高中數(shù)學章頭圖和引言的教學實踐與探討

馮霞

【摘 ? ?要】如何重新認識引言在教材中的地位和作用，充分開發(fā)其潛在的課程資源，不但能促進教師提高宏觀認識、把握和駕馭教材的能力，而且對激發(fā)學生的學習動機，養(yǎng)成科學探究、敢于質疑及應用數(shù)學的意識，都具有極其重要的意義。為了解決這些問題，我們有必要探討引言教學的重要作用及其在教學中應注意的一些問題。

【關鍵詞】高中數(shù)學 ?引言 ?章頭圖

中圖分類號：G4 ? ?文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.03.105

高中《數(shù)學》的教材中，每章配有優(yōu)美的章頭圖和詩一般的引言和富有哲理的數(shù)學家名言，作為全章內容的引入，使學生初步了解該章學習目標和學習的必要性，以激發(fā)學生的求知欲。然而，在實際教學活動中，有些教師對引言的作用認識不夠，講課時輕描淡寫，一帶而過，或干脆省略不講，有些是由于教師缺乏相關的背景資料，導致引言課就事論事，沉悶乏味。如何重新認識引言在教材中的地位和作用，充分開發(fā)其潛在的課程資源，不但能促進教師提高宏觀認識、把握和駕馭教材的能力，而且對激發(fā)學生的學習動機，養(yǎng)成科學探究、敢于質疑及應用數(shù)學的意識，都具有極其重要的意義。為了解決這些問題，我們有必要探討引言教學的重要作用及其在教學中應注意的一些問題。

一、章頭圖和引言的教學功能

（一）幫助學生了解本章學習的內容、地位和作用

一方面，就整體而言，章頭圖和引言對該章內容起了很好的導入作用。它向學習者簡明扼要并全面地展示了所需學習的主要內容及知識點，更為重要的是，它緊密聯(lián)系學生已學習的知識內容，促使學生將所學習的知識點編織成一個環(huán)環(huán)相連的網絡。另一方面，在教學中我們所講的每一個數(shù)學問題都應服從于教學目標，教學過程都應圍繞教學目標進行，所以，教學一開始就讓學生了解教學目標是很必要的，這樣可以減少學生在學習過程中的盲目性，做到心中有數(shù)。新教材中的章頭圖和引言恰好可以幫助學生了解本章學習的內容、地位和作用。比如：“集合”的章頭圖呈現(xiàn)了茫茫的草原上，一群大象在悠閑地走動的場景，可以讓學生感受到“同一類對象匯集在一起”，這就是本章要學習的“集合”，以及集合在實際生活中無處不在;而后面的章引言給出了學習集合的三個方面內容：集合的含義、集合間的關系和集合的運算。

（二）喚起并激勵學生學習的興趣和激情

教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞。人們對自己感興趣的事物總是力求探索它，認識它;興趣是一個人力求認識并趨向某種事物特有的意向，是個體主觀能動性的一種體現(xiàn)。章頭圖和引言能夠最大程度地喚起并激勵學生學習新知識點的興趣和激情，是因為其總是以生動形象的畫面表現(xiàn)出來。這樣的畫面緊密結合學生的生活經驗和知識背景，學生對之十分熟悉因而甚感興趣。人的內心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者。章頭圖和引言使教育者因勢利導，在授課中就地取“材”，借助教材中的“第一手資料”，培養(yǎng)學生濃厚的學習興趣，使其積極振奮地投入到新知識的學習之中。

（三）培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識

傳統(tǒng)的數(shù)學教學往往忽視與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，新教材中的章頭圖和引言注重從實際生活出發(fā)，貼近生活，把社會生活中的廣為學生熟悉的題材引入到數(shù)學的大課堂之中，善于選擇與學生生活背景有關的素材與情境，說明本章內容的現(xiàn)實背景。例如：“平面向量”的章頭圖和引言借助四架表演中的飛機、物理中的位移、速度和力這樣的量，讓學生明白還有一種有別于數(shù)量的量，其具有既有大小又有方向的特征，在此基礎上引出該章節(jié)內容——向量，真正體現(xiàn)出了“數(shù)學源于生活又服務于生活”的特點，向學生展現(xiàn)了數(shù)學在現(xiàn)實生活中的巨大的無可替代的作用，從而激發(fā)學生學以致用的熱情，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的意識。

