《高等數(shù)學(xué)》課程中若干思想方法的滲透

魯翠仙

【摘要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)掌握繼續(xù)學(xué)習(xí)的方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、可持續(xù)發(fā)展能力、終身學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造力，使他們受益終身，本文給出在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透的數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);教學(xué);數(shù)學(xué)思想方法;滲透

【基金項(xiàng)目】本文系2013年校級(jí)科研課題“臨滄師專高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐探討”的階段性成果

一、數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是開(kāi)啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)的金鑰匙，是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉.可以說(shuō)數(shù)學(xué)的發(fā)展史是一部生動(dòng)的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，它深刻的告訴我們：數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了指導(dǎo)方針和解題策略.

二、《高等數(shù)學(xué)》課程中的若干思想方法

1.抽象性的思想方法

從具體到抽象是高等數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要思想之一，具體的實(shí)例是抽象思維的源泉，高等數(shù)學(xué)中的級(jí)數(shù)、多元微積分、隱函數(shù)、反常積分與含參變量的積分、重積分等都是比較具體的，但其中很多概念還是比較抽象的，比如我們要解決何謂瞬時(shí)速度及怎樣求出瞬時(shí)速度這兩個(gè)問(wèn)題，先引出：V=limΔt→0ΔSΔt，其次我們引出了導(dǎo)數(shù)的定義式f′（x）=limΔx→0fx+Δx-f（x）Δx，從這些具體的對(duì)象出發(fā)形成了一般的對(duì)象.通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)中概念抽象思維方法的學(xué)習(xí)和掌握，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，也正是學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)抽象性，才客觀、正確、深刻地反映事物的本質(zhì)和自然屬性，學(xué)生只有熟悉、接受和深刻理解這種抽象，他們的思維才會(huì)發(fā)展起來(lái)，實(shí)際問(wèn)題才能得到解決.

2.辯證思維的思想方法

世界是遵循不以人們意志轉(zhuǎn)移的辯證規(guī)律發(fā)展變化的，數(shù)學(xué)又是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因此它必然充滿辯證的思想.在高等數(shù)學(xué)課程中將教材與辯證的思想方法有機(jī)結(jié)合，無(wú)疑大大的提高了教師的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的素質(zhì).有限可以窮盡，無(wú)限是由無(wú)數(shù)個(gè)有限構(gòu)成，無(wú)限不可窮盡，無(wú)限只有通過(guò)有限來(lái)存在，在高等院校高等數(shù)學(xué)中凡與無(wú)限相關(guān)的概念，都是有限與無(wú)限對(duì)立統(tǒng)一的反映，要認(rèn)清其中的概念及其本質(zhì).另一方面數(shù)分中常量與變量，為了計(jì)算定積分，首先引進(jìn)變上限的定積分∫mnf（x）dx是f（x）的一個(gè)原函數(shù)（即把轉(zhuǎn)化變量）然后用它的一個(gè)原函數(shù)在點(diǎn)n，m處值的差計(jì)算，這個(gè)過(guò)程也就是常量與變量的辯證關(guān)系.

3.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法

將難以解決的問(wèn)題及未知的解法，通過(guò)類比、觀察分析、聯(lián)想等思維的過(guò)程，選擇應(yīng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換、化歸為已知知識(shí)范圍內(nèi)易解決或者已經(jīng)解決的思想叫做轉(zhuǎn)化與化歸的思想，它是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn)，待定系數(shù)法、分析法等都是轉(zhuǎn)化的手段，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀、具體的問(wèn)題，將難解和不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或熟悉的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法，將一般轉(zhuǎn)化為直觀特殊的問(wèn)題，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，都是轉(zhuǎn)化與化歸原則.在講授定積分在幾何上的應(yīng)用時(shí)，我們應(yīng)該始終抓住分割、取近似、求和、取極限這四個(gè)步驟，將這些物理量和幾何量轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的和式極限，通過(guò)計(jì)算積分值得到所求的量.

