直線與平面垂直、平面與平面垂直的幾何直觀教學(xué)研究

趙曉玲

【摘要】 立體幾何的教學(xué)中，我們往往會(huì)忽視幾何直觀，而強(qiáng)調(diào)其他方面. 幾何直觀是立體幾何最本質(zhì)的優(yōu)勢(shì)，我們要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行幾何直觀的應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng). 本文是針對(duì)直線與平面垂直、平面與平面垂直的幾何直觀方面的教學(xué)研究.

【關(guān)鍵詞】 直線與平面垂直；幾何直觀；平面與平面垂直

在立體幾何的教學(xué)中，我們教給學(xué)生很多方法，比如：把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，運(yùn)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言等等，卻往往忽視立體幾何本身的優(yōu)勢(shì)——幾何直觀. 教學(xué)中，如果我們?cè)谥匾晭缀沃庇^的基礎(chǔ)上，再?gòu)?qiáng)化其他方面的做法，將會(huì)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解.

下面我想談?wù)勎以诒匦?立體幾何部分關(guān)于垂直的教學(xué)及輔導(dǎo)中，指導(dǎo)學(xué)生操作的幾個(gè)觸手可及的幾何直觀對(duì)學(xué)生理解直線與平面垂直的定義和判定定理以及面面垂直所起的作用.

首先談?wù)勅私藺版必修2第二章2.3.1直線和平面垂直的判定這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué). 教參上關(guān)于這節(jié)所設(shè)定的教學(xué)重點(diǎn)是：直觀感知，操作確認(rèn)，概括出直線和平面垂直的定義及判定定理. 課本上關(guān)于直觀感知和操作確認(rèn)方面設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)例，一是通過(guò)旗桿和它的影子的例子來(lái)概括定義，二是通過(guò)折紙來(lái)探究判定定理. 我覺(jué)得這兩個(gè)實(shí)例，學(xué)生不容易操作，理解起來(lái)比較困難. 于是，我自己設(shè)計(jì)了幾個(gè)便于學(xué)生操作和理解的幾何直觀，簡(jiǎn)單易行，說(shuō)出來(lái)和大家共享.

一、關(guān)于直線和平面垂直的定義的理解

建議學(xué)生每人拿出一個(gè)三角板（或一把格尺，只要帶一個(gè)直角的尺子即可），把其中一個(gè)直角邊貼在桌面上，另一個(gè)直角邊豎直立在桌面上，感受到直線（即豎直的直角邊）與平面（桌面所在的平面）垂直，且平面內(nèi)有一條與之垂直的直線（即桌面上的直角邊）. 將該貼在桌面的直角邊繞豎直的直線旋轉(zhuǎn)一周，就知道豎直的直線和桌面上所有過(guò)垂足的直線垂直. 桌面上其他位置的任何一條直線一定會(huì)與過(guò)垂足的某一條直線平行，于是，直線就與桌面上任一直線都垂直了. 經(jīng)過(guò)這樣的操作確認(rèn)，學(xué)生們就真切地感受到如果直線和平面垂直，則該直線就和平面上任一直線都垂直，沒(méi)有一條例外. 因此，可以這么定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直. 通過(guò)這樣的直觀感知和操作確認(rèn)，學(xué)生對(duì)線面垂直的定義的理解就會(huì)較為深刻了.

