“五、四、三、二”在圓中的妙用

☉江蘇省東?？h橫溝中學(xué) 霍如本

“五、四、三、二”在圓中的妙用

☉江蘇省東?？h橫溝中學(xué) 霍如本

“圓”是圖形與幾何體系中重要的一部分內(nèi)容，近些年來，各地中考數(shù)學(xué)試卷通過圓本身具有特殊的軸對稱性與旋轉(zhuǎn)對稱性設(shè)置各種試題，突出對圓的基本性質(zhì)的直接考查；通過將三角形與四邊形放在圓中設(shè)置綜合問題，實現(xiàn)對直線型圖形的綜合應(yīng)用與再認(rèn)識的過程，突出體現(xiàn)了對圖形與幾何的綜合運用的考查.

在教學(xué)的過程中很多教師都會遇到此類狀況：教學(xué)時花了很多時間，學(xué)生做了很多練習(xí)，可學(xué)生掌握的就是不好，遇到圓的考題得分不高.筆者認(rèn)為原因在于“圓”這一章概念多，學(xué)生難以完全掌握，即使知道相關(guān)結(jié)論運用起來也找不準(zhǔn)突破口.基于此狀況，通過長時間的教學(xué)，筆者認(rèn)為在此章的教學(xué)時，需用特殊的記憶方式進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生快速掌握此章的精髓，故在教此章時提出了四字記憶法：五、四、三、二.“五”即為五種多解情形，“四”即為四個常用結(jié)論，“三”即為三個公式，“二”即為兩種常見作圖.在此方法教學(xué)過程中再加上必要的典型例題，從最后的考試評價上分析是有效的.

一、“五”——五種多解

1.由于點與圓的位置關(guān)系不確定而產(chǎn)生多解

點與圓的位置關(guān)系有三種：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外，考試中常出現(xiàn)點與圓的位置關(guān)系題目，故要分情況考慮某點在圓內(nèi)或圓外．

例1（鄂州）平面上一點P到⊙O上一點的距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為______．

分析：解答此題應(yīng)進(jìn)行分類討論，點P可能位于圓的內(nèi)部，也可能位于圓的外部．

2.由于點在圓上的位置不確定而產(chǎn)生多解

圓是很特殊的圖形，它不僅是中心對稱圖形而且是軸對稱圖形，同時圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，故一點在圓上時要考慮是否有其余可能的情況存在．

例2已知⊙O的半徑為1cm，弦AB、AC的長度分別為2cm、1cm，則∠BAC=_____°．

分析：此題要確定點C的位置，由于點C在圓上的位置出現(xiàn)不唯一性，所以要進(jìn)行分類討論．

3.由于弦所對弧的優(yōu)劣不確定，所對的圓周角的類型不確定而產(chǎn)生多解

圓中的弦、弧、角有著密切的關(guān)系，在中考中常被作為必考考點，一條弦（非直徑）對應(yīng)一個圓心角，但對應(yīng)兩類弧，有優(yōu)劣之分，此時這兩類弧又分別對應(yīng)相應(yīng)的圓周角，故提到弦所對的弧或圓周角時常要分類討論.

例3（泰安改編）⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB=1，則弦AB所對圓周角的度數(shù)為______．

分析：一條弦對兩條弧，兩條弧又對應(yīng)相應(yīng)的圓周角，故此題會有多解．

4.由于兩平行弦與圓心的位置不確定而產(chǎn)生多解

垂徑定理的應(yīng)用在圓中十分廣泛，常用于求圓中某弦的長度或弦心距，這類題中又常出現(xiàn)一種分類討論的題目：求兩平行弦間的距離．由于圓是軸對稱圖形，故兩條平行弦可能在圓心同側(cè)或異側(cè)，這樣就出現(xiàn)了分類討論．

例4已知⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，則AB和CD的距離為_____．

分析：由于AB、CD的位置不明確，所以分平行弦在圓心的同側(cè)（如圖1）和圓心的兩側(cè)（如圖2）兩種情況討論．

圖1

圖2

5.由于直線與圓相切的位置不確定而產(chǎn)生多解

直線與圓相切的考題常以運動中的直線或圓出現(xiàn)，在運動的過程出現(xiàn)多次相切，故需要進(jìn)行分類討論．

例5如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，x軸上一點A從點（-3，0）出發(fā)沿x軸向右平移，當(dāng)以A為圓心、半徑為1的圓與函數(shù)y=x的圖像相切時，點A的坐標(biāo)是______．

