評析一道高考題的三種解法

胡明亮

高三教學(xué)要重視多題一解和一題多解，研究知識與方法的內(nèi)在聯(lián)系，并從中獲得解題的思路與技能.

2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（課標(biāo)Ⅱ卷）文科第21題：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax+2，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）證明：當(dāng)k<1時，曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點(diǎn).

這是一道高考壓軸題，問題（Ⅰ）解法簡單，在此不贅述.問題（Ⅱ），對于文科學(xué)生還是有一定難度的.現(xiàn)提供三種解法，并分析各自優(yōu)劣，讓同學(xué)們從中去品味不同解法間的差異與聯(lián)系.

解法1 利用局部數(shù)據(jù)特征，進(jìn)行邏輯分析，研究導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)關(guān)系.

解 由（Ⅰ）知，f（x）=x3-3x2+x+2.

設(shè)g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，由題設(shè)知1-k>0.當(dāng)x≤0時，g′（x）=3x2-6x+1-k>0，g（x）單調(diào)遞增，g（-1）=k-1<0，g（0）>0，所以g（x）=0在（-∞，0]有唯一實根.

當(dāng)x>0時，令h（x）=x3-3x2+4，則g（x）=h（x）+（1-k）x>h（x），h′（x）=3x2-6x=3x（x-2），h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，所以g（x）>h（x）≥h（2）=0，所以g（x）=0在（0，+∞）沒有實根.

綜上，g（x）=0在R有唯一實根，即曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點(diǎn).

評析 這是命題人給出的解答，思路巧妙，運(yùn)算量小，步驟少，難點(diǎn)在：為什么要分x的正、負(fù)進(jìn)行討論.此法包含局部拼湊、邏輯分析、合情推理等高端思維形式，對一般學(xué)生來說，思維難度大，不容易想到.

解法2 使用分離字母的方法，把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題.

解 要使曲線y=f（x）與直線y=kx-2只有一個交點(diǎn)，設(shè)g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，則g（x）=0只有一個解.

因為x=0不是它的解，所以可分離字母：

.

與此同時，①的左邊k-1在k<1時為負(fù)，所以y=k-1與y=h（x）僅有一個交點(diǎn).

評析 這是最簡單的解法，分離字母是中學(xué)常用的方法，此法不需分類討論，屬于演繹推理，但包含了函數(shù)與方程的思想，困難會出在三次方程的求解，中學(xué)生不會求解一般的三次方程，能解的只有少部分方程，此外對借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像要求較高.

解法3 用三次函數(shù)模型借助圖像變化研究極值點(diǎn)位置.

解 由解法1，設(shè)g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4，其導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=3x2-6x+1-k=0 ②，Δ=12k+24.

（1）當(dāng)-2

因此g（x）=f（x）-kx+2=x3-3x2+（1-k）x+4=-（x-2）（2x2+x+2）.

又x10，g（x2）>0.

g（x）的單調(diào)性如下表：

g（x）的極大、極小值均為正，由三次函數(shù)圖像（如右圖）知：g（x）與x軸有且僅有一個交點(diǎn).

（2）當(dāng)k≤-2時，②的值為非正，g（x）在R上從-∞單調(diào)遞增至+∞，結(jié)論顯然成立.

綜上得結(jié)論成立.

評析 這是最自然的一種思路，也是中學(xué)反復(fù)訓(xùn)練過的方法，屬于演繹推理，但對字母運(yùn)算要求較高，消去參數(shù)的技巧用到了整體代換思想，此法學(xué)生要非常清楚三次函數(shù)的圖像及各種變化.

人們常說“會就不難”，解題方法無所謂優(yōu)劣，會解就好.在高三備考時，自己對比不同解法，挖拓其中的聯(lián)系，內(nèi)化為對問題本質(zhì)的認(rèn)識，日積月累解題能力會大幅提升.

本文系四川省中小學(xué)教學(xué)名師專項課題“在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中落實‘四基的案例研究”（川教函[2012]901號）的成果之一.