4.公理化的思想方法

數(shù)學(xué)理論體系當(dāng)中，盡可能少地選取不加證明的公理和原始概念，以此為出發(fā)點(diǎn)，利用邏輯的推理法則，在此基礎(chǔ)上建立成一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法，就是公理化方法.在數(shù)學(xué)史上，利用公理化的思想對(duì)公理化系統(tǒng)進(jìn)行邏輯的推理、演繹以及進(jìn)一步的抽象概括，實(shí)現(xiàn)對(duì)公理化系統(tǒng)進(jìn)行改造，使其完備化，高等數(shù)學(xué)的理論系統(tǒng)就是建立在公理基礎(chǔ)上的邏輯演繹的科學(xué)理論體系.公理化的思想方法具有總結(jié)、分析知識(shí)的作用，可以把零散的數(shù)學(xué)知識(shí)用邏輯鏈串聯(lián)起來(lái)，使之完整，讓人易掌握，更便于應(yīng)用，在教學(xué)中加強(qiáng)公理化思想方法的教育，培養(yǎng)了學(xué)生的求實(shí)精神，并激發(fā)他們對(duì)簡(jiǎn)潔美、抽象美以及統(tǒng)一美的追求.

5.數(shù)學(xué)建模的思想方法

數(shù)學(xué)建模如果一定要下一個(gè)定義的話，可以說(shuō)它是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是“對(duì)現(xiàn)實(shí)的現(xiàn)象通過(guò)心智活動(dòng)構(gòu)造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化或符號(hào)的表示”，從科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)、管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具.數(shù)學(xué)應(yīng)用題就是最簡(jiǎn)單一類數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，涉及了數(shù)學(xué)建模思想方法的一般過(guò)程，而高等數(shù)學(xué)課程的各個(gè)章節(jié)的理論學(xué)習(xí)之后，都有一些實(shí)際應(yīng)用題，我們要引導(dǎo)學(xué)生加以分析，解決實(shí)際問(wèn)題.這樣既讓我們的學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的方法步驟，也能體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，同時(shí)貫徹了理論中與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的原則并培養(yǎng)提高了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

6.數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的思想方法

高等數(shù)學(xué)由于其學(xué)科的特殊性，使它具有含義精準(zhǔn)、詞語(yǔ)豐富、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言符號(hào).數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)為科學(xué)研究提供了精準(zhǔn)簡(jiǎn)潔的形式化語(yǔ)言，每一種數(shù)學(xué)思想和方法都是數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的具體問(wèn)題抽象概括為“純粹”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)，借助于已知數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行分析、運(yùn)算和推導(dǎo)，獲得重要的啟迪和認(rèn)識(shí)，然后再將這些結(jié)果返回到數(shù)學(xué)的相關(guān)問(wèn)題中，比如《高等數(shù)學(xué)》中的二重積分、定積分、導(dǎo)數(shù)等等就是把曲頂柱體的體積以及物理學(xué)中的非勻速直線運(yùn)動(dòng)，變力所做的功，幾何學(xué)中曲邊梯形的面積，平面曲線切線的斜率這些“純粹”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，通過(guò)各種數(shù)學(xué)的量，量的關(guān)系以及變化之間進(jìn)行一系列的推導(dǎo)演算，獲得的一些重要的結(jié)果.也正是由于其抽象概括和分析，推導(dǎo)的過(guò)程中沒(méi)有客觀事物的任何本質(zhì)屬性，所得的結(jié)果適用于一切具有共同前提的所有問(wèn)題中，它不僅簡(jiǎn)明扼要，而且表達(dá)的內(nèi)容深刻，是其他任何語(yǔ)言都無(wú)法取代的，在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生要深刻理解，并懂得數(shù)學(xué)語(yǔ)言并學(xué)會(huì)把問(wèn)題用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)表達(dá)出來(lái)，然后再求解.