分析：由于⊙A與直線相切的位置可以在直線的左側(cè)也可以在右側(cè)，故需要分類討論．

圖3

二、“四”——四個結(jié)論

蘇科版教材將圓中的相交弦定理、弦切角定理、切割線定理、割線定理、公切線定理等刪除，從而降低了學(xué)生掌握圓的難度，也讓教師更容易歸納出四個重要結(jié)論的用途．

1.垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

垂徑定理的作用是：常用于圓中求長度的題目，如求半徑、弦長、弦心距、兩平行弦間的距離等．還可以讓學(xué)生了解到求圓內(nèi)線段常用垂徑定理和勾股定理，求圓外線段用相似．

例6如圖4，AB是⊙O的一條弦，AB= 6，圓心O到AB的距離為4，則⊙O的半徑為_______．

2.圓心角、圓周角一系列定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，是圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑

圖4

圓心角、圓周角一系列定理的作用是：常用于求某些角的度數(shù)或轉(zhuǎn)換圓中的角，并可以達(dá)到直角和直徑間的互相轉(zhuǎn)換．

例7如圖5，AB是圓的直徑，點C在圓內(nèi)，請僅用無刻度的直尺畫出△ABC中AB邊上的高．

3.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

圖5

判定一條直線是圓的切線的方法有3種，切線的判定定理是最常用的一種，一般情況下，判斷一條與圓有公共點的直線是圓的切線常用此方法證明．

例8如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若OA=6，AD=10，求CD的長．

4.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等

遇到從一點引出的兩條圓的切線的題目常用切線長定理，不僅可以得到相等的線段，也能得到相等的角．

例9如圖7，AB、BC、CD都是⊙O的切線，點A、D為切點．已知AB= 4，BC=7，則CD=_____．

圖6

圖7

三、“三”——三個公式

3.圓錐側(cè)面積公式：S側(cè)=πrl

例10用一個半徑為6，圓心角為120°的扇形圍成的圓錐的底面圓半徑為______．

例11已知圓錐的底面半徑為1cm，母線長為3cm，則其側(cè)面積為（）.

A．πcm2B．3πcm2

C．4πcm2D．6πcm2

四、“二”——兩種作圖

1.復(fù)原一個“圓”

圓中有這樣一種作圖：作出一個破損的圓形物件所在圓的圓心或?qū)⑺诘膱A補(bǔ)充完整，這就要利用結(jié)論“不在同一直線上的三個點確定一個圓”.

例12某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，圖8是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

圖8

（1）請你補(bǔ)全這個輸水管道的圓形截面；

（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．

2.作出已知三角形的外接圓、內(nèi)切圓

無論作一個三角形的外接圓還是內(nèi)切圓，首先要確定圓心，外接圓圓心為三角形三邊垂直平分線的交點，內(nèi)切圓圓心為三角形三個內(nèi)角平分線的交點，再根據(jù)半徑作圓即可．

心理學(xué)研究表明，提高記憶力的方法可以用聯(lián)想記憶法：利用事物間的聯(lián)系通過聯(lián)想進(jìn)行記憶的方法．聯(lián)想是由當(dāng)前感知或思考的事物想起有關(guān)的另一事物，或者由頭腦中想起的一件事物，又引起想到另一件事物．由于客觀事物是相互聯(lián)系的，各種知識也是相互聯(lián)系的，因而在思維中，聯(lián)想是一種基本的思維形式，是記憶的一種方法．通過“五、四、三、二”的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生將互相接近的“圓”的概念與數(shù)字產(chǎn)生聯(lián)想．用聯(lián)想來增強(qiáng)記憶，這樣學(xué)生掌握起來更加容易．

事實上，初中生的思維發(fā)展正處于一個由具體到抽象、由低級到高級的過程．學(xué)生思維中的形象或表象通過積累將逐步讓位于概念，并由經(jīng)驗型的抽象邏輯思維逐步向理論型的抽象思維發(fā)展轉(zhuǎn)化．這一發(fā)展轉(zhuǎn)化離不開具體的形象，故筆者認(rèn)為在教學(xué)中，要善于運用合適并能促進(jìn)學(xué)生快速記憶的方法進(jìn)行教學(xué)，而“五、四、三、二”的教學(xué)法就是一個好的方法，它讓學(xué)生記住了深奧的圓中有關(guān)的知識，事半功倍，真正達(dá)到了學(xué)生的輕松學(xué)習(xí).Z