高中數(shù)學(xué)人教A版和北師大版教科書(shū)比較分析
——以“數(shù)列”一章為例

☉甘肅省西和縣第一中學(xué) 董強(qiáng)

高中數(shù)學(xué)人教A版和北師大版教科書(shū)比較分析
——以“數(shù)列”一章為例

☉甘肅省西和縣第一中學(xué) 董強(qiáng)

新課改下的高中數(shù)學(xué)出現(xiàn)了多個(gè)版本，不同的版本在教科書(shū)的編寫過(guò)程中有著不同的側(cè)重點(diǎn)，文章以必修系列中的“數(shù)列”一章作為實(shí)例，將人教A版和北師大版教科書(shū)做了不同層面的比較分析，以求對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一定的借鑒作用.

一、總體比較分析

人教A版教科書(shū)“數(shù)列”一章分布在必修5第二章，是高二上學(xué)期學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，從編排體系上可以看出，本章內(nèi)容布局清晰合理，首先是大的目標(biāo)數(shù)列總序，接著是從兩類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列和等比數(shù)列入手，詳細(xì)研究了數(shù)列及其相關(guān)性質(zhì)，并聯(lián)系生活實(shí)際，說(shuō)明了數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用.全章共5節(jié)，2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法，2.2等差數(shù)列，2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，2.4等比數(shù)列，2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后是小結(jié)和復(fù)習(xí)參考題.這5節(jié)內(nèi)容體現(xiàn)了由整體到個(gè)別、由一般到特殊的研究思路，是“先總觀整片森林，再研究具體樹(shù)木”的典型，是先有整體影響，再有細(xì)微研究之范式，從整體到局部的設(shè)計(jì)，能更貼近學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.等比數(shù)列的學(xué)習(xí)又體現(xiàn)了和等差數(shù)列類比學(xué)習(xí)的過(guò)程，從對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的研究中總結(jié)思路和方法，進(jìn)而上升到對(duì)數(shù)列整體的把握和學(xué)習(xí).其中，在2.1節(jié)結(jié)束后有一節(jié)閱讀與思考，介紹了斐波那契數(shù)列，之后有一節(jié)信息技術(shù)的應(yīng)用，介紹了估計(jì)的值的辦法，這些常見(jiàn)的而重要的生活場(chǎng)景都與數(shù)列息息相關(guān)，從而為等差數(shù)列和等比數(shù)列的學(xué)習(xí)埋下了伏筆.在章結(jié)束的時(shí)候又有一節(jié)閱讀與思考，介紹了一種有趣的古老游戲九連環(huán)，再次引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的熱情，接著是一節(jié)探究與發(fā)現(xiàn)，介紹了購(gòu)房中的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)到生活中數(shù)學(xué)的重要性，從而在一定的高度給學(xué)生一種暗示，必須要學(xué)好數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)列知識(shí).

北師大版數(shù)列一章涉及了生活和數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，廣泛而全面，每小節(jié)都是從問(wèn)題的提出開(kāi)始，從生活中幾個(gè)常見(jiàn)的實(shí)例出發(fā)，進(jìn)而抽象概括，形成數(shù)學(xué)中的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列概念，始終堅(jiān)持創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生探索的總思路.依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）要求，結(jié)合現(xiàn)代教育理念，將“問(wèn)題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用”作為課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，按照“明目標(biāo)、創(chuàng)情境、淺入口、設(shè)梯度、多體驗(yàn)、重探索、會(huì)反思”的常規(guī)教學(xué)思路而編寫.《標(biāo)準(zhǔn)》要求探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，這里的探索是指學(xué)生的自主探索，而教師則起一個(gè)指導(dǎo)的作用，這是《標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的新型學(xué)習(xí)方式.本章內(nèi)容的處理恰到好處，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題及思維線路都易于教師激發(fā)學(xué)生去自主探索.

