在數(shù)學(xué)解題反思中提升學(xué)生解題能力

黃俊赟

【摘要】解題后反思，命題的意圖是什么？考核的概念、知識和能力是什么？驗(yàn)證結(jié)論是否正確，命題的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴(yán)密完善？一題多解？多題一解？不斷地對問題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感.逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)之美，提升解決數(shù)學(xué)問題的能力.

【關(guān)鍵詞】反思;分析、歸納、概括;感悟;提高能力

一、積極反思，查缺補(bǔ)漏，確保解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計(jì)算出錯，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善.所以解題后，必須對解題過程進(jìn)行回顧和評價(jià)，對結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證.可是一些同學(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚(yáng)長而去.由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引起重視，加以克制，引以為戒.如：1.結(jié)論荒唐，引為笑柄（如sinθ=-2）;2.以特殊代替一般（如比較大小往往只取特值代入）;3.臆造"定理"，判斷無據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念.以上常見的錯誤，不勝枚舉.由此可見，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視.

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸.即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡捷的解法.不能解完題就此罷手，如釋重負(fù).應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，勾通知識，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌.1.一題多解，每一種解法可能用到不同章節(jié)的知識，這樣一來可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識，掌握不同解法技巧，同時每一種解法又能解很多道題，然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷，最合理？把本題的每一種解法和結(jié)論進(jìn)一步推廣，同時既可看到知識的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉(zhuǎn)化條件等，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q碰到的這類問題，便會迎刃而解，這對提高解題能力尤其重要.如三角函數(shù)中公式較多，化簡求值方法就比較多，數(shù)列有其本身的定義，又是特殊的函數(shù)，解題也比較靈活.

三、積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如、改進(jìn)過程，尋找解題方法上的創(chuàng)新

在問題解決之后，要不斷地反思：解題過程是否浪費(fèi)了重要的信息，能否開辟新的解題通道？解題過程多走了哪些思維回路，思維、運(yùn)算能否變得簡捷？是否拘泥于思維定勢，照搬了熟悉的解法？通過這樣不斷地質(zhì)疑、不斷改進(jìn)，讓解題過程更具有合理性、科學(xué)性、簡捷性.

四、重視知識的遷移和應(yīng)用，探究問題所含知識的系統(tǒng)性

解題之后，要不斷地探究問題的知識結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性.能否對問題蘊(yùn)含的知識進(jìn)行縱向深入地探究？能否加強(qiáng)知識的橫向聯(lián)系？把問題所蘊(yùn)含孤立的知識“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識“面”.通過不斷地拓展、聯(lián)系、加強(qiáng)對知識結(jié)構(gòu)的理解，進(jìn)而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的系統(tǒng)性.在高考中，平面向量與三角函數(shù)經(jīng)常綜合考察，學(xué)生如果只能停留在孤立的向量知識點(diǎn)或是三角函數(shù)知識點(diǎn)的話，問題就難以解決.

例 設(shè)G是△ABC的重心，且有（56sinA）GA+（40sinB）GB+（35sinC）GC=0→，則角B的大小為

.

解析 由重心G滿足GA+GB+GC=0→，知56sinA=40sinB=35sinC，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的比例關(guān)系，再用余弦定理，即可求出角B的大小為60°.

平面向量中的夾角是引起平面向量與三角函數(shù)交匯的主要因素，它把平面向量與三角函數(shù)有機(jī)地綜合在一起，使問題得以充實(shí)與加強(qiáng)，能有效地考查學(xué)生解決問題的能力.

五、探究規(guī)律，形成小結(jié)

對每個問題都要尋根問底，能否得到一般性的結(jié)果，有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)？能否形成獨(dú)到的見解，有自己的小發(fā)明？點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問題的興趣.長期的積累，更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個性特征的形成，并增加知識的存儲量.

總之，解題后引導(dǎo)學(xué)生不斷地對問題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，讓學(xué)生體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感.常此以往，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.西安：陜西師范師范出版社，2004.

[2]章建躍.理解數(shù)學(xué) 理解學(xué)生 理解教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2010，1.