2微米激光器環(huán)形諧振腔的ABCD矩陣分析

喬 亮

（福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建福州， 350108）

2微米(μm)波長(zhǎng)的激光具有良好的大氣穿透性，同時(shí)又處于人眼安全波段的范圍內(nèi)，在激光相干探測(cè)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。相干多普勒測(cè)風(fēng)雷達(dá)需要單頻運(yùn)轉(zhuǎn)的高脈沖能量激光光源。[1-3]激光的諧振腔作用之一是提供正反饋，使激活介質(zhì)中產(chǎn)生的輻射能多次通過(guò)介質(zhì)，當(dāng)受激輻射所提供的增益超過(guò)損耗時(shí)在腔內(nèi)得到放大、建立并維持自激振蕩。而環(huán)形諧振腔能夠有效的抑制空間燒孔效應(yīng)，同時(shí)環(huán)形腔雙向輸出的特性，便于種子激光從輸出鏡端實(shí)現(xiàn)注入，降低對(duì)種子激光能量的損耗。[4]本文著重分析環(huán)形腔，從理論上計(jì)算諧振腔的環(huán)繞矩陣，得出環(huán)形腔的腔型條件以及光束特性等，確定實(shí)驗(yàn)中所用的諧振腔腔型參數(shù)。

一、環(huán)形腔的ABCD矩陣?yán)碚?/h2>

圖1 光束經(jīng)均勻介質(zhì)和透鏡的傳播

激光器環(huán)形諧振腔的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)可通過(guò)計(jì)算ABCD傳輸矩陣獲得，下面將計(jì)算諧振腔的環(huán)繞矩陣。光線在均勻介質(zhì)空間自由傳播距離L時(shí)如圖1(a)，可用二階方陣描述。它的光學(xué)變換矩陣為：

光經(jīng)過(guò)薄透鏡如圖1(b)，它的變換矩陣為：

離軸情況下使用的球面反射鏡（或者透鏡）屬于像散元件。在圖2所示的坐標(biāo)下，在yoz（弧矢面S）和xoz（子午面）平面內(nèi)具有不同的變換矩陣?？梢宰C明，當(dāng)入射光束軸線與透鏡的軸線z成α角時(shí)，在弧矢面及子午面上透鏡的焦距不再是名義上的焦距，而分別是fS= fsecα及fT=fcosα，其變換矩陣也分別變?yōu)橄鄳?yīng)的焦距，(2)式中i=S,T，分別表示弧矢面和子午面的傳輸矩陣。[5]

選取8字形環(huán)形腔為例。這種結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)在于反射鏡的反射角度可以較小，使得環(huán)形腔內(nèi)子午面和弧矢面的光束分布較一致；可采用兩片曲面鏡和兩片平面鏡對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，這樣在曲面鏡和平面鏡之間分別存在一個(gè)光腰，正好適合放置工作物質(zhì)和調(diào)Q器件。環(huán)形腔雙向輸出的特點(diǎn)，便于從其中一個(gè)輸出方向上，注入種子激光，實(shí)現(xiàn)對(duì)激光頻率的控制。穩(wěn)定的諧振腔損耗較小，并且諧振光束狀態(tài)不變。下面將計(jì)算諧振腔的環(huán)繞矩陣，分析其穩(wěn)定條件。

如圖3，設(shè)兩個(gè)透鏡M1、M2之間的臂長(zhǎng)為L(zhǎng)1，由M1起，依次經(jīng)過(guò)平面鏡M4、M3到M2的臂長(zhǎng)為L(zhǎng)2，晶體右端面距離M2為L(zhǎng)3，晶體長(zhǎng)度設(shè)為t，折射率為n，晶體左端面距離M1則為L(zhǎng)1-L3-t?？偳婚L(zhǎng)為L(zhǎng)1+L2。與光軸成較大角度的光線在諧振腔內(nèi)不作討論，僅分析旁軸光線在腔內(nèi)的傳播行為。[6]圖4為四鏡環(huán)形腔的等效圖。使用分離變量分析法，應(yīng)用上述的傳輸矩陣，選取在M1-M2臂上與M1距離為z的平面RP為參考面，參考面RP距離晶體左端面距離就為L(zhǎng)1-L3-t-z?？傻铆h(huán)繞矩陣(3)式：

求得ABCD的表達(dá)式，分別為：

考慮到C對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)光焦度的負(fù)值，它是不隨z變化的常數(shù)。A+D反映了諧振腔固有性質(zhì)，它也不隨z變化。令參考面的移動(dòng)僅在M1和晶體之間的自由空間時(shí)，z變?yōu)楣庋組1的距離，光腰處等相位面為平面以及光腰為光斑極小值的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

上述兩個(gè)方程所獲得的解z應(yīng)該是相等的。因此，將ABCD整理成關(guān)于z的一次多項(xiàng)式和二次多項(xiàng)式形式，如下：

對(duì)應(yīng)(4)～ (7)式，得到（9）式中三個(gè)系數(shù)如下：

根據(jù)式 (8)，光腰到鏡M1的距離z為

該光腰的共焦參數(shù)Z0為

將（10）式中的結(jié)果代入（11） 式，可以得出

代入(12)式，得到共焦參數(shù)為

而光腰與共焦參數(shù)的關(guān)系式如下：

諧振腔穩(wěn)定條件是光腰平方為非負(fù)條件，即共焦參數(shù)

（14）式中，t為晶體的長(zhǎng)度，受泵浦長(zhǎng)度為20mm，n為晶體的折射率，n=1.48。有三種不同焦距f的透鏡供選擇，L2和L1可以變動(dòng)。

