高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)及在解題中的應(yīng)用探析

賴春葵

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐曲線作為平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是非常重要的章節(jié)，但是考慮到其中部分內(nèi)容相對(duì)較難，導(dǎo)致很多學(xué)生失去了學(xué)習(xí)興趣，甚至產(chǎn)生了畏懼感.因此，本文針對(duì)高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)進(jìn)行了具體分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；圓錐曲線；定義；解題

由于高中數(shù)學(xué)當(dāng)中的圓錐曲線題目具備較強(qiáng)的靈活性，并且還會(huì)將多種知識(shí)運(yùn)用到解題之中，并且也是歷年以來高考數(shù)學(xué)的壓軸題，解答難度較大，并且得分偏低.所以，作為教師就應(yīng)該注意到教學(xué)的有效性.

一、創(chuàng)設(shè)情境，提升圓錐曲線教學(xué)趣味

開展圓錐曲線教學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很難在學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)中融入圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程.如果能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的情景，就能夠提升學(xué)生對(duì)于圓錐曲線知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣.

比如，在教學(xué)過程中，對(duì)于“橢圓曲線的定義”就可以設(shè)置一個(gè)簡(jiǎn)單的探究性活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)出情境：事先準(zhǔn)備一根細(xì)繩，然后將其兩端固定在同一個(gè)點(diǎn)上，讓學(xué)生套上鉛筆，將繩子拉緊，然后移動(dòng)筆尖，看看移動(dòng)結(jié)束后畫出來的是怎樣的軌跡，然后再將細(xì)繩的兩端在兩個(gè)不同的點(diǎn)進(jìn)行固定，將鉛筆套上，將繩子拉緊后移動(dòng)筆尖，看看移動(dòng)之后的軌跡.這樣的活動(dòng)雖然很簡(jiǎn)單，但是具備一定的可操作性，通過這樣的引入，學(xué)生也可以初步地認(rèn)識(shí)到橢圓，同時(shí)，對(duì)于學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣也有一定的幫助.

二、重視綜合能力，努力為學(xué)生“減負(fù)”

在高考當(dāng)中，圓錐曲線所涉及的考題基本上都屬于綜合類，其中包含了方程、代數(shù)、幾何等多個(gè)方面的知識(shí).所以，在解決這一類型問題的時(shí)候，就應(yīng)該讓學(xué)生嘗試著將問題簡(jiǎn)單化，將問題細(xì)細(xì)劃分之后，再進(jìn)行綜合性的考慮，這樣的解決問題能夠?qū)τ趯W(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線有很大的幫助作用.

1.化繁為簡(jiǎn)

凡事都擁有兩面性，就算是復(fù)雜的問題也是由多個(gè)簡(jiǎn)單的問題共同組成的.所以，在較難的問題解決中，就可以多個(gè)角度綜合考慮，去發(fā)現(xiàn)問題的解決之點(diǎn)，避開“硬碰硬”.以下，通過實(shí)際的案例進(jìn)行了具體的解答說明.

比如：在橢圓9a2+16b2=144上有A，B兩點(diǎn)，O為橢圓的中心，求點(diǎn)O到弦AB的距離.

分析 這里，需要掌握A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如果直接求證，無論是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)還是說利用A，B兩點(diǎn)，都會(huì)變得非常復(fù)雜.所以，就可以從側(cè)面考慮，避過正面，通過直線OA或者是OB方程與橢圓方程之間聯(lián)立，就可以將A或者B的坐標(biāo)直接求出來.

2.將陌生變?yōu)槭煜?/p>

絕大部分學(xué)生都會(huì)有一種感覺：對(duì)于老師已經(jīng)講過的題目，其實(shí)自己已經(jīng)會(huì)做了或者是覺得在老師講解之后，自己就可以做，但是一旦遇到了新的題目，就會(huì)出現(xiàn)手足無措的感覺.每一個(gè)題型，都需要僅僅圍繞一個(gè)中心點(diǎn)，也就是所謂的萬變不離其宗.所以，在遇到新題型或者是陌生的題型，首先自己不能夠慌，要嘗試著將陌生的題型轉(zhuǎn)變成為熟悉的題型，然后逐步去解決，這樣就能夠很好地完成老師規(guī)定的任務(wù).

三、滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生完善解題思路

解析幾何在幾何問題解決中是利用代數(shù)的方法，這是最典型的數(shù)形結(jié)合.所以，讓學(xué)生擁有良好的數(shù)形結(jié)合思想，就可以妥當(dāng)?shù)亟鉀Q圓錐曲線的問題.在平時(shí)的教學(xué)中，教師要懂得不斷地向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生完善幾何問題的解析思路.

第一，在解決圓錐曲線問題時(shí)，要讓學(xué)生腦海中時(shí)刻有圓錐曲線圖形的浮現(xiàn)，比如：曲線的焦點(diǎn)位置、拋物線開口的注意等，并且根據(jù)焦點(diǎn)位置以及開口的實(shí)際方向，就可以將直線同雙曲線抑或是拋物線的位置最終判斷出來，同時(shí)在思考中也可以結(jié)合具體的圖形，不僅避開了煩瑣的運(yùn)算，同時(shí)也可以快速、準(zhǔn)確地作出特殊情況的判斷.

