從宏觀和微觀上實現(xiàn)了“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度和價值觀”的有機整合,繼續(xù)承襲“規(guī)避特殊技巧、凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)”的命題特點,從中也體現(xiàn)了“大穩(wěn)定、小創(chuàng)新”穩(wěn)健、成熟的命題設(shè)計理念.在保持相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,今年的試題也饒有別致:(1)今年理科第7題其實就是2014年文科卷第6題的命題的延續(xù),頗有“新瓶裝舊酒”的味道,而理科卷第17題與2014年理科卷第17題的命題手法如出一轍,題看似不同但“道”卻相同;(2)如文理第6題,通過《九章算術(shù)》中的經(jīng)典問題,考查考生對圓錐的體積計算,回歸教材和中學(xué)教學(xué)實際,試題背景新穎但也體現(xiàn)了題目基礎(chǔ)與創(chuàng)新相結(jié)合;(3)再如理科第16題,以平面幾何圖形為載體,將正余弦定理和極限思想有機結(jié)合,背景和考查方式都較為新穎;(4)又如理科第19題,由傳統(tǒng)以頻率分布直方圖或莖葉圖等統(tǒng)計圖表為載體改為以散點圖為載體考查非線性擬合、回歸方程的計算及回歸分析,試題側(cè)重對公式運用、運算能力與實際應(yīng)用的深度考查,是考查考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的極好素材.

    2.注重主干知識,強調(diào)基本概念和本質(zhì)

    從表3可知全國Ⅰ卷考查內(nèi)容相對穩(wěn)定,仍然遵循主干知識重點考查的原則,在內(nèi)容、思想方法上的考查一脈相承,將考查主干知識體現(xiàn)得淋漓盡致,在考查主干知識的同時,注重對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的考查,如文科卷的第2、7、14、16題;理科卷的第2、4、7、10、13、14、15、16題等,這些題目雖然不難,但要求考生不但要會靈活地運用數(shù)學(xué)概念和知識,更要重視數(shù)學(xué)概念和知識的源頭;不但要知其然,更要知其所以然.

    3.強化數(shù)學(xué)思想,加強數(shù)學(xué)思維能力的考查

    全國卷歷來重視數(shù)學(xué)思想與方法的考查,今年也不例外.如考查數(shù)形結(jié)合思想的有理科卷第8、12、15、16、21題,文科卷第8、12、15、21題;函數(shù)與方程思想則體現(xiàn)在文理科第20題、第21題等題目中;轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整份試卷,如理科第15題、文科第16題等;而分類討論思想則在文理第21題體現(xiàn);同時在文理試題中,突出了對考生思維能力的考查,如理科卷第5題將圓錐曲線和向量及不等式有機結(jié)合,考查學(xué)生的綜合能力;又如理科卷第16題將正余弦定理和極限思想渾然天成,要求考生思維靈活,考查了考生歸納推理的能力,再如文理卷第19題考查考生的計算能力和應(yīng)用意識.總之,無論是文科還是理科都注重了對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查.

    三、試題賞析

    1.數(shù)列題——踏破鐵鞋無覓處,得來全不費工夫

    今年理科第17題為數(shù)列題,考查的內(nèi)容很基礎(chǔ),更為難得的是延續(xù)了2013年和2014年的命題風(fēng)格和手法,今年的第一問,與2014年理科卷第17題第一問,考查的知識點和解題方法完全一致,而今年的第二問也與2013年新課標文科卷第17題第二問完全一致,這樣對考生來說就是“小菜一碟”了.

    2.概率題——紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行

    今年文理第19題一改往年的形式,以散點圖為載體考查考生的應(yīng)用意識,題目雖不難,但是背景新穎,要選用所給的公式來運算,讓考生在心理上“懼怕”,但是只要考生弄清題意,細心運算,最終也可以“一舉拿下”.

