數(shù)學(xué)解題研究的三維策略*

☉江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán) 張衛(wèi)明

數(shù)學(xué)解題研究的三維策略*

☉江蘇省鹽城中學(xué)教育集團(tuán) 張衛(wèi)明

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.Raloms）指出，問題是數(shù)學(xué)的心臟.美國全國數(shù)學(xué)管理者大會（NCSM）在《21世紀(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的在于問題解決.”我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）也明確要求數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)應(yīng)注重發(fā)展能力，包括解決問題的能力.因而學(xué)習(xí)怎樣解決問題就成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本原因，培養(yǎng)和提高學(xué)生分析、解決問題的能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù).

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為，學(xué)生應(yīng)用知識解決問題能力的高低不僅與貯存知識的數(shù)量有關(guān)，還與貯存知識的概括程度、索引方式、相互關(guān)聯(lián)度等可有效利用的屬性有關(guān).出現(xiàn)上述問題的主要原因在于數(shù)學(xué)解題沒有講究方法，囫圇吞棗，過于追求數(shù)量而忽視答題的質(zhì)量.筆者經(jīng)過多年的解題研究和實踐，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題只要掌握策略，一定能攻克難關(guān).

一、宏觀上，數(shù)學(xué)解題應(yīng)先識別問題的類型，尋覓適當(dāng)?shù)那腥朦c

一般而言，我們解決一道數(shù)學(xué)題，第一件事應(yīng)該了解這是道什么題，它是什么形式，屬于何種類型.解題中要充分理清條件的指向性和結(jié)論的隱藏性、迷惑性，在紛繁復(fù)雜的信息中，看條件特殊、看轉(zhuǎn)化結(jié)論、看過程溝通，以尋求最有用、最有價值的信息.即我們應(yīng)先根據(jù)題目的條件和結(jié)論進(jìn)行類型識別，再通過差異分析和題目信息的轉(zhuǎn)換、活用等思維活動，結(jié)合相應(yīng)類型的數(shù)學(xué)題解決模式，就容易得到解決問題的切入點.

案例1：定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）滿足a+b+c=0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程.已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）.

A．a(chǎn)=cB．a(chǎn)=bC．b=cD．a(chǎn)=b=c

思路1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的根的情況可由b2-4ac來判定.b2-4ac＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；b2-4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；b2-4ac＜0?方程沒有實數(shù)根.

解析：由原方程有兩個相等的實數(shù)根，得b2-4ac=0①.

由a+b+c=0，得b=-a-c②.

把②代入①，得（-a-c）2-4ac=0，整理得（a-c）2=0.

則a=c，故選A．

解題感悟：利用“根的判別式”知識為切入點，是解決與一元二次方程的兩根有關(guān)的問題的常規(guī)思路.

思路2：方程的解是使方程兩邊相等的未知數(shù)的值.若一個值是方程的解，那么用這個值代替方程中的未知數(shù)，則方程的兩邊是相等的.

解析：由a+b+c=0，得“鳳凰”方程必有一根為1.若兩根相等，則兩根均為1.

這樣的方程的一般形式為（x-1）2=0，含有系數(shù)的一般形式為a（x-1）2=0（a≠0），即ax2-2ax+a=0（a≠0）.

與“鳳凰”方程的一般形式對照系數(shù)，可知a=c，故選A．

解題感悟：利用“方程根的意義”知識為切入點，以退為進(jìn)，清新質(zhì)樸.

思路3：結(jié)合一元二次方程的解法，求出方程的解.

解析：由ax2+bx+c=0，a+b+c=0，得a（x2-1）+b（x-1）=0.

則（x-1）（ax+a+b）=0.

則x1-1=0，ax2+a+b=0.

解題感悟：巧妙利用一元二次方程的解法知識為切入點，另辟蹊徑，打破思維定勢．

有條件限制說原則上認(rèn)可原審原告在上訴審中能夠申請撤回起訴，但是其同樣認(rèn)為與一審撤回起訴相比，原審原告在上訴審中的撤訴應(yīng)當(dāng)面臨著較多特殊性障礙條件。

以上解題的切入點清楚地表明：由于一個概念或一個問題在同一個體、不同個體中完全可能有不同的心理表征，它們分別突出了對象的某些類型性質(zhì)，在不同的時刻或場合，針對某種類型性質(zhì)，在直覺選擇的基礎(chǔ)上，確定破題的切入點，尋求解題策略．

