初中生數(shù)學(xué)解題的常見錯(cuò)誤與對(duì)策研究

方偉

摘 要：初中生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，或多或少地會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤有規(guī)律性和共性。文章針對(duì)學(xué)生最常見的知識(shí)性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤、策略性錯(cuò)誤以及心理性錯(cuò)誤四個(gè)方面展開論述，并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的解決策略。

關(guān)鍵詞：初中生；數(shù)學(xué)解題；錯(cuò)誤；對(duì)策

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2015）16-0062-02

在初中生解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)并不是所有的學(xué)生解題的準(zhǔn)確率都很高，甚至不出錯(cuò)誤，相反我們發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生會(huì)常常在解題時(shí)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤。雖然錯(cuò)誤是各種各樣的，但是只要我們教師在糾正這些錯(cuò)誤時(shí)，認(rèn)真研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤有一定的規(guī)律性和共性。當(dāng)教師的要認(rèn)真地對(duì)待學(xué)生的解題錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤問題進(jìn)行合理分析，然后有序地進(jìn)行歸類，從而研究對(duì)策，借用學(xué)生錯(cuò)題來為下一步的教學(xué)做好預(yù)設(shè)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果。

一、知識(shí)性錯(cuò)誤與對(duì)策

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解題時(shí)的知識(shí)性錯(cuò)誤比例相對(duì)比較多，主要是由于以下幾方面問題造成的。（1）數(shù)學(xué)概念模糊、數(shù)學(xué)性質(zhì)不清楚，解題時(shí)胡亂使用概念和性質(zhì)。（2）忽視了在做題時(shí)要注意公式、定理、法則的使用條件，而這些條件往往正是解題的關(guān)鍵所在。（3）沒有注意題目中隱含的條件。（4）解題時(shí)，漏掉了條件或是自己任意胡亂添加一些無關(guān)的條件。針對(duì)這些錯(cuò)誤，教師要以數(shù)學(xué)知識(shí)本身為出發(fā)點(diǎn)，尋找相應(yīng)對(duì)策，幫助學(xué)生克服錯(cuò)誤。

1. 寬容學(xué)生的錯(cuò)誤，讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)改錯(cuò)

當(dāng)學(xué)生解題出現(xiàn)知識(shí)性的錯(cuò)誤時(shí)，教師不能動(dòng)不動(dòng)就批評(píng)、指責(zé)學(xué)生，這樣會(huì)打擊學(xué)生的自信心。教師一定要有一顆寬容的心對(duì)待學(xué)生的解題錯(cuò)誤，并且要有智慧地提取學(xué)生解題中合理的部分，鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生主動(dòng)接受錯(cuò)誤，認(rèn)同教師，然后讓學(xué)生自己提出自己的想法和解題思路，對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行新的改正，對(duì)解題方法進(jìn)行有效調(diào)整。

比如，某次上課，我讓學(xué)生小W做計(jì)算題： -。小W的解題方法如下：-=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8.

毫無疑問，學(xué)生小W的解題是錯(cuò)誤的，有些學(xué)生看到小W的解題后，有意無意地笑了起來，小W同學(xué)顯得很不安。這時(shí)，為了緩解課堂尷尬氣氛，我就面向?qū)W生問那些笑起來的學(xué)生：“那你們認(rèn)為錯(cuò)在哪里呢？”學(xué)生齊聲回答：“小W把知識(shí)搞錯(cuò)了，應(yīng)該是利用分式運(yùn)算解題，他卻把這個(gè)題目當(dāng)作解方程來做了?！毙的數(shù)學(xué)成績(jī)一般，為了讓小W能夠?qū)?shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，激發(fā)小W學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)也為了讓小W少些尷尬，我就巧妙地利用這個(gè)題目來啟示學(xué)生。我說：“小W把概念弄混了，他的解題是有問題的?？墒切同學(xué)也給我們一個(gè)有益的提示，那就是我們能夠采用解方程的方式來做這個(gè)題目嗎？”我拋出這個(gè)題目后，讓學(xué)生分成小組進(jìn)行討論，很快，學(xué)生自己就形成了下面的解法。設(shè)-=A，去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2） ，解得：A==. 學(xué)生解題時(shí)，犯錯(cuò)誤不要緊，很多時(shí)候這些錯(cuò)誤正是教師可以用來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的最好機(jī)會(huì)。首先，要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，然后把錯(cuò)誤的答案和解題過程與正確的進(jìn)行對(duì)比研究。其次，教師要積極利用學(xué)生錯(cuò)誤解題中的有效與合理的成分進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生查錯(cuò)、談錯(cuò)、析錯(cuò)、評(píng)錯(cuò)、改錯(cuò)。鼓勵(lì)學(xué)生合作學(xué)習(xí)，接近成功。再次，數(shù)學(xué)課堂上，教師要善于利用學(xué)生的錯(cuò)誤，尋根溯源，化錯(cuò)誤為有效的教學(xué)資源，使教學(xué)得到延伸與拓展，引導(dǎo)學(xué)生一步一步得出新的結(jié)論和新的解題思路與方法。

