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    聚焦二次三項式,設(shè)計中考復(fù)習(xí)課

    2015-04-06 09:27:57江蘇省無錫市江南中學(xué)周君
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年24期
    關(guān)鍵詞:三項式數(shù)軸一元二次方程

    ☉江蘇省無錫市江南中學(xué) 周君

    聚焦二次三項式,設(shè)計中考復(fù)習(xí)課

    ☉江蘇省無錫市江南中學(xué) 周君

    中考復(fù)習(xí)是一首老歌,年年歲歲花相似,但歲歲年年題不同.復(fù)習(xí)內(nèi)容是學(xué)生已學(xué)內(nèi)容,解題方法多是學(xué)生已有的解法,如何把這首老歌新唱,唱出新意,讓學(xué)生對復(fù)習(xí)課同樣充滿好奇和渴望,一直是中考復(fù)習(xí)研討的難點.最近,筆者有機會在本地區(qū)中考復(fù)習(xí)研討活動中執(zhí)教中考復(fù)習(xí)研討課,精心構(gòu)思了一節(jié)聚焦二次三項式的復(fù)習(xí)課,得到與會同行的熱議與好評,本文梳理該課的教學(xué)設(shè)計,闡釋各個教學(xué)活動的設(shè)計意圖,最后再做出一些教學(xué)反思,與更多的同行研討.

    一、教學(xué)設(shè)計

    活動一:復(fù)習(xí)二次三項式的概念

    問題1:已知多項式x2+2x+1,5-4x+x2,-6a+8+a2,12m-4m2-9.

    (1)有同學(xué)認(rèn)為可以把4個多項式歸到一類?你覺得他的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么?你能設(shè)計一種分類標(biāo)準(zhǔn),把上述4個多項式分成兩類嗎?

    (2)當(dāng)x=2時,求前面兩個多項式的值.

    (3)有同學(xué)覺得后面三個多項式的形式不好,你能整理成類似第一個多項式那樣的形式嗎?

    活動預(yù)設(shè):第(1)問本質(zhì)上是寫出它們的共同點和不同點,學(xué)生可以從二次三項式、完全平方式、最高次數(shù)是2、未知數(shù)等角度確定不同的分類標(biāo)準(zhǔn),然后分類;第(2)問主要訓(xùn)練求代數(shù)式值的問題,與后面從函數(shù)角度研究二次三項式做好教學(xué)環(huán)節(jié)之間的呼應(yīng);第(3)問主要訓(xùn)練升冪或降冪排列,提高學(xué)生對多項式的整理變形能力.

    鏈接一道考題:記多項式x2+2x+1為f(x),多項式y(tǒng)2-4y+4為f(y),且多項式f(x)的項數(shù)為a,f(y)的次數(shù)、一次項系數(shù)分別是b、m,數(shù)a、b、m在數(shù)軸上分別對應(yīng)著點A、B、M.

    (1)求代數(shù)式a2-b2的值.

    (2)數(shù)軸上有一點G,且到點M、B的距離相等.

    ①求線段GA的長;

    ②若n是關(guān)于x的方程mx+b=ax的解,且數(shù)軸上點N對應(yīng)著數(shù)n,比較線段NG與NB的大小.

    考題講解:(1)由題意得a=3,b=2,m=-4.所以a2-b2= 32-22=5.

    (2)因為點G到點M、B的距離相等,所以點G對應(yīng)著數(shù)-1,故線段GA的長為4.關(guān)于x的方程mx+b=ax,即-4x+ 2=3x,解這個方程得所以數(shù)軸上的點N對應(yīng)著的數(shù)為線段NG的長為線段NB的長為故NG<NB.

    活動二:整式乘法與二次三項式

    問題2:按要求解以下問題.

    (1)一組計算:①(x+1)(x+1)=______;②(x-2)2+1= ______;③(a-2)·(a-4)=______;④4m(3-m)-9=______.

    (2)分解因式:①-6a+8+a2;②12m-4m2-9.

    (3)已知關(guān)于x的多項式4x2-mx+9是完全平方式,求m的值.

    (4)若(x-a)(x-5)的展開式中不含有x的一次項,求a的值.

    拓展題:如果a、b是整數(shù),x2-x-1是ax3+bx2+1的一個因式,求a+b的值.

    教學(xué)處理:這道拓展題本質(zhì)上還是多項式相乘展開后不含項問題,為了追求較好的啟發(fā)式講解,筆者設(shè)計了PPT漸次呈現(xiàn)(截圖如圖1).

    圖1

    活動三:一元二次方程根的判別式

    問題3:繼續(xù)來看多項式x2+2x+1,5-4x+x2,-6a+8+ a2,12m-4m2-9.

    (1)把這些多項式改成方程,得x2+2x+1=0,5-4x+x2= 0,-6a+8+a2=0,12m-4m2-9=0.請快速解方程.

