新課標(biāo)下高等數(shù)學(xué)常用構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

李明玥　趙雪

【摘要】用高等數(shù)學(xué)中常用的構(gòu)造性思維法解數(shù)學(xué)題，是較為有效的一種方法，也是一種富有創(chuàng)造性的方法，因為構(gòu)造法在猜想、抽象、概括、歸納、類比等重要的數(shù)學(xué)方法中都有體現(xiàn).新課標(biāo)下，不少數(shù)學(xué)題，特別是高考綜合題和中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題，都可以用構(gòu)造性思維方法通過重新組合成一種新的關(guān)系來解決.步驟簡明，富有新意，能刺激數(shù)學(xué)愛好者更大的興趣.基于此，研究構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是很有必要的.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法； 解題； 數(shù)學(xué)教學(xué)； 構(gòu)造思維

在新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師們需用適當(dāng)題量，來訓(xùn)練學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的能力，引導(dǎo)學(xué)生，通過對一類問題的性質(zhì)的分析，同時對其他類型的問題加以研究.構(gòu)造法是解各類數(shù)學(xué)題常用而且十分重要的方法之一，它的實質(zhì)就是通過觀察，深入的分析問題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，綜合運用數(shù)學(xué)知識，以已知條件為先導(dǎo)，以相關(guān)的知識為輔助，以所求的結(jié)論為方向，通過細(xì)致的分析，豐富的聯(lián)想，靈巧的構(gòu)思，創(chuàng)造性地構(gòu)造一個與原命題密切相關(guān)的“數(shù)學(xué)模型”，實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化，從而把原問題轉(zhuǎn)化為比較簡單或易于求解的新問題.

一、構(gòu)造方程（組）

在數(shù)學(xué)解題中，利用方程的根的概念、求根公式、根判別式、根與系數(shù)之間的關(guān)系等有關(guān)方程的理論，使問題中的隱含關(guān)系明朗化，從而簡捷迅速地使問題獲解.

例1 求證x2+1x2≥2，其中x≠0.

證明： 設(shè)a=x2+1x2，

∵x2×1x2=1，∴x2，1x2是方程t2-at+1=0的兩個根.

∴Δ=a2-4≥0，即（a+2）（a-2）≥0，

顯然a>0，∴a+2>0，a-2≥0，∴a≥20.

即x2+1x2≥2.

特別注意： 此題中，我們可以觀察到隱含的關(guān)系： x2×1x2=1，結(jié)合欲證不等式的左端，不難考慮到構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式來證明.

二、構(gòu)造函數(shù)

1.可根據(jù)其形式特征、目標(biāo)要求，構(gòu)造一個或若干個基本函數(shù).通過對這些基本函數(shù)的研究分析，達(dá)到解決原命題的目的.

例2 求證：（x+y）（y+z）（z+x）+xyz能被x+y+z整除.

分析 構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的概念、奇偶性、余式定理，解決數(shù)的屬性、整數(shù)的整除性、整式的整除性等問題.

證明： 構(gòu)造函數(shù) y=（x+y）（y+z）（z+x）+xyz.

當(dāng)x=-（y+z）時，f[-（y+z）]=

-（y+z）+y

（y+z）z-（y+z）+

[-（y+z）]·y·z=（-z）（y+z）（-y）-yz（y+z）=0.

則函數(shù)f（x）含有因式x+y+z，所以f（x）能被x+y+z整除.

三、構(gòu)造數(shù)列

等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前n項的和所成的數(shù)列是一些最特殊、最基本的數(shù)列.它們的通項公式用演繹法套公式解決.對于其他類型的數(shù)列，構(gòu)造法求通項公式是一種重要的方法，即構(gòu)造一個與原數(shù)列相關(guān)的新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為具有特殊性質(zhì)的數(shù)列.從而找到解題的新方案.

通過觀察并有限次的構(gòu)造性試驗； 來推測一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.具體我們來看下面例題.

例3 求數(shù)列12+22+32+…+n2的通項公式.

解 構(gòu)造分式12+22+32+…+n21+2+3+…n.

取n=1，2，3，4，5時，其分式的值依次為33，53，73，93，113.

我們通過對這有限的前五項的觀察可知： 各個分?jǐn)?shù)的分母都是常數(shù)3，分?jǐn)?shù)的分子組成了一個3為首項，以2為公差的等差數(shù)列.于是我們可以順理成章地推測它的第n項是3+n-1×23=2n+13.

所以12+22+32+…+n2=

2n+13×1+2+3+…+n=16nn+12n+1

用數(shù)學(xué)歸納法可以證明結(jié)論的正確，步驟略.

四、構(gòu)造圖形構(gòu)造圖形，則是將抽象、復(fù)雜的問題簡單化、具體化的最有效途徑. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)圖法解題意識，讓學(xué)生把握數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會靈活轉(zhuǎn)化.構(gòu)造平面圖形

例4 設(shè)f（x）=1+x2，a、b∈R+且a≠b.求證： fa-fb證明： 由題意，fa=1+a2，fb=1+b2構(gòu)造Rt△ABC如圖D為直角邊BC上任意一點，設(shè)AB=1，DB=b，BC=a，則AD=1+b2，AC=1+a2.

在△ACD中有AC-AD