二、《標(biāo)準(zhǔn)》視角下具體比較分析

《標(biāo)準(zhǔn)》明確地提出：“了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)”，這里的特殊函數(shù)其實(shí)是指離散函數(shù)，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)雖然是明確要求的，但學(xué)生對(duì)此是陌生的，直接給出這個(gè)知識(shí)點(diǎn)學(xué)生接受較難，在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的處理上，人教A版在必修1中第1.2.2節(jié)設(shè)置了函數(shù)的表示法，其中一道關(guān)于筆記本的數(shù)量和所需錢數(shù)的例題說(shuō)明了函數(shù)的圖像還可以是一些離散的點(diǎn)，也可以是直線、折線、連續(xù)的曲線等，這為學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)提供了必要的知識(shí)準(zhǔn)備；比較而言，北師大版的教科書(shū)在函數(shù)部分也設(shè)置了一節(jié)2.2函數(shù)的表示法，介紹了函數(shù)表示法的常見(jiàn)形式，但北師大版始終沒(méi)有提到函數(shù)的圖像還可以是離散的點(diǎn)這一事實(shí)，這為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)在一定程度上造成了些許困難.下面的表1詳細(xì)地列舉了《標(biāo)準(zhǔn)》在兩個(gè)版本中的具體體現(xiàn).

表1

（2）探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.人教A版教科書(shū)是通過(guò)等差數(shù)列的概念，運(yùn)用了不完全歸納法歸納出了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)生歸納通項(xiàng)公式的過(guò)程體現(xiàn)了探索精神.對(duì)于前n項(xiàng)和公式的探索過(guò)程，教科書(shū)是通過(guò)小高斯計(jì)算1+2+…+100的趣事引出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)思路，整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了學(xué)生的探索意識(shí).北師大版教科書(shū)首先通過(guò)一道簡(jiǎn)單例題引出了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)思路，并順勢(shì)將思路一般化，而后歸納出了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想.對(duì)于前n項(xiàng)和公式，教科書(shū)通過(guò)圓木料的擺放引出了高斯求和的故事，并順勢(shì)抽象概括出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)思路——倒序相加.（3）通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念.人教A版教科書(shū)是通過(guò)細(xì)胞分裂、莊子篇“一尺之錘”、計(jì)算機(jī)病毒傳播、銀行存款的復(fù)利4個(gè)實(shí)例歸納出等比數(shù)列的概念.北師大版教科書(shū)通過(guò)拉面師拉面、星火化工廠的年產(chǎn)值兩個(gè)實(shí)例抽象概括出了等比數(shù)列的概念.（4）探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.人教A版教科書(shū)是通過(guò)歸納、猜想得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，培養(yǎng)了學(xué)生的探索意識(shí).對(duì)前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是通過(guò)古印度國(guó)王對(duì)國(guó)際象棋的發(fā)明者的獎(jiǎng)賞開(kāi)始的，故事性強(qiáng)，體現(xiàn)了學(xué)生的探索精神.北師大版的教科書(shū)也是通過(guò)歸納、猜想得到了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并對(duì)首項(xiàng)滿足通項(xiàng)公式做了驗(yàn)證說(shuō)明.對(duì)前n項(xiàng)和公式，教科書(shū)是通過(guò)小林和小明的“貸款”故事，引出了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列求和的熱情，同樣體現(xiàn)了學(xué)生的探索精神. 3.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.人教A版教科書(shū)通過(guò)38頁(yè)例2的出租車計(jì)費(fèi)問(wèn)題，使學(xué)生初步感受等差數(shù)列在日常生活中的應(yīng)用；通過(guò)50頁(yè)例1的放射性物質(zhì)的衰變問(wèn)題，讓學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)世界的奧秘；通過(guò)43頁(yè)例1“校校通”工程的總投入，讓學(xué)生了解信息技術(shù)的發(fā)展；通過(guò)56頁(yè)例2某商場(chǎng)計(jì)算機(jī)銷售量問(wèn)題的解決，讓學(xué)生體驗(yàn)在具體問(wèn)題情境中抽象等比數(shù)列模型的過(guò)程.北師大教科書(shū)通過(guò)16頁(yè)例8北京天壇的石板問(wèn)題、17頁(yè)例10植樹(shù)工人所走路程、18頁(yè)例11抗洪第二道防線的構(gòu)筑、24頁(yè)例4中美洲地區(qū)的毀林現(xiàn)象、27頁(yè)例6五洲電扇廠5年總利稅問(wèn)題、28頁(yè)例7熱氣球的上升高度等問(wèn)題都是在具體的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)背景，用數(shù)列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

4.體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列分別與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.人教A版教科書(shū)38頁(yè)例3和39頁(yè)探究就是為了讓學(xué)生體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系；同樣，50頁(yè)探究正是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系.北師大版教科書(shū)在13頁(yè)正文部分集中論述了等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的關(guān)系，并通過(guò)例5直觀地從幾何意義上給以說(shuō)明；教科書(shū)在23頁(yè)思考與交流欄目正式提出“根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分析等比數(shù)列an=a1qn-1（q＞0）的單調(diào)性”，反映了等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系.