    預(yù)設(shè):學(xué)生可以迅速由前面兩個教學(xué)活動中的化簡與變形的經(jīng)驗,將方程轉(zhuǎn)化如下:x2+2x+1=0,x2-4x+5=0,a2-6a+8=0,-(4m2-12m+9)=0,即(x+1)2=0,(x-2)2+1=0,(a-2)(a-4)=0,-(2m-3)2=0.從而快速獲解.

    (2)已知關(guān)于x的方程4x2-mx+9=0有兩個相等的實數(shù)根,求m的值.

    (3)如果關(guān)于x的方程x2-ax-5x+5a=0的兩個實數(shù)根恰互為相反數(shù),求a的值.

    對這些方程重新變式,包括無解,十字相乘法兼顧復(fù)習(xí).

    鏈接教材:教材“一元二次方程”的“圍長方形”問題提要求并思考:

    用一根120cm的細(xì)繩分別圍出長方形,試一試,能圍出面積大于900cm2的長方形嗎?你能解釋你的結(jié)論嗎?

    預(yù)設(shè)意圖:讓學(xué)生列出一元二次方程,并根據(jù)根的判別式迅速判定該方程無解,從而說明不能圍繞出這樣的長方形.這個習(xí)題為后續(xù)二次函數(shù)復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)提供鋪墊.

    二、教學(xué)立意的進一步闡釋

    1.深刻理解主干知識,串起復(fù)習(xí)課堂

    初中數(shù)學(xué)知識中有很多核心概念,根據(jù)我們一線教學(xué)的經(jīng)驗,也可稱之為主干知識.像本文聚焦的二次三項式就是一個核心概念,因為它在初中階段首次出現(xiàn)時,是在七年級整式加減中,然而不少初任教師并不認(rèn)為這是一個重要概念,往往用力不夠,沒有引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度理解二次三項式,以致有一些學(xué)有困難的學(xué)生到了九年級之后,對二次三項式這個名詞仍然有些陌生.此外,二次三項式進入八年級整式乘除、因式分解之后,將逐漸顯示出它的重要性,不僅是完全平方公式展開的結(jié)果是二次三項式,還有很多兩個一次二次項乘積也是二次三項式,比如,我們在上述課例中選用的“(a-2)(a-4)”.基于上述理解,我們選擇了二次三項式作為一個訓(xùn)練和聚焦的主線,串起一節(jié)代數(shù)復(fù)習(xí)課.其實類似的主干知識還有很多,比如,對一次二項式也可以從整式加減、乘除、因式分解、二元一次方程、不等式、一次函數(shù)等角度來構(gòu)思串聯(lián).

    2.精心選取高頻問題,反思多解歸一

    在明確聚焦二次三項式這個復(fù)習(xí)主題之后,還面臨著如何選擇典型的二次三項式,從上面課例來看,我們最終鎖定“多項式x2+2x+1,5-4x+x2,-6a+8+a2,12m-4m2-9”也是精心預(yù)設(shè)的,一方面這些多項式是高頻考點,各具代表性,這在后續(xù)的教學(xué)活動中都得到了體現(xiàn),比如,通過圍繞這4個多項式展開的多角度問題,突破教學(xué)難點.特別是,活動二、三中的兩個問題“多項式4x2-mx+9是完全平方式”、“關(guān)于x的方程4x2-mx+9=0有兩個相等的實數(shù)根”,在結(jié)構(gòu)上都是一類問題,學(xué)生在練習(xí)過程中可以感受到它們的一致性,從而獲得“多解歸一”的解題感悟.

    三、寫在最后

    章建躍老師在《全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個關(guān)鍵》一文中指出:“可以非??隙ǖ恼f,我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教育中出現(xiàn)的問題,不在理念認(rèn)同,而在理念落地.也就是說,缺少體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律、具有可操作性的數(shù)學(xué)教學(xué)策略、方法和手段,是當(dāng)前深化課改的主要問題之一.”[1]并認(rèn)為“教學(xué)設(shè)計能力是教師專業(yè)水平和教學(xué)能力的關(guān)鍵,……在正確理解教學(xué)的前提下,設(shè)計‘問題串’而形成教學(xué)主線……”.當(dāng)然,我們引導(dǎo)學(xué)生聚焦二次三項式,開發(fā)中考復(fù)習(xí)課例的這些努力還處于初步階段,期待更多的同行實踐跟進給予批評指正.

    1.章建躍.全面深化數(shù)學(xué)課改的幾個關(guān)鍵[J].課程·教材·教法,2015(5).

    2.浦?jǐn)⒌?,朱宸材.以小見大見微知著[J].?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究,2015(9).

    3.朱宸材,等.淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)為探究活動設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(8)

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