二、中觀上，數(shù)學(xué)解題應(yīng)注重運用數(shù)學(xué)思想方法

現(xiàn)代解題理論指出：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，數(shù)學(xué)解題的過程是數(shù)學(xué)思想方法得以運用的過程．可以這樣說，抓住了數(shù)學(xué)思想方法就是主宰了數(shù)學(xué)教育的生命.數(shù)學(xué)思想的形成與否，關(guān)鍵不是會解某道題，而是會解決某類題，關(guān)鍵是在舉一反三、觸類旁通的基礎(chǔ)上能形成解決不同知識點、不同題型的思維規(guī)律.這需要解題者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面不僅學(xué)好概念、公式、法則等內(nèi)容，而且要能領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，并通過不斷積累，逐漸內(nèi)化為自身的解題經(jīng)驗和知識結(jié)構(gòu)，提高解決問題的能力．

案例2：兩個不相等的正數(shù)滿足a+b=2，ab=t-1，設(shè)S=（a-b）2，則S關(guān)于t的函數(shù)圖像是（）.

A．射線（不含端點）B．線段（不含端點）

C．直線D．拋物線的一部分

思路點撥：題中出現(xiàn)了a、b、t、S四個字母表示的變量，由于題中最后要求的是S關(guān)于t的函數(shù)，所以需要消去a、b兩個元，即可以化歸為只含有t、S兩個變量.

解析：S=（a-b）2=（a+b）2-4ab=4-4（t-1）=8-4t．根據(jù)其表達(dá)式為一次函數(shù)，首先可以排除選項D．按題中條件，要求存在兩個不相等的正數(shù)滿足a+b=2，ab=t-1，又0≤得到1＜t＜2，從而答案為B．

解題感悟：本題蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想，在求S與t的函數(shù)關(guān)系式的過程中，體現(xiàn)了消參變量中的化歸思想；排除選項D的解題過程中，包含了轉(zhuǎn)換中的函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想；最后確定選項B，展示了隱含中的等價轉(zhuǎn)化思想．

解這道題難點之一是字母太多，怎樣才能減少未知數(shù)呢？這對解題者來講是一種考驗，解題者最終能否成功地建構(gòu)出關(guān)于所面臨問題的一個合適的內(nèi)在表征，能否學(xué)會用數(shù)學(xué)思想方法對解題的調(diào)節(jié)點先進(jìn)行分析和監(jiān)控便顯得尤為重要．在解題分析中，將不熟悉的類型轉(zhuǎn)化為熟悉的類型，將費解的類型“肢解”成一個個熟悉的小問題或不斷地揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，運用數(shù)學(xué)思想方法調(diào)節(jié)．如本例中消參變量中的轉(zhuǎn)化思想時刻，題目中的某些條件與其本人已有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系和碰撞，從而此刻“問題空間”向著成功的方向轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了解題者知識與經(jīng)驗之間的相互溝通能力．

三、微觀上，數(shù)學(xué)解題應(yīng)注重解題后的反思

解題者解決完數(shù)學(xué)問題，若到此就心滿意足，拋卻腦后，就可能錯過提高的機(jī)會，往往會導(dǎo)致獲得的知識系統(tǒng)性減弱、結(jié)構(gòu)性不強(qiáng)等問題.因此解題后的反思是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要環(huán)節(jié)．為了提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，必須加強(qiáng)正確的解題思想，養(yǎng)成反思的習(xí)慣．

案例3：如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．

圖1

圖2

1.反思解題方法，開拓解題思路

因每位解題者的思維角度、方式、水平等方面的差異，所以解題者的解答往往呈現(xiàn)多樣性，而一題多解是培養(yǎng)解題者思維力的一種有效手段，因此探討解法的多樣性，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的實質(zhì)，培養(yǎng)思維的發(fā)射性，是解題反思力的重要內(nèi)涵．李政道教授指出：“真正的學(xué)習(xí)是要沒有路牌子也能走路，最后能走出來，并且從捷徑中走出來，這才是學(xué)習(xí)的本質(zhì).”這生動說明解題者不僅要學(xué)會學(xué)習(xí)，而且要有獨創(chuàng)精神.

例如，案例2中若取AB的中點M，連接ME，則AM= EC，易證△AME≌△ECF，從而得到AE=EF．這種方法簡單快捷，不是人云亦云，而是跳出常規(guī)思維模式，標(biāo)新立異，這正是我們所提倡的創(chuàng)新精神.