    3.解析幾何題——不識廬山真面目,只緣身在此山中

    今年理科卷第20題,其實是一道背景簡潔,內(nèi)涵豐富的題目,要探究y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?這一問入手容易,解法常規(guī),只要認真推敲,發(fā)現(xiàn)P(0,-a)為直線y=kx+a上所過定點(0,a)關(guān)于原點的對稱點,經(jīng)推理證明可得命題1:若點M(-a,0)(a>0),過拋物線y2=2px(p>0)對稱軸上點P(a,0)的直線與拋物線交于A、B兩點,則直線MA、MB與x軸所成的角相等;同樣該結(jié)論對于橢圓或雙曲線也成立,即命題2:若M(t,0)(t≠0)為橢圓或雙曲線內(nèi)一點,直線AB過點且與橢圓或雙曲線1(a>0,b>0)交于不同的兩點A、B,則直線MA、MB與x軸所成的角相等(證明過程略).其實只要知道這一性質(zhì)定理,考生便能快速得到答案.

    四、博觀而約取,厚積而薄發(fā)——對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

    1.明確課程標準,研讀考綱說明,把控教學(xué)方向

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)》從課程性質(zhì)、課程的基本理念、課程設(shè)計思路、課程目標、內(nèi)容標準、實施建議等角度進行綜述,為廣大教師參與和推進高中數(shù)學(xué)課程改革提供了依據(jù)與保障.課程標準控制教學(xué)內(nèi)容的最低要求,《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱》給出了高考對知識的具體要求,《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》是對考試大綱的具體解讀、細化、補充,是高考命題的直接依據(jù).教材則是它們的知識載體.近年來高考總體穩(wěn)定,適度創(chuàng)新.因此,通過學(xué)習(xí)課程標準、考試大綱與考試說明,合理定位、準確把握教學(xué)方向,然后以教材為資源,以課堂為平臺,有效達成教學(xué)目標.

    2.重視初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接,夯實基礎(chǔ)

    數(shù)學(xué)是一個系統(tǒng)、整體,很多學(xué)生在初高中學(xué)習(xí)中出現(xiàn)“真空”,如十字相乘法、韋達定理等內(nèi)容已不是初中教學(xué)的主要內(nèi)容,在高中卻起到中流砥柱的作用,很多教師隨用隨補,學(xué)生沒有足夠的時間消化,導(dǎo)致內(nèi)容夾生,以致喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.良好的開端是成功的一半,做好初高中數(shù)學(xué)教與學(xué)銜接尤為關(guān)鍵,如變換是數(shù)學(xué)的核心.理科第17題對變換的雛形早在小學(xué)階段就已出現(xiàn),在高中“等差數(shù)列”處得到深化.少數(shù)學(xué)生出現(xiàn)解題困難的根源在于教師沒有從全局的視角、聯(lián)系的觀點去認識,采用“自說自話”的教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生不能理解問題的本質(zhì).文科第21題第一問對范圍的限定需要學(xué)生的抽象概括能力,第二問“設(shè)而不求”、(根據(jù)目標)巧妙代換體現(xiàn)了思維的深刻性和方法的靈活性.因此,教師必須弄清學(xué)生的知識儲備情況、接受能力等,進行內(nèi)容合理的銜接.

    3.回歸教材,狠抓基礎(chǔ),注重通性通法

    通過分析今年試卷可知,很多試題都可以在教材中找到原型,如文理科第19題為用樣本估計總體的思想解決一些簡單問題,該內(nèi)容源自必修3“相關(guān)性”、“最小二乘法估計”,以及選修2-3(1-2)“可線性化的回歸分析”.第一問呈現(xiàn)方式的開放性,對非線性的回歸模型的轉(zhuǎn)化增加風(fēng)險,考查了學(xué)生的抽象思維能力.當前錯題、偏題、怪題、難題充斥在泛濫的教輔中,一線教師往往利用其大搞“題海”戰(zhàn)術(shù),忽略回歸教材、忽視對通性通法的訓(xùn)練.這種舍本逐末的做法導(dǎo)致教與學(xué)的高耗低效,教學(xué)時必須做到緊扣教材,落實基礎(chǔ),在不清楚概念的基礎(chǔ)上落實技能,是數(shù)學(xué)教學(xué)不切實際的空想.所謂回歸教材,即對課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須記熟、理解;對數(shù)學(xué)語言要準確表達與運用;重視公式的正用、逆用和活用,重視定理的推導(dǎo),要理清知識發(fā)生的本原,還要注意從學(xué)科整體意義上建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò),形成完整的知識體系,掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律.