二、章頭圖和引言常用的幾種處理方法

（一）先建立一些概念，再介紹章引言

因章引言內容涉及一些尚未學習的概念，因此，第一課時教學時可以建立一些必要的概念，并由此引發(fā)本章學習內容的話題。以《數(shù)學2-3》（選修）中的“隨機變量及其分布”為例。先讓學生了解隨機變量概念產生的必要性──為了用數(shù)學的方法研究隨機現(xiàn)象，把隨機試驗的結果用一個數(shù)字來表示，即在隨機試驗的結果構成的集合與實數(shù)集合之間建立映射，把隨機試驗的結果數(shù)學化。這樣一來，隨機試驗的結果發(fā)生的概率就與數(shù)學化之后的實數(shù)建立了一種函數(shù)關系，就可以運用數(shù)學的方法來研究隨機現(xiàn)象。當學生明白了這一邏輯關系之后，再介紹章引言中的內容“把隨機試驗的結果數(shù)量化，用隨機變量表示隨機試驗的結果，就可以利用數(shù)學工具來研究所感興趣的隨機現(xiàn)象。”在本章中，我們將在必修課學習的基礎上，學習某些離散型隨機變量分布列及其均值、方差等知識，利用離散型隨機變量思想描述和分析某些隨機現(xiàn)象，解決一些簡單的實際問題，進一步體會概率模型的作用及運用概率思想思考和解決問題的特點。甚至再介紹“章頭圖”中道爾頓板所說明問題的含義以及“在自然現(xiàn)象、生產和生活實際中，很多隨機變量服從或近似地服從正態(tài)分布?！边@樣做的目的是盡量讓學生能夠聽懂老師在說什么，將來我們可能要研究哪些問題，學習什么方面的知識。在教學中，教師應該追求自然的過程，符合學生的心理特點、接受能力，減少突兀。絕不能讓學生感到莫名其妙、丈二和尚摸不著頭腦。

（二）通過類比，引入章引言

通過與其他內容學習過程的類比介紹章引言，提出本章學習的任務。必修的“平面向量”在學生建立了向量的概念、與實數(shù)類比發(fā)現(xiàn)向量這個集合中有兩個特殊的元素──零向量、單位向量之后，一個自然的問題就是，實數(shù)集合有運算、運算律等，這時再提出平面向量這一章要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法?！跋蛄渴墙鷶?shù)學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決解析幾何問題的有力工具。向量引入之后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理……，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學和物理學科中具有廣泛的應用?！边@樣的介紹使得學生能夠基本了解今后還要學習向量的哪些內容和方法，并了解學習向量的重要意義，對整章學習具有引領作用?！安坏仁健钡恼乱缘慕虒W要好處理一些，與等式的類比是比較好的辦法?！芭c等量關系一樣，不等量關系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關系，它們在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在……”，“在本章，我們將學習一些不等式的性質，……理解不等式（組），體會不等關系和不等式的意義與價值……通過基本不等式了解不等式的證明，解決一些簡單的最大（小）值的問題;通過不等式與函數(shù)、方程的聯(lián)系，提高對數(shù)學各部分之間的聯(lián)系的認識。”這里幾乎沒有什么是會讓學生感到突然的。通過類比引入章引言的還有必修的“圓與方程”。這是因為前一章學習的是“直線與方程”。類似地，我們將“在直角坐標系中建立圓的方程。通過圓的方程，研究直線與圓，圓與圓的位置關系。”，“在直角坐標系中，建立幾何對象的方程，并通過方程研究幾何對象，這是幾何問題的重要方法。”再一次體驗坐標法的思想。即便提出“另外，我們還要學習空間直角坐標系的有關知識?！币膊浑y理解。