由表1容易發(fā)現(xiàn)，人教A版和北師大版兩種不同版本的教科書(shū)在數(shù)列部分的編排上都是遵循《標(biāo)準(zhǔn)》的要求而編寫的，但人教A版在一些方面如數(shù)列概念的引入上例子偏少（僅有一個(gè)），而且不是很貼近日常生活，而北師大版無(wú)論在數(shù)列概念的引入上，還是在數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用上，例子都較多，且比較貼近生活實(shí)際，頗有研究?jī)r(jià)值.關(guān)于《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)數(shù)列部分增加的內(nèi)容，北師大版更加重視突顯其地位和作用，如北師大版教科書(shū)專門設(shè)置了一節(jié)內(nèi)容研究數(shù)列的函數(shù)特性，又專門設(shè)置了一節(jié)內(nèi)容研究數(shù)列在日常生活中的應(yīng)用.

三、細(xì)節(jié)比較分析

1.兩種版本教科書(shū)數(shù)列一章目錄比較

表2

由表2可以看出，人教A版和北師大版教科書(shū)都遵循了《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，安排了數(shù)列中的重點(diǎn)內(nèi)容.人教A版按照《標(biāo)準(zhǔn)》建議的順序，將數(shù)列放在第二章學(xué)習(xí)，注重信息技術(shù)的應(yīng)用，注重開(kāi)闊學(xué)生的眼界，讓學(xué)生了解斐波那契數(shù)列、九連環(huán)等與數(shù)列有關(guān)的知識(shí)，北師大版教科書(shū)將數(shù)列放在第一章，目錄更加清晰，更加關(guān)注數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用，其中第四節(jié)就是專門討論這一方面的.同時(shí)，北師大版教科書(shū)在1.2節(jié)還特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)列的函數(shù)特性，引起學(xué)生的重視，課題學(xué)習(xí)更能引起學(xué)生對(duì)數(shù)列的興趣.

2.作業(yè)系統(tǒng)題量的比較

表3兩種版本教科書(shū)作業(yè)系統(tǒng)題量的比較（單位：道）

從表3可以看出，人教A版教科書(shū)在作業(yè)系統(tǒng)數(shù)量上遠(yuǎn)少于北師大版教科書(shū)，其中練習(xí)題最為突出，少了10道，復(fù)習(xí)題少了7道，而習(xí)題多了4道，總體看，人教A版比北師大版教科書(shū)的作業(yè)量少了13道，一章總題量不足100道，那這13道是很大的數(shù)字，究其原因是北師大版教科書(shū)多了“數(shù)列的函數(shù)特性”、“數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用”兩節(jié)內(nèi)容，可見(jiàn)，北師大版教科書(shū)對(duì)數(shù)列的研究和要求比較高.

3.例題題量的比較

表4兩種版本教科書(shū)例題題量的比較（單位：道）

表4清晰地表明，北師大版教科書(shū)對(duì)數(shù)列內(nèi)容的開(kāi)展比人教A版教科書(shū)要詳細(xì)，幾乎多了三分之一的例題量，這對(duì)數(shù)列學(xué)習(xí)是有益的，但例題中人教A版多有探究性題目，對(duì)學(xué)生課外延伸也是有積極意義的.

4.導(dǎo)入語(yǔ)的比較

人教A版教科書(shū)（如圖1）是從樹(shù)木的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列出發(fā)，引出數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——數(shù)列，說(shuō)明數(shù)列在大自然和日常生活中隨處可見(jiàn)，與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，可見(jiàn)數(shù)列的重要性；北師大版教科書(shū)（如圖2）則是以科學(xué)史上的一個(gè)真實(shí)故事（普魯士天文學(xué)家提丟斯依據(jù)一些記錄的數(shù)據(jù)推導(dǎo)出從太陽(yáng)到行星距離的經(jīng)驗(yàn)定律）作為開(kāi)端，引出數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——數(shù)列，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，體現(xiàn)了數(shù)列的巨大作用.但兩種版本的教科書(shū)都是按照“數(shù)列是什么”、“數(shù)列干什么”、“數(shù)列如何用”三個(gè)維度展開(kāi)內(nèi)容的，均體現(xiàn)了新課程的基本要求.

