例談解題過(guò)程中反思習(xí)慣的培養(yǎng)

謝普鳳

經(jīng)常有學(xué)生這樣問(wèn)：“我們?nèi)绾尾拍芨行У淖鰯?shù)學(xué)題呢？”

喬治·波利亞是20世紀(jì)舉世公認(rèn)的數(shù)學(xué)家，著名的數(shù)學(xué)方法論大師.波利亞致力于解題的研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這個(gè)令人困惑的問(wèn)題，他專門(mén)研究了解題的思維過(guò)程，得到的一張《怎樣解題表》.怎樣解題表的主要內(nèi)容是：第一步：你必須弄清問(wèn)題.1.已知是什么？未知是什么？要確定未知數(shù)，條件是否充分？2.畫(huà)張圖，將已知標(biāo)上.3.引入適當(dāng)?shù)姆?hào).4.把條件的各個(gè)部分分開(kāi).第二步：找出已知與未知的聯(lián)系.1.你能否轉(zhuǎn)化成一個(gè)相似的、熟悉的問(wèn)題？2.你能否用自己的語(yǔ)言重新敘述這個(gè)問(wèn)題？3.回到定義去.4.你能否解決問(wèn)題的一部分？5.你是否利用了所有的條件？第三步：寫(xiě)出你的想法.1.勇敢地寫(xiě)出你的方法.2.你能否說(shuō)出你所寫(xiě)的每一步的理由？第四步：回顧.1.你能否一眼就看出結(jié)論？2.你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論？3.你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問(wèn)題？

每年我都會(huì)把這張表印發(fā)給我的學(xué)生，來(lái)解決剛才開(kāi)頭學(xué)生提出的問(wèn)題.但收效甚微，因?yàn)楹苌儆腥藭?huì)看，即使看了也是簡(jiǎn)單瀏覽罷了，沒(méi)有用心體會(huì)和實(shí)踐.我們平常教學(xué)的過(guò)程中也基本是按照上表的步驟來(lái)進(jìn)行的，但很多學(xué)生看到數(shù)學(xué)題還是頭疼，毫無(wú)思緒，最關(guān)鍵的原因還是沒(méi)有最好反思即回顧這一步，缺了這一步所學(xué)的知識(shí)和方法就是零散的、沒(méi)有系統(tǒng)性，更不能提煉出最重要的數(shù)學(xué)思想和方法.

本文就自己在教學(xué)《平面向量》過(guò)程中的一點(diǎn)體會(huì)來(lái)重點(diǎn)說(shuō)說(shuō)第四步（回顧）在解題習(xí)慣中的培養(yǎng).

例 在△ABC中，AC=3，AB=4..P為BC垂直平分線上一點(diǎn)，則AP·BC=

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分析 這道題本身并不難，只要學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)化思想，并有向量問(wèn)題的基本方法：基底法，很快就可以算出正確的答案，即解法一如下：

AP·BC=AM+MP·BC=AM·BC+MP·BC=12（AB+AC）·（AC-AB）.

12（AC2-AB2）=12（9-16）=-72.

正當(dāng)學(xué)生開(kāi)心于解出正確答案嘰嘰喳喳的時(shí)候，我說(shuō)：同學(xué)們這道題能不能一眼就看出答案呢？這時(shí)他們用驚訝的表情看著我，心想我毫不容易作出來(lái)的題目竟然還能一眼看出答案，很不服氣的樣子，有幾個(gè)聰明的學(xué)生很快的開(kāi)始低頭思考.不一會(huì)兒就有學(xué)生甲舉手說(shuō)：老師我想起來(lái)了，因?yàn)檫@是填空題，可以用特殊位置法?。?？即解法二如下：

當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，AP·BC=12（AB+AC）·（AC-AC）以下同解法一.答案幾乎一眼就看出來(lái)了，太棒了！接著我說(shuō)：這題還有其他的解法嗎？受到剛才學(xué)生的思維啟發(fā)和學(xué)習(xí)熱情的影響，全班投入到了積極的思考中.學(xué)生乙說(shuō)：老師我們可以從本題的條件“P為BC垂直平分線上一點(diǎn)”出發(fā)得到：PC=PB，從而得到了解法三如下：

∵PC=PB，∴AC-AP=AB-AP

∴AC-AP）2=AB-AP）2，AC2-AB2=2AP·（AC-AB）=2AP·BC∴9-16=2AP·BC，AP·BC=-72.

正當(dāng)大家為學(xué)生乙的精彩解法鼓掌的時(shí)候，學(xué)生丙說(shuō)：老師這題還可以用向量的坐標(biāo)法來(lái)解?。〖慈缦碌慕夥ㄋ模?/p>

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系;設(shè)B（0，0），C（a，0），A（x，y），P（a2，z），則BC=（a，0），AP=-x-a2，y-z.

AP·BC=-ax-a2=-ax+12a2，AB=（x，y），AC=（x-a，y）.

AB2=x2+y2=16，AC2=（x-a）2+y2=9，∴2ax+a2=7，∴AP·BC=-72.

這時(shí)教室里響起了經(jīng)久不息的掌聲.你能否把這個(gè)題目或這種方法用于解決其他的問(wèn)題嗎？我們不妨看以下這道題目：

上課聽(tīng)講不是說(shuō)聽(tīng)老師是怎么解出的，而是要聽(tīng)老師是怎么分析的，為什么要想到這樣的思路，有別的想法嗎？這個(gè)題的題眼是什么，解題關(guān)鍵是什么？如果你堅(jiān)持用這樣的方法聽(tīng)課，再做到舉一反三，很快你就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)難題也不麻煩，而且很有趣.