準圓方程的幾何審視

吳時月

圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，解析幾何的基本思想是用坐標法來研究幾何問題，但有些圓錐曲線問題運用坐標法求解，往往要用到繁瑣的推理和計算.因此，在研究解析幾何問題時，若能從幾何的角度去審視研究對象，結(jié)合平面幾何知識另辟蹊徑，往往事半功倍、別樣精彩.

文【1】通過代數(shù)方法解決并推廣了2014年廣東卷的第20題，并得到了以下命題：

命題1 已知橢圓x2a2+y2b2=1的兩條互相垂直的切線的交點為P，則點P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

文【2】給出了橢圓的一個性質(zhì)1：設(shè)直線l是過橢圓x2a2+y2b2=1上異于長軸頂點的點

M的切線，則兩焦點F1，F(xiàn)2到直線l的距離分別為d1，d2，則d1·d2=b2.

接下來，嘗試從幾何角度出發(fā)，重新審視該問題，得到了一個比較簡潔的新求法，供讀者參考.

證明 設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1的兩條互相垂直的切線為MP，NP.

點F1，O，F(xiàn)2到切線MP的距離分別為|F1A|，|OG|，|F2B|，

點F1，O，F(xiàn)2到切線NP的距離分別為|F1C|，|OH|，|F2D|.

由中位線的性質(zhì)及性質(zhì)1知：

|OG|2=|F1A|+|F2B|22

=|F1A|2+|F2B|2+2|F1A|·|F2B|4

=|F1A|2+|F2B|2+2b24.

|OH|2=|F1C|+|F2D|22

=|F1C|2+|F2D|2+2|F1C|·|F2D|4

=|F1C|2+|F2D|2+2b24.

所以，在矩形OGPH中，|OP|2=|OG|2+|OH|2=F1P2+|F2P|24+b2.

①

另一方面：在PF1F2中，2|OP|2+2c2=2F1P2+|F2P|2.

②

聯(lián)立①②式，解得|OP|2=c2+2b2=a2+b2.

即點P的軌跡是準圓x2+y2=a2+b2.

研究完命題1，很自然地想到這個結(jié)論在雙曲線中是否也成立呢？答案是肯定的.同樣地，在雙曲線中，也有以下性質(zhì)：

性質(zhì)2 設(shè)直線l是過雙曲線x2a2-y2b2=1上異于長軸頂點的點M的切線，則兩焦點F1，F(xiàn)2到直線l的距離分別為d1，d2，則d1·d2=b2.

證明 設(shè)Masecθ，btanθ，則過M的切線方程為bsecθ·x-atanθ·y-ab=0.

由F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）到直線bsecθ·x-atanθ·y-ab=0的距離分別為

d1=|bcsecθ+ab|b2sec2θ+a2tan2θ，d2=|bcsecθ-ab|b2sec2θ+a2tan2θ

故 d1d2=|b2c2sec2θ-a2b2|b2sec2θ+a2tan2θ

=|b2（a2+b2）sec2θ-a2b2|b2sec2θ+a2tan2θ

=b2（b2sec2θ+a2tan2θ）b2sec2θ+a2tan2θ=b2.

命題2 已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>b>0）的兩條互相垂直的切線的交點為P，

則點P的軌跡為圓x2+y2=a2-b2.

命題3 已知拋物線y2=2pxp>0的兩條互相垂直的切線的交點為P，則點P的軌跡方程為x=-p2.

解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法來研究幾何問題，但歸根到底，其研究對象是幾何問題.因此，在研究解析幾何問題時，若從幾何的角度去審視研究對象，挖掘研究對象的幾何特征，是可以更深刻揭露問題的本質(zhì)的，同時研究過程對提高思維的靈活性和創(chuàng)造性都也是有幫助的.

【參考文獻】

[1]繆瑞紅.高考試題中的定值“情結(jié)”[J].中學數(shù)學，2014（9）.

[2]沈文選，張垚，冷崗松.奧林匹克數(shù)學中的幾何問題[M].湖南：湖南師范大學出版社，2009.