2. 暴露錯(cuò)誤過程，讓學(xué)生弄清錯(cuò)誤根源

當(dāng)學(xué)生解題后出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師有時(shí)候應(yīng)該直接地告訴學(xué)生錯(cuò)在哪里。但是不能直接地把正確的解題思路與方法寫給學(xué)生看，而是讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、去解決問題，鍛煉學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手練習(xí)的好習(xí)慣。只有當(dāng)學(xué)生親自操作了，他們才能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的概念、原理以及公理有深刻的理解。

比如：我叫兩個(gè)學(xué)生上黑板證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這個(gè)命題。這兩個(gè)學(xué)生都能準(zhǔn)確地畫出圖形，寫出解題已知與求證：在△ABC中，∠B=∠C. 求證：AB=AC. 這兩個(gè)學(xué)生都對(duì)圖形作了相應(yīng)的輔助線，他們也對(duì)自己的輔助線進(jìn)行了解題描述。學(xué)生A：“過點(diǎn)A作BC的中垂線AD，垂足為D?！睂W(xué)生B：“作△ABC的角平分線AD?！碑?dāng)我看到這兩個(gè)同學(xué)解題的輔助線描述后，說：“學(xué)生B的輔助線對(duì)，學(xué)生A的輔助線需要修改?！比缓笪蚁?qū)W生拋出兩個(gè)問題，讓全體學(xué)生思考，弄清楚這個(gè)題目的概念。（1）請(qǐng)說一說學(xué)生A的輔助線作法為什么是錯(cuò)誤的。（2）按照學(xué)生B的輔助線來解題，完成證明過程。

3. 設(shè)置錯(cuò)誤題目的同類題，強(qiáng)化學(xué)生解題訓(xùn)練

針對(duì)學(xué)生錯(cuò)題的知識(shí)點(diǎn)，教師可以利用網(wǎng)絡(luò)檢索同類題型，盡可能多地找到一些相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的同類題目。教師在講解錯(cuò)題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生重點(diǎn)參考同類題反復(fù)訓(xùn)練。經(jīng)過一段時(shí)間的同類題的訓(xùn)練，能夠讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握和鞏固，從認(rèn)識(shí)上、行動(dòng)上減少甚至消滅此類題目的錯(cuò)誤。教師可以讓學(xué)生自己做個(gè)表格，對(duì)自己經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的同類題目進(jìn)行整理、歸類。比如：錯(cuò)題出處（頁碼、題號(hào)）、所屬知識(shí)點(diǎn)（哪一章哪一節(jié)）、錯(cuò)誤原因（表面原因、深層原因）、正確解法、規(guī)律總結(jié)、尋找同類題目，同時(shí)，注明下次復(fù)習(xí)此題的時(shí)間（第2天、第10天、第30天……）。

4. 建立錯(cuò)題檔案，開展糾錯(cuò)交流

教師可以指導(dǎo)學(xué)生建立錯(cuò)題檔案，把錯(cuò)題歸類。利用數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課，教師讓學(xué)生開展錯(cuò)題交流，進(jìn)行糾錯(cuò)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思錯(cuò)題的原因，學(xué)會(huì)正確地解題方法。這種檔案的建立與糾錯(cuò)活動(dòng)的開展，有利于讓學(xué)生提高自己診斷能力，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、邏輯性錯(cuò)誤與對(duì)策

初中生對(duì)于數(shù)學(xué)邏輯還是不能很好地把握和理解，他們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，經(jīng)常不知不覺地違反了數(shù)學(xué)邏輯，在數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)論證上面犯錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。這類錯(cuò)誤，突出表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：論據(jù)虛假、無法正確推出結(jié)論、偷換概念、論證時(shí)反復(fù)循環(huán)論證。面對(duì)產(chǎn)生這些邏輯性錯(cuò)誤的原因，教師要在學(xué)生解題過程中，實(shí)時(shí)地指導(dǎo)學(xué)生把握好推理、論證的邏輯規(guī)則，避免由于盲目而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。

例如：已知m為有理數(shù)，問k為何值時(shí)方程的根是有理數(shù)：x2-2（3m+1）x+（8m2+2m-3k）=0. 錯(cuò)解：要使方程的根是有理數(shù)，它的判別式Δ=[2（3m+1）]2-4（8m2+2m-3k）=4（m2+4m+1+3k）必須是完全平方式，也就是必須使關(guān)于m的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根。于是，Δ=42-4（1+3k）=12（1-k）=0，∴k=1。這個(gè)解題方法是把“有理數(shù)的平方”理解成了“完全平方式”，存在明顯的偷換概念問題，完全違背了邏輯思維的同一律要求。而事實(shí)上，只要有Δ=n2（n為有理數(shù)），就可以得出：k=（n2-4m2-16m-4）.