圖1

圖2

四、結(jié)論

5.結(jié)語(yǔ)的比較

圖3

圖4

圖3和圖4是人教A版教科書(shū)的結(jié)語(yǔ)部分，圖5和圖6是北師大版教科書(shū)的結(jié)語(yǔ)部分，從此容易看出人教A版將“探究與發(fā)現(xiàn)”（生活中的購(gòu)房）欄目放在小結(jié)之前，意味著數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用就有生活中的購(gòu)房一例，相當(dāng)于北師大版教科書(shū)第4節(jié)“數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用”的內(nèi)容，小結(jié)部分通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖清晰地再現(xiàn)了數(shù)列一章的邏輯結(jié)構(gòu)，回顧與思考部分重視數(shù)列知識(shí)與其他知識(shí)的聯(lián)系和數(shù)列知識(shí)在其他領(lǐng)域的推廣應(yīng)用；北師大版教科書(shū)先小結(jié)，小結(jié)之后出現(xiàn)了“教育儲(chǔ)蓄”的課題學(xué)習(xí)，可見(jiàn)，北師大版教科書(shū)將課題研究置于章后，重在突出數(shù)列知識(shí)的延續(xù)性，留給學(xué)生思考和回味的空間.

圖5

總體而言，人教A版教科書(shū)在數(shù)列一章有著豐富而生動(dòng)的章前圖和文字說(shuō)明：“有人說(shuō)，大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”，文字說(shuō)明中進(jìn)一步解釋了樹(shù)木的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子及樹(shù)木的排列等都遵循了一定的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而為學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)起到一個(gè)良好的引導(dǎo)作用，文字說(shuō)明旁邊的圖形刻畫(huà)生動(dòng)地展示了大自然的這幾種圖形.接著，文字說(shuō)明部分提示大自然的這種規(guī)律性與數(shù)列間的關(guān)系.實(shí)際教學(xué)中可以利用章引言對(duì)全章內(nèi)容的把握和總體概括，以及章前圖的圖形刻畫(huà)和文字說(shuō)明的教學(xué)引入，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察圖形及圖形特征，可以安排學(xué)生課前查閱資料進(jìn)行相關(guān)準(zhǔn)備，也可以教師幫助指導(dǎo)解決，教師要注意對(duì)相關(guān)背景資料的理解和把握，要通過(guò)這些資料，使學(xué)生理解大自然的豐富多彩，感受“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”，明確這些圖示和本章要學(xué)習(xí)的數(shù)列內(nèi)容是密切聯(lián)系的.當(dāng)然如果能利用現(xiàn)代教育技術(shù)，形象逼真地向?qū)W生展示生動(dòng)豐富的大自然場(chǎng)景，將可以使學(xué)生感受到即將學(xué)習(xí)的這段內(nèi)容充滿了大自然的奧妙和神奇，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

北師大版的數(shù)學(xué)教科書(shū)在數(shù)列一章突出了函數(shù)的思想，在數(shù)列概念出現(xiàn)之后，對(duì)一個(gè)實(shí)例用兩個(gè)集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系給出明確表達(dá)，這種表達(dá)暗含了函數(shù)關(guān)系；介紹完等差數(shù)列的概念、性質(zhì)之后，明確地從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的單調(diào)性；在等比數(shù)列中，設(shè)立了“思考與交流”，讓學(xué)生根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析等比數(shù)列的單調(diào)性.教材還專門增加了數(shù)列的函數(shù)特性一節(jié)內(nèi)容，既突出學(xué)生對(duì)數(shù)列本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，又有利于加深對(duì)函數(shù)的理解.同時(shí)本節(jié)提出數(shù)列的表示法：解析法、列表法和圖像法，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)數(shù)列的函數(shù)特征.凡此種種，意圖在于突出數(shù)列的本質(zhì)特征.北師大版的教科書(shū)，還突出“雙基”，與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”，本章專門設(shè)了“數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用”一節(jié)，并按《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，提供了帶有研究性學(xué)習(xí)性質(zhì)的課題學(xué)習(xí)案例教育儲(chǔ)蓄.此外，北師大版的教科書(shū)還專門設(shè)置“問(wèn)題提出”和“抽象概括”等欄目，注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).F

圖6