高等數(shù)學(xué)解題中線性代數(shù)方法的運(yùn)用

呂春燕

【摘要】線性代數(shù)作為高校數(shù)學(xué)課程中最為基礎(chǔ)的一門數(shù)學(xué)課，在數(shù)學(xué)函數(shù)中有很重要的作用，很多高等數(shù)學(xué)都離不開線性代數(shù)的融合，通過線性代數(shù)方法能夠在短時(shí)間內(nèi)對線性代數(shù)方程組進(jìn)行正確的求解，解決線性的變換和空間結(jié)構(gòu)問題，提高高等數(shù)學(xué)解題效率.同時(shí)線性代數(shù)還能夠很大程度上培養(yǎng)學(xué)生分析事情的邏輯思維能力，而由于線性代數(shù)課程最大的特點(diǎn)就是抽象性，因此，在教學(xué)的過程中，應(yīng)掌握一定的策略，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和知識(shí)應(yīng)用能力.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)方法;高等數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用

引 言

數(shù)學(xué)在我們生活中無處不在，在大學(xué)期間，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度有所增加，所以高等數(shù)學(xué)被分為了好多學(xué)科，其中就包括線性代數(shù)這一重要的學(xué)科.《線性代數(shù)》和《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)生必學(xué)的基礎(chǔ)課程，它很好地反映出了數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓.線性代數(shù)相對較為復(fù)雜，對于高等數(shù)學(xué)來講，運(yùn)算思路和難易程度有很大的差異，在對實(shí)際問題進(jìn)行解決時(shí)一定程度上有很好的互補(bǔ)性.線性代數(shù)的學(xué)習(xí)程度對高等數(shù)學(xué)是有一定的影響的，因?yàn)榫€性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)是由相輔相成的作用的，在解決某些問題上，采用其中的一種方法是有可能比較困難的，這個(gè)時(shí)候就需要轉(zhuǎn)變思維，換一個(gè)角度想問題，讓自己的學(xué)習(xí)過程更加順利，從而提高自己的成績.

一、線性代數(shù)方法學(xué)習(xí)所需能力

1.需要有抽象的思維能力才能使學(xué)習(xí)更加高效

線性代數(shù)是需要學(xué)生通過抽象的思維進(jìn)行想象的，可以說學(xué)習(xí)的過程中對于向量，矩陣等都需要自己通過抽象想象的.線性代數(shù)中這樣的學(xué)習(xí)有很多種，例如矩陣與線性方程組，在矩陣與矩陣，矩陣與向量組，向量組與向量組等等，所以學(xué)生要了解他們之間的抽象關(guān)系，認(rèn)真領(lǐng)會(huì)其中的知識(shí)點(diǎn)，對他們的概念以及性質(zhì)的學(xué)習(xí)進(jìn)行加強(qiáng).在初中和高中的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們已經(jīng)接觸過具有抽象能力的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)了，比如說在向量的學(xué)習(xí)中，就需要將向量想象成一種抽象的東西，這個(gè)時(shí)候的數(shù)學(xué)還是很好學(xué)的，但是對于高等數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)里面的思維想象能力的要求就相對來說比較高了，所以對于學(xué)生在這方面能力的鍛煉與培養(yǎng)，需要教師多加引導(dǎo)，讓學(xué)生養(yǎng)成自己思考，主動(dòng)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，多做題，逐漸的就會(huì)把自己的抽象能力培養(yǎng)出來.