2.反思問題變式，激活創(chuàng)新思維

變式訓(xùn)練，不僅可以培養(yǎng)解題者的邏輯思維能力，也可以培養(yǎng)解題者思維的靈活性和創(chuàng)新性．將課本中例、習(xí)題或一些中考題的條件、結(jié)論作一些改變，既可防止靜止、孤立地看問題，還可促進(jìn)解題者對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，增強(qiáng)探究能力．

變式1：如圖3，如果把“E是邊BC的中點”改為“E是邊BC上（除點B、C外）的任意一點”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為該觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，試說明理由．

圖3

圖4

變式2：如圖4，E是BC的延長線上（除點C外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為該觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，試說明理由．

變式3：如圖5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2AB=2AD．

（1）求證：∠DCB=45°.

（2）小麗現(xiàn)將一把三角尺的直角頂點M在射線AD上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點B，另一邊與腰CD所在的直線交于N．試問：

①如圖5-1，當(dāng)M為AD的中點時，BM與MN有怎樣的大小關(guān)系？請給予證明．

②如圖5-2，當(dāng)M在AD的延長線上時，BM與MN又有怎樣的大小關(guān)系？請證明你觀察得到的結(jié)論．

圖5-1

圖5-2

從特殊到一般，及時有機(jī)地進(jìn)行圖形演變，但全等三角形不變，做到“潤物細(xì)無聲，形變而神不變”.需要解題者注重對數(shù)學(xué)問題研究的深入性，不能淺嘗輒止，要知其然，還要知其所以然，對數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深入探索，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，練好解題的內(nèi)功！

3.反思問題結(jié)構(gòu)，學(xué)會編擬問題

有位數(shù)學(xué)家曾這樣說：一道好的數(shù)學(xué)試題，就是一部好的教材.因此，能夠自我命制數(shù)學(xué)試題，就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界，它要求命題者具有先進(jìn)的理念和扎實的數(shù)學(xué)知識功底．編擬結(jié)構(gòu)良好新穎的數(shù)學(xué)問題不只是簡單的變式，應(yīng)包括立意、情境和設(shè)問三個方面．所謂“立意”，是指考查的目的，即考查什么知識、能力，體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想方法；所謂“情境”，是指考查的載體；所謂“設(shè)問，”是指問題的呈現(xiàn)方式，如探索性、開放性試題，問題的設(shè)問一般都是逐步深入、層層遞進(jìn)的．

案例4：聰明好學(xué)的小敏查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：用不過圓錐頂點且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖6中曲線CFD為拋物線的一部分．如圖6，圓錐體SAB的母線長為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD于O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4．

（1）求底面圓的半徑AP的長及圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù).

（2）以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸，建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系．求過C、F、D三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

（3）在拋物面CFD中能否截取長為5.6、寬為2.2的矩形？請說明理由．

圖6

圖7

命題的主要目的是讓考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，通過呈現(xiàn)圓錐的直觀圖形，將圓、拋物線、圓錐等知識有機(jī)結(jié)合在一起，有效地體驗數(shù)學(xué)推理的力量和證明的意義，發(fā)展空間觀念和自主創(chuàng)新的意識.但通過閱卷分析，發(fā)現(xiàn)許多考生由于理解能力不強(qiáng)，不能綜合問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而不能順利地不間斷地分析和解決問題．其實，數(shù)學(xué)解題就是一個編擬問題的過程，試題編制要體現(xiàn)新課標(biāo)改革的方向與理念，要根據(jù)知識技能目標(biāo)、過程性目標(biāo)及使用目的和使用對象來決定題目的形式、綜合程度、知識覆蓋面，同時還要注意試題背景公平，避免出現(xiàn)陳題．

四、結(jié)束語

數(shù)學(xué)解題，要善于從思維定勢中解脫出來，養(yǎng)成從多角度、多側(cè)面分析問題的習(xí)慣，以培養(yǎng)思維的廣闊性、縝密性和創(chuàng)新性.對例題、習(xí)題、練習(xí)題、復(fù)習(xí)題等，不能就題做題，要以題論法，以題為載體，闡述試題的條件加強(qiáng)、條件弱化、結(jié)論開放、變換結(jié)論、多種解法、與其他試題的聯(lián)系與區(qū)別、其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法等，將試題的知識價值、教育價值一一解剖，達(dá)到“做一題，會一片，懂一法，長一智”.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

*本文是江蘇省中小學(xué)教研室第十批立項課題“蘇科版初中數(shù)學(xué)課標(biāo)（2011版）教材的使用研究”（課題批準(zhǔn)號：2013JK10-L154）和江蘇省十二五教育科學(xué)規(guī)劃立項課題“區(qū)域性初中數(shù)學(xué)高效課堂構(gòu)建策略的研究”（課題批準(zhǔn)號：D/2013/02/632）的階段性成果.