7.有限到無(wú)限的思想方法

高等數(shù)學(xué)課程中數(shù)列的極限集中體現(xiàn)了有限與無(wú)限的思想，在引出這一概念時(shí)，數(shù)學(xué)家劉徽利用了割圓術(shù)，而劉徽則說(shuō)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”，他們使用了極限的思想方法來(lái)解決了數(shù)學(xué)中的問(wèn)題.定積分的概念也是通過(guò)不規(guī)則曲邊梯形的面積引入的，在此過(guò)程中，我們利用了對(duì)曲邊梯形的面積的形象思維，從中抽象出每一個(gè)小曲邊梯形的面積可以通過(guò)矩形面積近似計(jì)算，從而推廣到無(wú)限個(gè)的情況，從中我們深刻體會(huì)到“無(wú)限細(xì)分，無(wú)限求和”這一數(shù)學(xué)思想.只有這些數(shù)學(xué)思想的滲透，學(xué)生才能深刻地對(duì)數(shù)學(xué)有更深層次的認(rèn)識(shí)，才有在學(xué)習(xí)二重積分，三重積分時(shí)的迎刃而解，而且以后雖然用不到這些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，但這種數(shù)學(xué)的思想方法仍會(huì)根深蒂固，指導(dǎo)了學(xué)生思考其他的學(xué)科問(wèn)題，同時(shí)讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)美.

8.換元的思想方法

所謂換元思想即是把某些代數(shù)式看成一個(gè)新的未知數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)變量的替換，其本質(zhì)也就是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過(guò)轉(zhuǎn)化能夠?qū)崿F(xiàn)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉.

例 計(jì)算以圓域D：x2+y2≤a2為底，D上的曲面是z=e-x2+y2的曲頂柱體的體積.

分析 本題如果直接在直角坐標(biāo)系下化為累次積分計(jì)算，就不能用積分的基本公式積出，所以必須另辟蹊徑，采用換元思想求解.

解 已知曲柱體的體積v=De-x2+y2，

在直角坐標(biāo)系下，D={（x，y）x2+y2≤a2}，設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ;它將圓域D：x2+y2≤a2變換為D0≤r≤a，0≤φ≤2π

在極坐標(biāo)系下;D={（x，y）|0≤r≤1，0≤θ≤2π};且（x，y）rφ=r

由公式可得：

v=De-x2+y2dxdy=De-r2rdrdφ=∫2π0dφ∫a0e-r2rdr=2π-12e-r2a0=π1-e-a2.

9.極限的思想方法

所謂的極限思想就是用極限的概念來(lái)分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想，如圓是曲邊形，它的內(nèi)接正多邊形是直邊行，二者有著本質(zhì)的區(qū)別，但這個(gè)區(qū)別又不是絕對(duì)的，在一定條件下，圓的內(nèi)接多邊形能夠轉(zhuǎn)化為該圓周，這個(gè)條件就是“當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)”， 即注意“無(wú)限”二字，因此在無(wú)限的過(guò)程中直邊行轉(zhuǎn)化曲邊形，即在無(wú)限的過(guò)程中，由曲邊形的周長(zhǎng)數(shù)列得到了該圓的曲邊周長(zhǎng)，這就是極限的思想和方法在定義圓周長(zhǎng)上的應(yīng)用.《高等數(shù)學(xué)》就是以極限概念為基礎(chǔ)，極限的理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科.初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)有著本質(zhì)的區(qū)別也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)方法的改變，而這種改變也就是引入了極限的思想，把原本“靜止”的東西轉(zhuǎn)化為“運(yùn)動(dòng)”的知識(shí)，這樣思考問(wèn)題解決問(wèn)題的方法沒(méi)有變，但數(shù)學(xué)的思想方法已經(jīng)變化了.

