相似三角形在平面幾何中有關(guān)線段間關(guān)系的運(yùn)用

黃建國(guó)

摘 ? 要 ：相似三角形是平面幾何中的基本圖形之一，也是初中教學(xué)中的重點(diǎn)之一。它在解決平面幾何的許多問(wèn)題，如某些定理的證明，兩直線的位置關(guān)系，特別是有關(guān)線段的比例，乘積及和差倍分等都起著“過(guò)河搭橋”的作用。

關(guān)鍵詞 ：相似三角形;線段運(yùn)用;輔助線;線段成比例

相似三角形在平面幾何的教學(xué)中，能否牢固地掌握相似三角形的判定定理及有關(guān)性質(zhì)并靈活地應(yīng)用，是解決平面幾何問(wèn)題的關(guān)鍵之一，也是初中學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的途徑之一?，F(xiàn)將談?wù)勏嗨迫切卧谄矫鎺缀沃杏嘘P(guān)線段間關(guān)系的運(yùn)用。

1 ? 證明兩線段相等

證明線段相等的方法較多，常用的方法是根據(jù)全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)等等，但是利用相似三角形→比例線段→線段相等，也是一條便捷的解題思路，它有時(shí)會(huì)解決利用全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)無(wú)法解決或難解決的問(wèn)題。

例1 ? 如圖1：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線交CD、CB于P、E，PF∥AB交BC于F，求證：CE=BF。

證明：∵AE是∠BAC的平分線，

∴∠CAE=∠B AE，

又∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠PDA=∠ACE=90°

則△PDA ∽△ECA。

得= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

又由PF∥AB得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

由①、②得= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③

同是，由角平分線性質(zhì)得= ? ④

又∵∠CDA=∠BCA=90°，∠CAD=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB.

∴= ? ⑤

由③、④、⑤得=，故CE=BF。

2 ? 證明線段成比例

比例式的線段是平面幾何常見(jiàn)類型題，它有一種變形（ad=bc）和一種特例（a2=bc），利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)證明四條線段成比例是常用的方法。下面舉例說(shuō)明用這種方法證題的思路。

2.1 ? 當(dāng)所證的比例式中的線段分別是兩個(gè)三角形的兩邊時(shí)，首先考慮證這兩個(gè)三角形相似。

例2 ? 已知：如圖2△ABC內(nèi)接于圓O，∠A的平分線交BC于D，⊙O于E。

求證：=

分析： =

AD·AE=AC·AB

可證：△ADC∽△AEB.

證明：連結(jié)BE，∠1=∠2，∠C=∠E，

∴△ADC∽△AEB，∴=。

2.2 ? 當(dāng)所證比例式中的四條線段分別是兩個(gè)三角形的兩邊，但這兩個(gè)三角形不相似時(shí)，應(yīng)考慮添輔助線造成相似三角形，先使其中三條線段在兩個(gè)相似三角形中，然后再把另一條線段等量代換，從而證明求證的比例式成立。

例3 ? 如圖3，AM為△AB C的∠A的平分線，過(guò)A作一圓與BC相切于M點(diǎn)，并且與AB、AC分別交于E、F，求證：=

分析：如圖3，雖然BE、BM和CF、CM是△BEM和△CFM的邊，但這兩個(gè)三角形在一般情況下不相似。（只有O點(diǎn)在AM上，△BEM≌△CFM），所以，考慮連結(jié)EM、FM，則△BEM∽△BMA，△CFM∽△CMA，則有=，=又由角平分線性質(zhì)=，得=。

證明： ?（略）

2.3 ? 當(dāng)所證比例式中的四條線段不是兩個(gè)三角形的兩邊時(shí)，應(yīng)通過(guò)作輔助線（一般是作平行線），構(gòu)成相似三角形。