第二，在幾何問題解題時(shí)，最主要的一點(diǎn)內(nèi)容是動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求證.在這一類型的問題解決過程中，就需要利用曲線、幾何等等方面的綜合知識(shí)，其本質(zhì)就是將圖形化成代數(shù)、將曲線化成方程，以此來了解曲線的性質(zhì).在動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求證中，最常用的方式有：定義法、幾何法、直接法以及參數(shù)法等，但是在軌跡方程求證的步驟中包含了：直角坐標(biāo)系的建立，設(shè)置出坐標(biāo)點(diǎn)，將方程式列出，進(jìn)行化簡(jiǎn)處理，再將點(diǎn)的范圍確定好，這些都是日常教學(xué)中需要注意并且應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練的地方.

比如，已知雙曲線C：2x2-y2=2與點(diǎn)P（1，2）.

（1）過點(diǎn)P作一條直線l，確定l斜率的取值范圍，使得C與l之間分別存在一個(gè)、兩個(gè)以及沒有交點(diǎn).（2）如果存在Q（1，1），嘗試著判斷以Q為中心點(diǎn)的弦是否存在.

圖 1

本題命題的目的在于：第一個(gè)提問是為了考查雙曲線與直線之間相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，歸結(jié)于方程組的解答；第二個(gè)問題主要是對(duì)圓錐曲線與直線問題的第二種方法——“差分法”進(jìn)行處理.

考查知識(shí)點(diǎn)：在二次方程根當(dāng)中對(duì)于根的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷，兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

易錯(cuò)分析：在第一個(gè)提問當(dāng)中，容易忽略二次項(xiàng)系數(shù)的討論；在第二個(gè)提問當(dāng)中，算得Q為中心點(diǎn)的弦的斜率為2，那么就認(rèn)定直線是存在的.

方法與技巧：在面對(duì)弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題的時(shí)候，常常是利用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在的直線斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)相互地聯(lián)系起來，就可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化.

延伸練習(xí)：雙曲線x2a2-y2b2=1上有一個(gè)點(diǎn)P，F(xiàn)作為一個(gè)焦點(diǎn)，那么將PF作為直徑的圓同x2+y2=a2的位置是（ ）.

A.內(nèi)切 B.內(nèi)切或者外切

C.外切D.相離或者相交

四、高中數(shù)學(xué)解題中圓錐曲線定義的應(yīng)用

1.利用定義來進(jìn)行求證

在高考當(dāng)中最常見的題目是：在題目的求證當(dāng)中，常常會(huì)遇到通過第二定義的應(yīng)用來證明拋物線焦點(diǎn)弦作為直徑的圓與準(zhǔn)線相切抑或是與相應(yīng)的準(zhǔn)線相離、將雙曲線焦點(diǎn)弦作為直徑與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交等等題型.

2.利用定義來求軌跡

在解題當(dāng)中，圓錐曲線定義使用最為平凡，也是最典型的求軌跡的方式之一.比如：已知定圓O1和O2，其半徑分別為a，b，并且，有動(dòng)圓M內(nèi)切于O1，外切于O2，通過適當(dāng)坐標(biāo)系的建立，試著將M 的軌跡方程求出來，并且對(duì)于軌跡屬于何種曲線加以說明.

對(duì)于這一類型題目的解決很明顯會(huì)應(yīng)用到圓錐曲線的定義，在解決的過程當(dāng)中也不會(huì)很復(fù)雜，主要是利用O1O2的中心點(diǎn)O當(dāng)作原點(diǎn)，以O(shè)1O2所在的直線為x軸建立平面坐標(biāo)系，這樣就可以得到O1，O2的坐標(biāo)，然后將動(dòng)圓的半徑假設(shè)為r，通過動(dòng)圓M內(nèi)切于O1，外切于O2，就可以得到MO1和MO2，最后再利用兩者的關(guān)系，就可以將M點(diǎn)的軌跡求證出來，確定焦點(diǎn)O1，O2，也就是雙曲線的左支（x小于0），根據(jù)半徑之間的關(guān)系，就能夠?qū)④壽E方程得到.

比如：在典型的例題應(yīng)用當(dāng)中，橢圓x2a2+y2b2=1（其中a>b>0）中有兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2（如圖2所示），P為橢圓上任意一點(diǎn)，從焦點(diǎn)引∠F1PF2的外角平分線的垂線，試著求出Q的軌跡.

所以，OQ=12AP=a.

這樣，就可以將Q的軌跡為圓確定出來，這就是最常見的圓錐曲線定義的應(yīng)用題目之一.

五、結(jié) 語

在圓錐曲線的問題解決當(dāng)中，只有快速、準(zhǔn)確地找準(zhǔn)問題所在，能夠熟練地掌握并且運(yùn)用每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及圖形.所以，在高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線教學(xué)當(dāng)中進(jìn)行拓展性的練習(xí)對(duì)于學(xué)生的能力水平提升非常的關(guān)鍵，同時(shí)也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)當(dāng)中不可缺少的重要部分.

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