探尋多元解法彰顯試題特色

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 陳鋒

☉江蘇省無錫市東林中學(xué) 顧宏萍

探尋多元解法彰顯試題特色

☉江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 陳鋒

☉江蘇省無錫市東林中學(xué) 顧宏萍

中考試題是命題專家集體智慧的結(jié)晶，是引領(lǐng)教師教學(xué)重要的“指揮棒”.通過對試題特色的剖析，可以更好地領(lǐng)悟中考試題的評價功能.2015年無錫市中考試卷的第27題就是命題專家反復(fù)思量出的一道好題.它是以學(xué)生熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)為研究對象，以直角坐標(biāo)系為載體，通過精心設(shè)計和巧妙提問，不僅讓試題內(nèi)涵深厚，層層深入，而且還給學(xué)生解題提供了廣闊的思維空間.下面，筆者就結(jié)合此題的不同解法，來談一談個人的幾點感悟和思考.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

（1）求點C的坐標(biāo).

（2）設(shè)二次函數(shù)圖像的頂點為D.

①點D與點C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

②CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

二、解法分析

本題的第一問，只要學(xué)生基礎(chǔ)扎實、思路清晰，結(jié)合題目條件稍加分析，很容易獲得答案，方法也較為一致.從閱卷情況反饋看，第一問得分率較高；而對于第二問的問題②，學(xué)生的解法有很多，因此，筆者對此題第二問的問題②學(xué)生的解法進(jìn)行了一些探究，從而對問題②的解法也有了更多的感悟，現(xiàn)將問題②的解法整理歸類，供大家參考.

1.立足表面條件，直接建立方程，展示直觀性

由于此題入口很寬，題目條件表述很清楚，同學(xué)們能根據(jù)題目給的條件，直接建立方程求解.即由點A、點D分別在直線和拋物線上的條件，分別用a、c、m設(shè)點A、D的坐標(biāo)，并用含m的代數(shù)式表示線段AC，根據(jù)AC=CD、S△ACD=10及點A在拋物線y=ax2-4ax+c上這三個條件構(gòu)建三個方程并進(jìn)行求解.

由S△ACD=10，可得

點評：用此方法解題的學(xué)生一般學(xué)習(xí)認(rèn)真，基本功扎實，但思維尚不夠靈活，只能根據(jù)題目表面條件按部就班地尋找到三個關(guān)于a、c、m的方程，雖然方程易得，但運算量較大．同時，閱卷中發(fā)現(xiàn)還有部分考生只能列出其中的一個或兩個方程，或許因為感覺條件不足無法求解而放棄．

點評：此解法已經(jīng)比解法1的運算簡化了很多，主要是因為考生能看出可以將-4a+c作為一個整體，先求解m的值即可求得點A的坐標(biāo)，并且通過求出-4a+c的值直接可得點D的坐標(biāo)，通過點A、點D的坐標(biāo)可得二次函數(shù)的關(guān)系式．用此方法解題的同學(xué)雖然也是從題目表面條件入手，獲得方程，但是做題的目標(biāo)意識明顯要強于用解法1的同學(xué)，知道只需要求m、-4a+c即可求點A、D的坐標(biāo)，并且解題時具有整體思想，從而使題目得解．但總體來講，這兩種方法的思維靈活度都不高，導(dǎo)致對運算能力的要求很高．閱卷中發(fā)現(xiàn)．用此類方法解題，很少有人能夠順利完成全部解答、得到滿分．

2.轉(zhuǎn)換有效條件，間接構(gòu)建方程，體現(xiàn)思維力

如果仔細(xì)研究題目所給的條件AC=CD、S△ACD=10，發(fā)現(xiàn)要求得點A、D的坐標(biāo)，其實只要根據(jù)點A在直線上這一條件，設(shè)點然后根據(jù)點A、C都在直線y=上得到AC的長，即線段CD的長，根據(jù)S=10構(gòu)建一△ACD個關(guān)于m的方程．

圖2

圖3

點評：這一解法是有效轉(zhuǎn)換條件，進(jìn)而間接構(gòu)建方程，如利用線段相等這一有效條件，用含一個字母的代數(shù)式來表示兩條線段，借助三角形的面積這一條件得到關(guān)于m的一個方程，并且理解并掌握一次函數(shù)的一次項系數(shù)k的幾何意義，并能靈活運用，使得運算簡便很多.也有同學(xué)先根據(jù)題目所給的幾何條件AC=CD、S△ACD=10，研究△ACD的特征，再根據(jù)點A、C都在直線，即已知這個等腰三角形的頂角的三角函數(shù)，并且三角形面積已知，轉(zhuǎn)化為求解三角形的腰長，即AC、CD的長，隨后根據(jù)線段長轉(zhuǎn)換為點A、D的坐標(biāo)，再求解二次函數(shù)的表達(dá)式．

點評：用這一解法的同學(xué)，在解題之前能篩選題目的有效條件，認(rèn)真分析條件，明確解題目標(biāo)，有效轉(zhuǎn)換條件，整理解題思路，構(gòu)建方程，解題條理清晰．閱卷中發(fā)現(xiàn)，有很多考生按解法4作答，這是非?？上驳默F(xiàn)象．

