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    一類具有社團(tuán)性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò)

    2015-06-05 01:29:36王劍凌陳慶華
    關(guān)鍵詞:冪律點(diǎn)數(shù)尾部

    王劍凌 ,陳慶華

    (1.福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部,福建福州,350108;2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州, 350117)

    復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)和邊組成,節(jié)點(diǎn)代表元素,邊代表元素間的相互作用。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、工程、生物等社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域,比如,國與國之間的經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系可以描述為世界貿(mào)易網(wǎng),新陳代謝網(wǎng)能量化蛋白質(zhì)之間的相互作用,人與人之間的相互關(guān)系構(gòu)成人際關(guān)系網(wǎng)等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮著舉足輕重的作用,成為近年來學(xué)者研究的熱點(diǎn)。

    實(shí)證表明大多數(shù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)具有一些共同的特征:網(wǎng)絡(luò)規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜,演化過程具有隨機(jī)性;網(wǎng)絡(luò)是開放的,不斷增加節(jié)點(diǎn)和邊,實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)增長;任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在短路徑,平均路徑長度呈對(duì)數(shù)增長,且有明顯的群聚趨勢;網(wǎng)絡(luò)具有冪律尾部,節(jié)點(diǎn)間度相關(guān),存在極少數(shù)中樞點(diǎn);隨機(jī)去除有少數(shù)連邊的節(jié)點(diǎn),不會(huì)改變網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

    在此基礎(chǔ)上,不少學(xué)者對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn),更接近實(shí)際網(wǎng)絡(luò),如局部世界網(wǎng)絡(luò)[3]、加權(quán)網(wǎng)絡(luò)[4,5]等模型。Chen等考慮到節(jié)點(diǎn)的初始吸引力、重新布線等因素,對(duì)模型進(jìn)行擴(kuò)展,來研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成機(jī)制[6]。Guillaume等提出很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)都可視為二分網(wǎng)絡(luò),尤其是演員——電影、學(xué)生——課程、科研人員——文章等具有二分圖結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[7]。Xu等提出的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò),考慮到科學(xué)家合作關(guān)系不僅局限在同一領(lǐng)域,還有不同領(lǐng)域間的合作[8]。Furuya等根據(jù)醫(yī)學(xué)院提供的處方記錄,提出了DPN網(wǎng)絡(luò)來描述藥物之間的關(guān)系[9]。此外,對(duì)度分布的計(jì)算也有四種常見的方法:平均場方法[10]、率方程方法[11]、主方程方法[12]、馬氏鏈方法[13,14]。本文基于Xu等的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)和Furuya等的DPN網(wǎng)絡(luò),提出一類具有社團(tuán)性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò),來描述醫(yī)生與藥物之間的關(guān)系。

    一、演化模型

    初始時(shí)刻,⊥中有M個(gè)孤立的社團(tuán),每個(gè)社團(tuán)有n1個(gè)孤立的點(diǎn), 中有n2個(gè)孤立的點(diǎn),在⊥與之間有m條邊。

    1.以概率p在⊥中隨機(jī)選擇一個(gè)區(qū)域加入新點(diǎn),新點(diǎn)與 中n0個(gè)點(diǎn)連接的概率為

    3.以概率r(=1-p-q)在⊥中隨機(jī)選擇一個(gè)區(qū)域中的一點(diǎn),此點(diǎn)與中n0個(gè)點(diǎn)連接的概率同(※)

    二、主要結(jié)論

    定理2.1⊥的外部度分布具有冪律尾部,即

    證明:在t時(shí)刻,的點(diǎn)數(shù)為,總點(diǎn)數(shù)為

    根據(jù)平均場方法的假設(shè),點(diǎn)i進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間ti服從[0,t]上的均勻分布,則有

    證明:在t時(shí)刻,的點(diǎn)數(shù)為,總點(diǎn)數(shù)為

    根據(jù)平均場方法的假設(shè),點(diǎn)i進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間服從[0,t]上的均勻分布,則有

    本文提出一類具有社團(tuán)性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò),含有可調(diào)節(jié)的參數(shù)p,q,r,解析結(jié)果表明⊥和的外部度分布都具有冪律尾部。

    [1]Watts D J,Strogatz S H.Collective dynamics of small-world networks[J].Nature,1998,393:440.

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    [14]Chen Q H,Shi D H,Markov chains theory for scale free networks[J].Physica A,2006,360:121-133.

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