二、對(duì)直線與平面垂直的判定定理的探究

如果用定義判定直線與平面垂直，需要判定直線與平面內(nèi)任一直線垂直，麻煩，使用起來(lái)很困難，于是，我們就希望被判定的直線的條數(shù)越少越好. 探究：1.如果直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，能判定這條直線和這個(gè)平面垂直嗎？學(xué)生容易回答說(shuō)，不能. 要求舉反例說(shuō)明的時(shí)候，學(xué)生就容易舉平面內(nèi)的一條直線. 進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考，如果直線和平面相交，但不垂直，平面內(nèi)能找到與這條直線垂直的一條直線嗎？如果學(xué)生抽象地去想，那么他們得出正確的結(jié)論很困難. 這時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生用帶直角的尺去操作一下. 有的同學(xué)能找到，按如下操作方式：其一直角邊貼在桌面上當(dāng)直線，另一直角邊與桌面相交但不垂直，這樣學(xué)生就理解了：在平面內(nèi)能找到平面的斜線的垂線. 再讓每名同學(xué)動(dòng)手操作一下體會(huì)體會(huì). 平面內(nèi)存在平面的斜線的垂線，這是學(xué)生對(duì)垂直概念理解的一個(gè)難點(diǎn). 通過(guò)這種操作，能加深學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí). 2.如果直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，能判定這條直線和這個(gè)平面垂直嗎？如果是兩條平行線，不行. 由探究1知，有一條，通過(guò)平行，就會(huì)有兩條，進(jìn)而有無(wú)窮多條. 這樣，也理解了定義中不能把“任一條”換為“無(wú)窮多條”，因?yàn)橛幸粭l，通過(guò)平行，就會(huì)有無(wú)窮多條. 如果是兩條相交直線，行. 設(shè)計(jì)這樣一個(gè)操作：請(qǐng)同學(xué)們隨意拿一本書(shū)，從某頁(yè)翻開(kāi)，立在桌面上. 由于每頁(yè)都是矩形，書(shū)脊所在的直線垂直于桌面上的兩條相交直線，書(shū)脊所在的直線就和桌面垂直. 學(xué)生能直觀感知書(shū)脊所在的直線與桌面上的兩條相交直線垂直，就與桌面垂直. 如何理解呢？如果把打開(kāi)的兩頁(yè)書(shū)在桌面上繞書(shū)脊旋轉(zhuǎn)一周，就會(huì)導(dǎo)出和任一條直線垂直了，從而用定義可以解釋了. 關(guān)于此定理的嚴(yán)格證明，課本不要求，以后可以用空間向量來(lái)證.

在輔導(dǎo)答疑時(shí)，學(xué)生對(duì)有些問(wèn)題想不明白的時(shí)候，我也時(shí)常設(shè)計(jì)一些觸手可及的幾何直觀幫助他們來(lái)理解相關(guān)的問(wèn)題. 比如學(xué)生問(wèn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是 （ ）.

A. 相等 B. 互補(bǔ) C. 相等或互補(bǔ) D. 不一定

此題抽象地思考不容易得到解答，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)幾何直觀：在教室內(nèi)很容易找到三個(gè)互相垂直的墻面，其中一個(gè)墻面是窗戶所在的平面，一個(gè)是地面，一個(gè)是黑板所在的平面. 取地面和黑板所在的平面形成一個(gè)二面角1，打開(kāi)窗戶，窗戶和它所在的墻面形成一個(gè)二面角2，這樣兩個(gè)二面角符合題目條件：一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，二面角1的大小是90°，二面角2的大小隨著窗戶的開(kāi)合，大小是不同的，可能互補(bǔ)，可能相等，也可能既不互補(bǔ)也不相等，因此選D.這個(gè)幾何直觀把窗戶所在的平面換成門(mén)所在的平面也可以. 通過(guò)這個(gè)幾何直觀，學(xué)生理解起來(lái)就容易多了.

幾何直觀是立體幾何最本質(zhì)的優(yōu)勢(shì)，在教學(xué)和輔導(dǎo)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從他們的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把幾何圖形與所學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，使他們充分利用觸手可及的幾何直觀，有效地發(fā)展他們的空間觀念，從而形成應(yīng)用意識(shí)，加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解. 學(xué)生手中的筆和尺，教室中的墻面、地面、桌面等都可以作為立體幾何的幾何直觀.

【參考文獻(xiàn)】

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)A版《數(shù)學(xué)》必修2《 教師教學(xué)用書(shū)》[M].北京：人民教育出版社.