3.挖掘隱性條件，巧妙創(chuàng)建方程，凸顯簡潔美

上述四種方法其實是一個體系，從解法1到解法4，解題分析越來越清晰，自然解題過程也越來越簡單．可以先通過三角形的條件求得線段條件，再進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，則運算將大為簡化，但是就解法而言，這4種解法還是不夠簡潔．

圖4

點評：這是一種非常規(guī)的解法，簡潔明了且思路清晰，充分運用到AC=CD、點C為定點等條件，通過構(gòu)建等腰△COE，運用它與△CAD的相似關(guān)系求得CD的長，思路巧妙，運算過程大大簡化，凸顯簡潔美．筆者覺得，用這一解法的考生“圖感”很好，對數(shù)學(xué)各知識點的綜合運用能力也很強．

三、特色彰顯

1.立足學(xué)生基礎(chǔ)，設(shè)問有層次、區(qū)分度高

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）中特別強調(diào)“以學(xué)生發(fā)展為本”，這不僅在課程設(shè)計、教材的開發(fā)、教法的運用上得到有效的理解和落實，而且在考試評價上也應(yīng)該得到真實的體現(xiàn)．本題的表述簡潔明了，不同層次的學(xué)生對題意均能一目了然，而且命題者對問題的設(shè)置精確到位，體現(xiàn)出科學(xué)的層次性，讓整道題目具有低起點，小坡度，但綜合性較高的特點．問題的巧妙設(shè)置，從形式上看相對獨立，但其實質(zhì)卻在層層推進(jìn)，問題（1）求點C的坐標(biāo)，只要學(xué)生審題仔細(xì)，即可較為順利地得到答案，既注重了對“雙基”的考查，又實現(xiàn)了面向全體學(xué)生的命題要求，體現(xiàn)了對基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的關(guān)愛，突出了試題的人文性．問題（1）的順利解決不僅增強了學(xué)生探究的樂趣、信心和勇氣，也為問題（2）的解決打下了基礎(chǔ)．問題（2）的第一小問是在問題（1）的基礎(chǔ)上增加了探究的條件，提高了解決的難度，考查了函數(shù)與面積、點與線的關(guān)系，屬于中等層次知識的問題，問題（2）的第二小問則是改變了第一小問的條件，適當(dāng)增加了探究的難度，拓展了探究的空間，屬于較難的層次，體現(xiàn)了試題的層次性，區(qū)分度高，凸顯了試題的選拔功能．我們一線教師為這樣的低起點、拾級而上、層次明顯的試題叫好！

2.探尋多元化解答，拓展思維能力的考查

評價好題的標(biāo)準(zhǔn)是多樣的，對能力的適度考查是其中一個重要的指標(biāo)，解題方法的多樣化是達(dá)成這一指標(biāo)的途徑之一．本題具有多元化解答．其一是源于題目本身豐富的內(nèi)涵，本題借助兩種函數(shù)和半張圖（其他需要學(xué)生根據(jù)題意畫出），構(gòu)圖簡潔明了，題目行文簡約流暢，讓題目顯得更為自然靈動，這些都為解法的多元提供了廣闊的空間．其二是源于命題者精心的設(shè)計，把初中數(shù)學(xué)幾個核心知識點（函數(shù)、方程、面積、相似）聯(lián)系起來考查，給了學(xué)生很大的思考空間和解題平臺．本題多樣化的解法為不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供成功的可能．雖然方法有多種，但都殊途同歸，著眼于條件的轉(zhuǎn)化和點的坐標(biāo)表示，如將幾何條件（S△ACD=10、CE∶AE∶AC=3∶4∶5等條件）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)條件（點A、D的坐標(biāo)），從而求得所要求的二次函數(shù)的表達(dá)式，即通過面積這個已知條件建立方程求解，其本質(zhì)都是通過函數(shù)思想、形數(shù)轉(zhuǎn)換把問題轉(zhuǎn)化成求方程或方程組的解．其三，從上述分析可見，學(xué)生的解題差異不僅是知識技能層面，更重要的是反映了考生數(shù)學(xué)思想運用能力的差異和信息整合能力的差異及在思維能力方面的差異，這道具有層次性和思維探究性的精彩試題，它對日常教學(xué)必將產(chǎn)生良好的導(dǎo)向，它啟示我們數(shù)學(xué)教學(xué)除了加強對基本知識和基本技能的訓(xùn)練，更要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思考習(xí)慣的培養(yǎng)，強化數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練，不僅關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)習(xí)的過程，要有面對題目積極探索的精神．讓學(xué)生能在陌生的情景中，從已知條件入手，運用已有知識、技能、方法進(jìn)行分析探索，尋求解題思路，正確解題．

品讀著這道頗具韻味的試題，回味著上述多彩的解答，處處展現(xiàn)著學(xué)生解題的靈感，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的精彩和魅力．其實我們的教學(xué)所追求的目標(biāo)不就是如此嗎？但愿會有更多“有韻味”的試題出現(xiàn)，促使我們?nèi)ニ剂浚ンw會，去分享！

1.陳鋒，薛鶯，章偉偉.多元化的“微探究”：從機械記憶走向理解建構(gòu)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（9）.

2.仲玲玲.緊扣教學(xué)環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)思想——談檢測講評課中數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（10）.Z