2.邏輯推理能力

不僅僅是線性代數(shù)需要邏輯推理能力，可以說整個(gè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個(gè)邏輯推理能力的培養(yǎng)從小學(xué)時(shí)，學(xué)生們便開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一直都在鍛煉學(xué)生們的是邏輯推理能力.線性代數(shù)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間邏輯關(guān)系是非常緊密的，邏輯性是非常高的.其實(shí)我們在學(xué)習(xí)很多學(xué)科時(shí)都有這種體會(huì)，知識(shí)點(diǎn)不是單獨(dú)存在的，教材在安排知識(shí)點(diǎn)的位置的時(shí)候也都會(huì)將有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起學(xué)，這樣既對學(xué)生學(xué)習(xí)起來是一個(gè)方便，同時(shí)教師在教授的過程中也更加容易方便，這在一定程度上考驗(yàn)了學(xué)生的邏輯思維能力，所以線性代數(shù)在學(xué)習(xí)過程中一定要上下聯(lián)系，找出其中關(guān)聯(lián)的地方，把有關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)放在一起仔細(xì)研究，找到他們在解題過程中的運(yùn)用效果，能夠在解題過程中顯得不那么手足無措，同時(shí)要深刻理解其中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而提高學(xué)習(xí)效率.另一方面學(xué)習(xí)的過程中需要運(yùn)用的推理能力不僅僅表現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)的上下聯(lián)系，而且在解題過程中需要在讀過題之后快速的找到體重的關(guān)鍵點(diǎn)，找出解題時(shí)所要用到的知識(shí)點(diǎn)，這也是對邏輯推理能力的一個(gè)考驗(yàn).

二、線性代數(shù)在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.二次型理論的應(yīng)用

線性代數(shù)中二次型理論是重點(diǎn)內(nèi)容，求二次函數(shù)的極值問題，可以運(yùn)用二次型理論來解決.

例1

2.正交變換的應(yīng)用

（1）在判斷二次曲面類型的應(yīng)用

根據(jù)幾何知識(shí)二次方程：

a11x21+a22x22+a33x33+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3+b1x1+b2x2+b3x3+c=0.

如果對空間二次曲面進(jìn)行表現(xiàn)，需要確定曲面的類型，需要用到直角坐標(biāo)消除交叉項(xiàng)，由于正交變換能夠夾角和長度進(jìn)行保持，因此最大的有點(diǎn)就是保持圖形的不變.

例2 把二次曲面方程：3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1來作為標(biāo)準(zhǔn)方程，對該方程表示的曲面進(jìn)行明確指出.

解 記f（x，y，z）=3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz.

得出二次型的矩陣，求|A-λE|=（-λ）（λ-2）（λ-11）得出A的特征值：λ1=0，λ2=2，λ3=11各個(gè)特征值對應(yīng)的單位特征向量，

正交變換：x

在這種情況下，二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程2v²+11w²=1它表示橢圓柱面，且該方程表示的幾何圖形與原方程一模一樣.

（2）正交變換在求曲面積分中的應(yīng)用

對于計(jì)算三維空間中的曲面積分，如果已經(jīng)知道積分曲面的參數(shù)形式，一般可以使用高等數(shù)學(xué)里介紹的方法進(jìn)行計(jì)算，但是對于某些積分曲面，若不知道或很難使用參數(shù)形式表示出來，則不易計(jì)算.此時(shí)我們可以使用正交變換的方法進(jìn)行嘗試.首先給出利用正交變換理論解決曲面積分問題的方法.

假設(shè)S是三維歐式空間R3的光滑曲面，p（x，y，z）是s上的連鎖函數(shù)，而x

w是歐式空間的一個(gè)正交變換，S`是曲面S在上述正交變換下的象，p-（u，v，w）是p（u，v，w）與正交變換的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)有下列計(jì)算曲面積分的公式：∫sp（x，y，z）dS=∫sp-（u，v，w）dS′.

3.線性方程組知識(shí)的應(yīng)用

例3 設(shè)：f（x）在a，+∞上n階可導(dǎo)，limf（x）和limf（n）（x）存在，求：limx→+∞f（k）（x）=0（K=1，2，…，n）.

證明 設(shè)limx→+∞f（x）=A，limx→+∞f（n）（x）=B，根據(jù)Taylor公式可得： fx+k=f（x）+kf′（x）+k22！f″（x）+…+kn-1（n-1）f（n-1）（x）+knn！f（n）ξkx<ξk

（3）

則limx→+∞f（n）ξk=limx→+∞f（n）（x）=B.