    4.加強數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng),實現(xiàn)規(guī)范語言的表達

    數(shù)學(xué)是一門學(xué)科,更是一門語言,數(shù)學(xué)語言包括自然語言、符號語言、圖表語言.美國著名心理學(xué)家布龍菲爾德說:“數(shù)學(xué)不過是語言所能達到的最高境界”,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾說:“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”,因為不管學(xué)生將來從事任何職業(yè),都需要用數(shù)學(xué)語言規(guī)范的表達.學(xué)生具體表現(xiàn)為詞不達意,語言不準確,語句冗長等,教師要對語言訓(xùn)練做到有計劃、有步驟的實施,如教學(xué)中多進行示范,試卷、作業(yè)批改中多進行點評,加強數(shù)學(xué)筆記、日記等交流方式的完善和提高.這是一個長期的過程,不能一蹴而就,在教學(xué)中教師要嚴格要求,并且要堅持不懈才可以真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

    5.落實思想方法,提高運算能力

    數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是學(xué)生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶,是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)觀念和創(chuàng)新思維的載體.一般說來,只有對數(shù)學(xué)思想方法的運用融會貫通,才能更好地提高學(xué)生的思維能力,我們要特別注意挖掘教材例習(xí)題中隱含的思想方法,引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、感悟、理解、應(yīng)用.如對理科卷第21題第二問進行解題分析時就應(yīng)該讓學(xué)生理解為何先對x后對a分類討論,與直接對a分類討論等方法進行比較,只有學(xué)生明白這些,分類討論才會有條不紊,對它們的使用才可以達到融會貫通.新課標下的學(xué)生運算能力呈下降趨勢,經(jīng)常出現(xiàn)“一看就會,一算就錯”的現(xiàn)象,成因很多,如教學(xué)內(nèi)容較多,計算器的依賴等.常見表現(xiàn):(1)概念不清楚,如對變量和常量的意義不清楚,用特殊代替一般.(2)變形能力不到位,解題囿于模式,不能理性分析,如理科第12題,學(xué)生容易受“恒成立”、“存在”類問題解題模式的影響,對ex0(2x0-1)<a(x0-1),以x0與1的大小關(guān)系為標準分離參數(shù)a.通過審題發(fā)現(xiàn)f(0)=-1+a<0,f(1)=e>0,通過數(shù)形結(jié)合解題.(3)求簡意識不強烈.解題時,應(yīng)該先化簡與轉(zhuǎn)化后再尋求計算甚至尋求不算,否則容易陷入計算的海洋.如理科第8題,通過y=Acos(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)可知,無需確定其解析式,耗費時間大大減少、出錯機會大大降低.(4)知識不系統(tǒng),不能透過現(xiàn)象看本質(zhì).如理科第10題,將x5y2視為“(x2+x+y)5的5個因式中,2個取因式中的x2,剩余的三個因式中一個取x,其余因式取y”的結(jié)果,用動態(tài)過程揭示問題本質(zhì),要比靜態(tài)解方程效益高得多.

    因此提高運算能力的關(guān)鍵不僅僅是細心,更重要的是思考算理,判斷運算的方向,掌握一些運算的方法.而這些在復(fù)習(xí)的過程中必須讓學(xué)生親身去體驗、去思考.切不可包辦代替,務(wù)必讓學(xué)生想一想、做一做、算一算,比較不同的算法,最終提高他們運算的速度和準確性.

    試題的穩(wěn)定有利于高中數(shù)學(xué)的教學(xué),有利于高三復(fù)習(xí)備考,但應(yīng)警惕命題的“八股化”而導(dǎo)致教學(xué)的“八股化”,在保證試題總體難度的情況下,可對試題結(jié)構(gòu)、試題難度進行適當調(diào)整,來避免教學(xué)的“題型化”;教師研究高考,是為了更好地把握教學(xué)方向,提高教學(xué)效率,切忌“功利化”,取而代之為“大教育”的思想觀念,切實提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).

    1.林生,黃文毓,林潔純.常規(guī)中重基礎(chǔ)樸實間見真功——2014年高考數(shù)學(xué)廣東卷試題評價與建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2014(8).

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