例4 ? 如圖4，BD=CE，求證：AC·EF=AB·DF。

分析：因?yàn)樗C等式中的四條線段不同在兩個(gè)三角形中，所以考慮作DG∥AC，這樣可使四條線段都分別在兩對(duì)相似三角形中。

證明：過(guò)D作DG∥AC，交B C于G，

∵DG∥AC，

∴△FEC∽△FDG，得= ? ①

∴△BDG∽△BAC，得= ②

又∵CE=BD， ? ? ③

由①、②、③得=，故AC·EF=AB·DF。

2.4 ? 當(dāng)四條線段在同一直線上時(shí)，可通過(guò)等量代換，使其中一條轉(zhuǎn)移，以造成兩個(gè)三角形，再證這兩個(gè)三角形相似。

例5 ? 如圖5，AD為△ABC（AB>AC）的角平分線，AD的垂直平分線和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求證DE2=BE·CE。

分析：這個(gè)題目要證明DE2=BE·CE，由于B、C、D、E四點(diǎn)在一條直線上，所以不能直接通過(guò)證明兩個(gè)三角形相似而證出。但EF是AD的垂直平分線為本題的已知條件，若連結(jié)AE，則DE=AE，即AE與DE為相等的線段。將AE代換DE2 =BE·CE中的DE，有AE2=BE·CE。這樣只要證出△ACE與△B AE相似，就可證得AE：BE=CE：AE，即得證：AE2=BE·CE。

證明：如圖5：連結(jié)AE，

∵EF是AD的垂直平分線，

∴EA=ED ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

∵∠2+∠3=∠4，

又∵∠4=∠l+∠B（三角形外角定理），

∠1=∠2，

∴∠3=∠B.

在△ACE和△ABE中，

∵∠3=∠B，∠AEC=∠BEA，

則△ACE∽△BAE。

∵= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

由①②得DE2=BE·CE.

在這個(gè)例題中，與DE相等的線段是AE，用AE代換DE后，便能順利地找出證法。從上例與數(shù)學(xué)實(shí)踐中得出：應(yīng)用等線代換這一方法證明比例式時(shí)，以找a2=bc中的a的等線為最好。

3 ? 證明線段的倍分關(guān)系

利用相似三角形證明線段的倍分關(guān)系，通常將兩線段置于兩個(gè)相似三角形中，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，然后用等量代換證明。

例6 ? 已知：如圖6，AB和CD是⊙O互相垂直的兩條直徑，G為的中點(diǎn)，連結(jié)AG交CD于E，交BC于F，求證：OE=BF。

分析：由結(jié)論OE=BF，即=，又O是圓心，是直徑AB的中點(diǎn)，由此可考慮利用中位線的定理把結(jié)論與條件聯(lián)系起來(lái)。由于AB是直徑，則∠AGB=90°，因此，過(guò)O作OM⊥AG交AG于M，OM=BG，而OE與BF分別是Rt△OEM和Rt△BFG的對(duì)應(yīng)邊，現(xiàn)只需證明這兩個(gè)直角三角形相似。

證明：連結(jié)BG，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AG于M，

∵AB為直徑， ? ?∴∠BGA=90°，

∴OM∥BG、AO=OB，

∴==

又∵G為的中點(diǎn)，且AB⊥CD，

∴∠CBG=∠A=∠EOM，

且∠BGF=∠EMO=90°。

∴Rt△OEM∽R(shí)t△BFG。

∴==，得OE=BF。

誠(chéng)然，相似三角形在線段間應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，它還可用于解決一些線段的平方或積的和差、幾何不等式、兩角相等以及面積比等問(wèn)題，這里不一一贅述。

總之，以上只是簡(jiǎn)單地介紹相似三角形在平面幾何中有關(guān)線段間關(guān)系的運(yùn)用，旨在使學(xué)生熟悉相似三角形運(yùn)用的基礎(chǔ)上，逐步掌握利用它來(lái)解題的基本思路和方法?？梢约由顚W(xué)生對(duì)直線形、圓形中有關(guān)線段間關(guān)系問(wèn)題的相關(guān)性質(zhì)認(rèn)識(shí)和理解，提高學(xué)生的解題能力。

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