創(chuàng)新函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的解題方法

☉江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高二（302）班 江山

創(chuàng)新函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的解題方法

☉江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高二（302）班 江山

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是函數(shù)的兩個(gè)主要性質(zhì)，以單調(diào)性和奇偶性為背景的命題可謂繽紛多彩，筆者所在學(xué)校期中考試過(guò)程中以下面兩道題作為該次檢測(cè)的客觀壓軸題，但在隨后的試卷評(píng)講課上，同學(xué)們做出正確結(jié)果的比例并不高，尤其是很多同學(xué)放棄了函數(shù)基本性質(zhì)所蘊(yùn)含的方法，而是一味地追尋偏法、怪法.筆者在此將利用函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性，對(duì)該題及與之類似的題目做一個(gè)統(tǒng)一的解答，呈現(xiàn)于此，供讀者參考.

構(gòu)造方程f（t）=t3+2013t+1，因?yàn)閒′（t）=3t2+2013＞0在（-∞，+∞）恒成立，所以f（t）在（-∞，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，所以方程f（t）=0只有唯一解，即x-1=1-y，所以有x+y=2.

下面筆者將利用上述函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性來(lái)解決一類常遇到的問(wèn)題.

筆者的同學(xué)采用的方法主要有：估計(jì)零點(diǎn)范圍；變換同解方程；構(gòu)造形似等式及對(duì)稱法.這些方法解決此題都沒(méi)問(wèn)題，但不能推廣到其他類型題上，筆者借助函數(shù)的單調(diào)性給出如下解法.

解析：2a=x3+sinx=（-2y）3-sin（-2y），令f（t）=t3+sint，

例2若實(shí)數(shù)x1滿足方程2x+2x=5，實(shí)數(shù)x2滿足方程2log2（x-1）+2x=5，則x1+x2=________.

解析：由題意可得，x2是2log2（x-1）+2x=5的實(shí)根，所以2log2（x2-1）+2x2=5，變形為+1，再變形因?yàn)閤1滿足方程2x+2x= 5，所以2設(shè)函數(shù)f（x）=2x+x，則易知f（x）為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，可

對(duì)于這種類型的題目也可以借助函數(shù)的性質(zhì)——換元對(duì)稱來(lái)解決，下面筆者以例2談?wù)勛约旱囊粋€(gè)解法.

運(yùn)用換元對(duì)稱視角求解此題，實(shí)際上是想借助數(shù)形結(jié)合解決此類型題，而在采用數(shù)形結(jié)合時(shí)畫(huà)出圖像并理解圖像至關(guān)重要，這就需要我們高中生平時(shí)多留意函數(shù)的一些常見(jiàn)性質(zhì).

下面筆者利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖像能直觀地研究圖像的交點(diǎn)，假若能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，這類問(wèn)題便可以輕松獲解.

分析：利用性質(zhì)，若函數(shù)y=（fx）是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)y=（fx）與它的反函數(shù)圖像的交點(diǎn)必在直線y=x上.

函數(shù)的性質(zhì)有很多，筆者作為一名高中生希望借助函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性的應(yīng)用，去解決一些雙變量方程解的問(wèn)題及單變量方程解的問(wèn)題.當(dāng)然函數(shù)的單調(diào)性還有很多用途，在此不一一列舉.A