（三）借助已有的知識儲備，上好緒論課

解析幾何的起始課，可以給學生介紹坐標法產生的歷史，滲透數(shù)學文化。我國數(shù)學家吳文俊發(fā)明了用機器證明幾何定理的理論，“z+z智能教育平臺”軟件實現(xiàn)了這一方法，可以用計算機來證明幾何定理。計算機是通過什么途徑來證明幾何定理的呢？你知道微積分產生的基礎是什么嗎？這一切都要歸功于一個人，這個人就是法國科學家笛卡爾（descartes，1596-1650）。笛卡爾在1637年發(fā)明了直角坐標系，把幾何中的點M與代數(shù)中的數(shù)對（x，y）建立了─ ─對應關系。當點M在平面上規(guī)則運動形成曲線時，x，y就形成相應的約束關系，這就是方程，這樣，在曲線與方程之間又形成了─ ─對應。于是，我們就可以通過對方程，這個代數(shù)對象的研究來達到研究曲線，這個幾何對象的目的。這就是坐標法的思想。由這個思想創(chuàng)立了一門科學──解析幾何（平面解析幾何、空間解析幾何）。為了紀念這位偉大的數(shù)學家，直角坐標系稱為笛卡爾坐標系。恩格斯對笛卡爾的這一發(fā)明給予高度評價，恩格斯說“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學;有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學;有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”，“本章首先在直角坐標系中，建立直線的方程，然后通過方程，研究直線的有關性質，如平行、垂直、兩條直線的交點、點到直線的距離等?！保敖馕鰩缀问?7世紀法國數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)立的。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學史上的里程碑，數(shù)學從此進入變量數(shù)學時期。解析幾何由此成為近代數(shù)學的基礎之一?！边@些內容可以在學生學習直線與方程之前做一個較為詳細的介紹，利用幾何畫板闡述曲線與方程之間關系的形成過程;借助多媒體展示笛卡爾、費馬的照片，展示解析幾何在科學技術、日常生活中應用的圖片，使學習興趣大大增強。在選修2-1中的“圓錐曲線”一章中，可以介紹圓錐曲線的性質在生活中的應用?！皥A錐曲線與科研、生產以及人類生活有著緊密的關系。早在16、17世紀之交，開普勒就發(fā)現(xiàn)行星繞太陽運行的軌道是一個橢圓;探照燈反射鏡面是拋物線繞其對稱軸旋轉形成的拋物面，發(fā)電廠冷卻塔的外形是雙曲線……為什么圓錐曲線有如此巨大的作用呢？我們可以從它們的幾何特征及其性質中找到答案?！?。與圓錐曲線聯(lián)系還有電影放映機的聚光燈泡的反射鏡面（能夠給學生看到實物更好）、太陽灶、雷達天線、射電望遠鏡等等，它們都是利用圓錐曲線的原理制成的。什么是圓錐曲線呢？用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與圓錐的軸的夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線。我們通常把圓、橢圓、拋物線、統(tǒng)稱為圓錐曲線。再借助多媒體軟件（如flash）的演示，同學們對為什么這些曲線被稱為圓錐曲線就有了大致的了解。這些內容的適時介紹，都會促使同學們懷著對這一章知識渴望的心情進入了學習狀態(tài)，同時也對這一章將要學習什么有了一個大致的了解──雖然還是那樣地朦朧。

（四）由初中內容的螺旋上升，引入章引言

高中數(shù)學所教學的內容有一部分在初中曾經學習過，高中的學習是初中學習的一次螺旋上升，比如必修中的“隨機抽樣”。對于這樣的內容可以在回憶初中內容的基礎上提出高中所要學習的任務就顯得很自然?！拔覀兩钤谝粋€數(shù)字化的時代，時刻都在與數(shù)據(jù)打交道。你知道這些數(shù)據(jù)是怎么來的嗎？實際上它們是通過調查獲得的。怎樣調查呢？是對考察對象進行全面調查嗎？很明顯，這既不可能也沒必要。我們通常只考察總體中的一個樣本，通過樣本來了解總體的情況。進一步，在保證樣本估計總體達到一定精確度的前提下，樣本中包含的個體越少越好。于是，如何設計抽樣的方法，使抽取的樣本能夠真正代表總體，就成為我們要關注的關鍵問題……”，“那么，怎樣從總體中抽取樣本呢？如何表示樣本數(shù)據(jù)呢？如何從樣本數(shù)據(jù)中提取基本信息（樣本分布、樣本數(shù)字特征等），來判斷總體的情況呢？這些正是本章要解決的問題?！闭乱栽趯W生已經了解的有關統(tǒng)計問題知識基礎上，自然提出了本章所要研究的問題，畫出了“導游圖”──科學抽樣──采用科學方法，對樣本分析獲取信息──對總體情況作出判斷──預測，等等。邏輯線路很清楚。與統(tǒng)計一章類似的還有函數(shù)。“在本章，我們將學習集合的一些基本知識，用集合的語言表示數(shù)學對象，并運用集合和對應的語言進一步描述函數(shù)概念，感受建立函數(shù)模型的過程和方法，初步運用函數(shù)思想理解和處理生活、社會中的簡單問題?！边@些話學生也不會感到太陌生，從中可以感受到進一步學習函數(shù)的意義，以及所要學習的大致內容──進一步描述函數(shù)概念──建立函數(shù)模型──運用函數(shù)思想處理問題等等?？梢圆捎眠@種方法的還有必修“解三角形”這樣的章節(jié)。“解三角形”是初中“解直角三角形”的一次螺旋上升。初中就已經學習過銳角三角函數(shù)的簡單應用，研究過與直角三角形有關的測量問題，不可到達地點的距離問題等等。教學中通過一個問題就可以讓學生感覺到“這些問題僅用銳角三角函數(shù)就不夠了”，學習解一般三角形就顯得十分必要──“這些內容的解決需要進一步學習任意三角形邊與角關系的有關知識?！比缓笤侔驯菊滤獙W習的內容作一個簡單的介紹。