二、環(huán)形腔腔型參數(shù)分析

（一）穩(wěn)定性分析

實(shí)驗(yàn)條件中，有三種焦距的透鏡可供使用，表1列舉出對(duì)應(yīng)三種曲率半徑的反射鏡的子午面和弧矢面內(nèi)的焦距[7]。在這三種曲率半徑條件下，L2取值1500 mm和2200 mm時(shí)，L1為變量，分析諧振腔內(nèi)共焦參數(shù)和束腰的分布。

表1 不同曲率半徑對(duì)應(yīng)的子午面和弧矢面內(nèi)的焦距

當(dāng)L2=1500mm，L1在[100600]區(qū)間時(shí)，計(jì)算得到的子午面和弧矢面共焦參數(shù)和束腰分布見(jiàn)圖5和6?？梢钥闯?，當(dāng)L2=1500mm時(shí)，當(dāng)透鏡的曲率半徑R=4000mm時(shí)，L1取值200mm附近，能夠得到腔內(nèi)較大的束腰半徑；R=4500mm，L1取值[200300]之間，能夠得到腔內(nèi)較大的束腰半徑，值小于1.01mm；R=5000mm，L1取值[300400]之間，腔內(nèi)較大的束腰半徑值大于1.02mm。

當(dāng)L2=2200mm，L1在[100600]區(qū)間時(shí)，計(jì)算得到的子午面和弧矢面共焦參數(shù)和束腰分布見(jiàn)圖7和8?？梢钥闯觯?dāng)R=4000mm, L1處在[400500]之間時(shí)，這時(shí)候子午面和弧矢面內(nèi)的束腰半徑能夠比較均衡。與L2=1500mm時(shí)相比，腔內(nèi)的束腰半徑也明顯增大了。

（二）腔型參數(shù)的確定

根據(jù)以上的分析，下面就腔鏡參數(shù)進(jìn)行分析選擇：選取L2=1500mm，由圖6可知，L1確定的條件下，f越大，腔內(nèi)束腰越大，由此判斷曲率半徑為5m的曲面鏡有優(yōu)勢(shì)。但是，子午面和弧矢面上束腰差距隨著曲率半徑的增大也更加明顯，這會(huì)影響到諧振腔型的對(duì)稱(chēng)性，運(yùn)行后輸出激光的光束質(zhì)量也會(huì)受到負(fù)面影響。如果將L2適當(dāng)加長(zhǎng)，如圖8所示，當(dāng)L2=2200mm，曲面鏡曲率半徑為4m時(shí)，L1取450mm左右時(shí)，子午面和弧矢面具有相同的共焦參數(shù)，光腰相等（約等于1.166mm）。這將是比較適宜的腔型條件。

三、實(shí)驗(yàn)中采用的腔型參數(shù)

在實(shí)驗(yàn)中，兼顧機(jī)械結(jié)構(gòu)等條件，選取L2=2225mm，曲面鏡子午面和弧矢面內(nèi)的焦距分別為1969.62mm和2030.85mm。計(jì)算得到曲面鏡之間的束腰ω0T=1.20003 mm，ω0S=1.19977 mm，瑞利長(zhǎng)度ZRT=2203.66mm，ZRS=2202.71mm，在腰斑距離M1為221.757mm時(shí)，計(jì)算得到的M1鏡處光斑等參數(shù)可參見(jiàn)表2，發(fā)散角2θT=1.19797mrad，2θS=1.19782 mrad，基本一致。

表2 L1=2225mm腔內(nèi)器件光束分布

四、小結(jié)

根據(jù)相干探測(cè)對(duì)光源的要求，提出了環(huán)形腔的諧振腔結(jié)構(gòu)，有助于抑制空間燒孔效應(yīng)，便于實(shí)現(xiàn)種子注入；四鏡8字環(huán)形諧振腔，可以使得反射鏡的角度較小，并且實(shí)現(xiàn)兩個(gè)曲面鏡和兩個(gè)平面鏡之間各存在一個(gè)束腰的結(jié)構(gòu)，便于插入激光增益介質(zhì)和調(diào)Q等器件。利用ABCD傳輸矩陣，分析了當(dāng)L2=1500mm和2200mm時(shí)兩種腔長(zhǎng)結(jié)構(gòu)下的腔型情況。確定了L1=450mm，L2=2225mm，曲面鏡曲率半徑為4m的腔型參數(shù)，并計(jì)算得到了腔內(nèi)光束特性，為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的搭建提供了理論依據(jù)。

[1]Koch G J,Beyon J Y,Barnes B W,et al.High-energy2μm Doppler lidar for wind measurements[J].Opt.Eng,2007,46(11):116201.

[2]Jirong.Yu,Bo C.Trieu,Ed A.Modlin et al..1J/pulse Q-switched2μm solid-state laser[J].Opt.Lett.,2006,31(4):462-464.

[3]Shu Shijiang,Yu Ting, Liu Rongtao,et al.Diode- -side-pumped AO Q-switched Tm,Ho:LuLF laser[J].Chin.Opt.Lett.,2011,9(9):091407-1-3.

[4]陳鈺清,王靜環(huán).激光原理[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,1992:55-60.

[5]呂百達(dá).激光光學(xué):激光束的傳輸變換和光束質(zhì)量控制[M].成都:四川大學(xué)出版社,1992:26-30.

[6]萬(wàn)順平,孫立群,田芊, 章恩耀.一種LD泵浦雙向輸出固體環(huán)形激光器[J].光學(xué)技術(shù),2005,31(1):44-47.

[7]Qiao Liang,Yang Fu-Gui,Wu Yong-hua,Ke You-Gang, Xia Zhong-Chao.Theoretical and experimental researches on Tm and Ho codoped Q-switching laser [J].Acta Phys.Sin.2014,63(21):214205-1-7.