范德蒙德行列式的應(yīng)用

陳瑩

【摘要】用增補(bǔ)法（升階法） 說(shuō)明了范德蒙（Vandermonde） 行列式的一個(gè)性質(zhì)，并使其能解決一類行列式的計(jì)算問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】范德蒙德行列式 行列式 行列式計(jì)算 推廣

引言

范德蒙德行列式的特點(diǎn)是行列式的每一列都是某個(gè)數(shù)的不同方幕， 且由上而下方幕次數(shù)由0遞增至n-1。利用范德蒙德行列式計(jì)算行列式， 應(yīng)當(dāng)先根據(jù)范德蒙德行列式的上述特點(diǎn)， 然后利用其結(jié)果計(jì)算。利用范德蒙德行列式的結(jié)論計(jì)算并不復(fù)雜，難的是如何將給定的行列式化成范式的標(biāo)準(zhǔn)形式。所給行列式各列（或各行） 都是某元素的不同次冪，但其冪次數(shù)的排列與范德蒙德行列式不完全相同，需利用行列式性質(zhì)（如提取公因式，調(diào)換各行（或各列） 的次序，拆項(xiàng)等）

1主要結(jié)果

2綜合應(yīng)用

由于行列式是方形的， 設(shè) ， 則指數(shù)集合 ， 中必存 t在位空缺數(shù)字， 設(shè)它們是 。于是行列式中將缺少指數(shù)為 ， 的各行， 可簡(jiǎn)寫為

先研究只缺1行的情況， 即

作一新行列式‘ ” ， 將指數(shù)為i的那行補(bǔ)齊， 并補(bǔ)充以y為變量1的列， 即

易知“ 為一范德蒙德行列式， 故 將‘ 行列式與它的展開(kāi)式即上式對(duì)比， 得

以下研究缺行的情況

則行列式與 之乘積中 的系數(shù)為行列式

3范德蒙德行列式例題

解：本項(xiàng)中行列式的排列規(guī)律與范德蒙德行列式的排

列規(guī)律正好相反，為使Dn + 1中各列元素的方冪次數(shù)自上而

下遞升排列，將第n + 1 行依次與上行交換直至第1 行，第n

行依次與上行交換直至第2 行……第2 行依次與上行交換

直至第n 行，于是共經(jīng)過(guò)

次行的交換得到n + 1 階范德蒙德行列式：

若Dn 的第i 行（列） 由兩個(gè)分行（列） 所組成，其中任意

相鄰兩行（列） 均含相同分行（列） ；且Dn 中含有由n 個(gè)分行

（列） 組成的范德蒙德行列式，那么將Dn 的第i 行（列） 乘以- 1 加到第（i + 1） 行（列） ，消除一些分行（列） ，即可化成范

德蒙德行列式：

總結(jié)

范德蒙德行列式在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中有十分重要的作用，本文主要介紹了有關(guān)范德蒙德行列式的結(jié)論，和簡(jiǎn)單的范德蒙德行列式的計(jì)算。范德蒙德行列式是一種特殊形的行列式，在計(jì)算方面有很強(qiáng)的技巧性。所以在行列式的計(jì)算中應(yīng)用范德蒙德行列式，簡(jiǎn)便計(jì)算。范德蒙德行列式在其他定理推理中也有重要作用。范德蒙德行列式應(yīng)用其實(shí)很廣泛。本文只是一小部分。

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