（五）介紹數(shù)學史，進行數(shù)學文化的熏陶

在學習“平均變化率”之前，有必要簡單介紹微積分的創(chuàng)立過程。因為“平均變化率”概念主要是研究變速運動的瞬時速度──變化率而產生的。促使微積分產生的因素主要有四種類型的問題：第一類問題是，已知物體移動的距離表示為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度和加速度;反過來，已知物體的加速度表示為時間的函數(shù)，求速度和距離。困難在于，17世紀時，所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。計算瞬時速度就不能像勻速運動時計算平均速度那樣，用物體移動的距離去除以運動的時間;同樣，反過來，也不能用物體運動的時間乘任意時刻的速度來求得物體移動的距離。第二類問題是求曲線的切線。光學是17世紀的一項較重要的科學研究，其中重要的是，光線同曲線的法線間的夾角問題。而法線與切線垂直，因此，問題在于求出法線或者切線。涉及切線的，還有運動物體在它的軌跡上任一處的運動方向是軌跡在該點的切線方向。研究“兩條曲線相交的角度”問題也需要研究切線。而只對圓錐曲線適用的，把切線定義為“和曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線”已經不夠了。從一般意義上重新討論曲線的切線問題由法國數(shù)學家羅貝瓦爾（roberval）提出。他認為，“曲線是由運動的點生成的”，“是一個動點在兩個速度作用下運動的軌跡”，“把切線定義為合速度方向的直線”，這樣就“把純幾何與物理聯(lián)系起來了”。其他兩類問題是求函數(shù)的最大、最小值問題，以及求曲線長的問題?？茖W家們在如何求出曲線上某一點處的切線這個問題上想了許多辦法。費馬（fermat）的辦法是“求該點的次切線”。他考慮，要求出曲線在點A處的切線，先考慮與A鄰近的一點B，并暫時認為這一點也在曲線上。費馬采用了“與求函數(shù)的極大、極小值類似的方法”，他的方法“完全依賴于深奧極限理論”。由此可見，微積分的創(chuàng)立主要是由研究變速運動而產生的，是由研究曲線在某點處的切線而產生的。定義平均變化率是為了定義變化率。還必須特別注意的是，科學家們在研究解決這些問題時，運用了一些十分重要的數(shù)學思想，“包含了運動，變化和無限”。把一點的問題轉化這點附近的問題來研究，靜態(tài)的問題的動態(tài)研究，“以直代曲”，以及無限逼近的（極限）思想。以上內容的介紹展現(xiàn)了微積分發(fā)展的歷程，對提高學習興趣，進入平均變化率、導數(shù)的學習都有很好的激勵作用。也對今后利用導數(shù)要研究哪些問題有了一個基本的了解。尤其是滲透了一些重要的數(shù)學思想。使得“學生通過數(shù)學文化的學習，了解人類社會發(fā)展與數(shù)學發(fā)展的相互作用，認識數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律;了解人類從數(shù)學的角度認識客觀世界的過程;發(fā)展求知、求實、勇于探索的情感和態(tài)度;體會數(shù)學的系統(tǒng)性、嚴密性、應用的廣泛性，了解數(shù)學真理的相對性;提高學習數(shù)學的興趣?！?/p>

三、結束語

本文僅僅對章頭圖和引言的教學提出了一些拋磚引玉的見解，主要目的是希望引起同行們的重視。只要大家重視起來，并認真加以研究，相信解決問題的辦法一定更多、更好。