10.導(dǎo)數(shù)的思想方法

導(dǎo)數(shù)是微積分學(xué)的核心概念之一，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，把它運(yùn)用于求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度及求曲線上某一點(diǎn)處的切線得斜率，兩類問(wèn)題都可以歸結(jié)為變量變化的快慢程度.牛頓和萊布尼茲分別從兩個(gè)問(wèn)題出發(fā)，給出了導(dǎo)數(shù)的概念以及用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算處理函數(shù)性質(zhì)的一般性，把運(yùn)算引用于導(dǎo)數(shù)，可使我們擴(kuò)展知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)，而且這些方法是全面研究微積分的重要方法和理論工具，它應(yīng)用于生活的各個(gè)領(lǐng)域.

11.數(shù)形結(jié)合的思想方法

著名數(shù)學(xué)家拉格朗日指出：“只要代數(shù)和幾何分道揚(yáng)鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.”數(shù)和形作為數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本對(duì)象，是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量與空間形式的反映，在解析幾何學(xué)中二者達(dá)到了有機(jī)的統(tǒng)一.這種統(tǒng)一曾為微積分、近世代數(shù)、泛函分析等學(xué)科提供了必要的工具.在《高等數(shù)學(xué)》中，要有意識(shí)地賦抽象概念以直觀的“形態(tài)”與現(xiàn)實(shí)背景，注重形象思維的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)數(shù)的本質(zhì)與形的直觀相結(jié)合，對(duì)有明顯幾何意義的概念，一定要結(jié)合圖形講解，使學(xué)生易接受，記憶深刻，靈活自如的運(yùn)用，如在講解函數(shù)極值時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生想象平面的曲線，三維空間曲面上的點(diǎn)，利用多媒體技術(shù)將數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、圖形、動(dòng)畫(huà)及視頻有機(jī)結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生的直觀性，生動(dòng)性和創(chuàng)造性.

12.對(duì)稱性的思想方法

《高等數(shù)學(xué)》以它簡(jiǎn)潔的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撌鲆约胺?hào)化的技能技巧、形式的對(duì)稱等給人以美學(xué)的感受，其中的“對(duì)稱”在幾何圖形中，有點(diǎn)的對(duì)稱，線的對(duì)稱以及面對(duì)稱等，規(guī)則的球面，則即是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，又是關(guān)于線的對(duì)稱，還關(guān)于面的對(duì)稱，所以，它顯得更美，點(diǎn)、線、面的這種幾何對(duì)稱性，給我們以美的感受，更重要的是這種幾何對(duì)稱性體現(xiàn)在函數(shù)中的“變量”的某種對(duì)稱，對(duì)論證以及計(jì)算將帶來(lái)更大的方便，利用奇偶性作圖，函數(shù)的奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ性來(lái)計(jì)算各種積分，利用函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)求導(dǎo)數(shù)，《高等數(shù)學(xué)》中的另一種形式的對(duì)稱.運(yùn)算符號(hào)的對(duì)稱性與運(yùn)算法則的對(duì)稱性，這種形式的對(duì)稱，不僅帶來(lái)了計(jì)算的方便，且給人以思維的啟迪，使我們產(chǎn)生聯(lián)想，促進(jìn)我們創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

13.算法化的思想方法

算法化的思想是指把同類問(wèn)題的解決方法整理成可機(jī)械化操作的有序解題步驟，對(duì)于高等師范生滲透算法化的思想有很重要的意義，算法化的思想廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中的各個(gè)方面，提高了人們的生活質(zhì)量以及各個(gè)行業(yè)的生產(chǎn)效率.其次算法化的思想解題方法要求操作者嚴(yán)格執(zhí)行每一個(gè)步驟，最終得到答案，訓(xùn)練了學(xué)生的一絲不茍的認(rèn)真精神.

三、結(jié)束語(yǔ)

高師院校的數(shù)學(xué)教育教學(xué)的過(guò)程中要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的探索，學(xué)習(xí)，追求的興趣，也有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，學(xué)習(xí)能力，分析能力與創(chuàng)新能力的綜合素質(zhì)，且對(duì)提高學(xué)生的就業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，也為日后的終身學(xué)習(xí)做長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ).

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