根據(jù)函數(shù)極限得出：f（n）ξk=B+αk，其中l(wèi)imx→+∞αK=0（K=1，2，…，n）

把該式引入到上式得出關(guān)于f′（x），f″（x），…，f（n-1）（x），B的一個(gè)線性方程式：

（4）

得出系數(shù)行列式：

（6）

從方程組（4）中通過f（x），f′（x），…f（n-1）（x），B解出，可得一個(gè)fx+k-f（x）-knn！αk （K=1，2，…，n）的線性組合

limx→+∞fx+k-f（x）-knn！αk=A-A+0=0，B=0

即limx→+∞fk（x）=0（k=1，2，…，n）.

（7）

三、在線性代數(shù)教學(xué)需注意的問題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)需要運(yùn)用到很多規(guī)律性方法，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)也是非常重要的，在實(shí)際的學(xué)習(xí)中，教師對學(xué)生的引導(dǎo)也不可忽視的一個(gè)環(huán)節(jié)，教師對學(xué)生知識(shí)點(diǎn)正確運(yùn)用的引導(dǎo)和教學(xué)方法尤為重要，這是為線性代數(shù)知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中更好運(yùn)用的前提，所以，教師在教學(xué)中要做好首要工作.

教師在教學(xué)時(shí)，需要對每一個(gè)概念進(jìn)行詳細(xì)的講解，使學(xué)生對概念全面的了解，概念是正確解題的基礎(chǔ).在進(jìn)行例題講解時(shí)應(yīng)把需要用到的知識(shí)點(diǎn)一一列出對學(xué)生進(jìn)行深入淺出的加深概念的理解，由此還可以延伸到之前學(xué)習(xí)的知識(shí)，對其進(jìn)行必要的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中復(fù)習(xí)舊知識(shí)，能夠在很大程度上適應(yīng)抽象的思維模式.

在傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)中，知識(shí)的學(xué)習(xí)和生活是兩個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，很大程度上脫離了生活范疇，由于枯燥使學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)沒有更多的積極性，所以，教師需要在此方面加大教學(xué)力度，提高教學(xué)中的趣味性，很有必要在教學(xué)中引入一些生活中實(shí)實(shí)在在的例子，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

由于數(shù)學(xué)課堂氣氛有些枯燥，教師在講解時(shí)應(yīng)運(yùn)用啟發(fā)性的問題來提高教學(xué)質(zhì)量，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心，使其進(jìn)行互動(dòng)交流和主動(dòng)對知識(shí)進(jìn)行討論，這樣在很大程度上能夠打破傳統(tǒng)的教學(xué)方法，最大程度上以學(xué)生為主題，提高教學(xué)質(zhì)量.

此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，也應(yīng)注意把握好“由易而難，有低而高，由簡而繁”的原則，加強(qiáng)對概念的理解，只有在正確概念理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行試題的求解，才能夠由淺而深接近問題的正確答案.同時(shí)還用認(rèn)識(shí)到初等變換的重要性，由于運(yùn)用初等變換方法需要較高的運(yùn)算能力，日常學(xué)習(xí)中也應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)自己的運(yùn)算能力.

六、總 結(jié)

綜上所述，高等數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)的過程中是有一定的難度的，在學(xué)習(xí)過程中也不是那么好掌握的，里面的錯(cuò)綜復(fù)雜在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生們也可以體會(huì)出來，這就使得有些學(xué)生在做題時(shí)無從下手，對于這些數(shù)學(xué)題無可奈何，而將線性代數(shù)引入到高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們可以相對容易地解決問題，可以說，它為高等數(shù)學(xué)注入了股新的氣流.因此，在學(xué)習(xí)過程中，一定要靈活運(yùn)用，將線性代數(shù)方法在解高等數(shù)學(xué)的題目時(shí)靈活的運(yùn)用進(jìn)去，使學(xué)生們在學(xué)習(xí)過程中可以提高自己的學(xué)習(xí)效率.