三、策略性錯(cuò)誤與對(duì)策

學(xué)生在解題時(shí)，由于使用的策略不當(dāng)，在解題過程中就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤方向，或是解題思路出現(xiàn)短路情況，也有可能不當(dāng)?shù)牟呗宰尳忸}過程更加費(fèi)時(shí)間，難度提高。這時(shí)，若解題時(shí)間有限，也導(dǎo)致問題無法得到解決。

例如：有甲、乙、丙三種物品，若甲買3件，乙買7件，丙買1件，共要3.15元；若甲買4件，乙買10件，丙買1件，共要4.20元。如果甲、乙、丙各購一件共需多少元？很多學(xué)生沒有解出這個(gè)題目的原因，主要是他們?cè)谠O(shè)上面出了問題：設(shè)甲、乙、丙購一件各需x元、y元、z元，得：3x+7y+z=3.15

4x+10y+z=4.20. 很明顯，這個(gè)題目學(xué)生想單獨(dú)設(shè)x、y、z來解題，結(jié)果學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程只有兩個(gè)，而未知數(shù)卻有三個(gè)，條件不滿足，根據(jù)題目又無法列出第三個(gè)方程來，最后學(xué)生只好放棄這個(gè)題目。這里犯的一個(gè)解題錯(cuò)誤就是在策略上沒有考慮到題目的整體性，片面地去思考，結(jié)果在方向上走錯(cuò)路。其實(shí)，只要我們把x+y+z看成一個(gè)整體，就能得到這樣的方程： 2（x+3y）+（x+y+z）=3.15

3（x+3y）+（x+y+z）=4.20. 由此看來，解題策略對(duì)了，題目就能迎刃而解。

有時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不會(huì)解題，不一定就是因?yàn)樗麄償?shù)學(xué)知識(shí)不夠，而可能是他們的解題策略有問題，往往簡(jiǎn)單的問題搞成復(fù)雜化。我們知道，數(shù)學(xué)教學(xué)有個(gè)非常重要的任務(wù)就是讓學(xué)生選擇解題策略。首先是怎么想，然后是怎么做，最后是什么結(jié)論。這三個(gè)層面都需要學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)，而思維活動(dòng)就是解題策略的核心。只有正確的思維活動(dòng)，才能得到正確的解題結(jié)論。

四、心理性錯(cuò)誤與對(duì)策

有很多學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，也具備了一些解題技巧和策略，但是他們?cè)诮忸}時(shí)可能還會(huì)由于某些心理原因，造成解題錯(cuò)誤。比如：心煩氣躁、丟三落四、郁郁寡歡等等心理。

例如：下面各行數(shù)字中，哪一行既含有某個(gè)整數(shù)的平方，又含有另一個(gè)整數(shù)的立方（ ）：A.7、2、5、4、6，B.3、8、6、9、7，C.5、4、3、8、2，D.9、5、7、3、6，E.5、6、3、7、4。 錯(cuò)解：在所出現(xiàn)的數(shù)字2、3、4、5、6、7、8、9中，只有8是整數(shù)的立方，4、9是整數(shù)的平方，故不含8的A、D、E可以排除。又C中4是2的平方，8是2的立方，“平方”“立方”都是2，與“含有某個(gè)整數(shù)的平方，又含有另一個(gè)整數(shù)的立方”不符，故選B。事實(shí)上，-2的平方也等于4，所以，選擇B、C都成立。這種錯(cuò)誤，是由于心理原因造成的丟三落四所致。當(dāng)然，出現(xiàn)這種心理的學(xué)生，大部分是一些學(xué)習(xí)有些吃力的學(xué)生或者是一些后進(jìn)生。所以，特別需要教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況區(qū)別對(duì)待，給每個(gè)學(xué)生都提供一些獲取成功體驗(yàn)的機(jī)會(huì)。

五、結(jié)束語

在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一定要正確地處理好學(xué)生的解題錯(cuò)誤。對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤，不能簡(jiǎn)單地以結(jié)論來評(píng)判對(duì)與錯(cuò)，而應(yīng)該追溯數(shù)學(xué)解題的全過程。對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤中存在的知識(shí)問題、策略問題、邏輯問題以及心理問題進(jìn)行追蹤，誘發(fā)、啟迪學(xué)生選擇正確的解題方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)學(xué)生成長(zhǎng)。

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