拋物線及其性質(zhì)

周佳

應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決一些與拋物線有關(guān)的問(wèn)題，如已知拋物線的某些性質(zhì)，求拋物線的方程；以及求拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)等是一個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn)，本文旨在歸納相關(guān)性質(zhì)及相關(guān)例題.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）利用定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，與拋物線有關(guān)的焦半徑問(wèn)題及最值；（2）利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)處理有關(guān)焦點(diǎn)弦的問(wèn)題；（3）聯(lián)立直線與拋物線的方程，設(shè)而不求，解決直線與拋物線的綜合問(wèn)題.

難點(diǎn)：涉及拋物線的定義，直線和拋物線的位置關(guān)系，切線問(wèn)題，軌跡問(wèn)題，最值問(wèn)題，參數(shù)范圍問(wèn)題，定點(diǎn)、定值問(wèn)題，面積與弦長(zhǎng)問(wèn)題，向量的共線、垂直、夾角等問(wèn)題，考題大都比較難.

方法突破

拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線的問(wèn)題可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解. “由數(shù)想到形，由形想到數(shù)”，數(shù)形結(jié)合是靈活解題的一條捷徑. 解決直線與拋物線的綜合問(wèn)題，要注意運(yùn)用韋達(dá)定理，通過(guò)“設(shè)而不求”的方法求解. 拋物線的切線問(wèn)題，注意與導(dǎo)數(shù)的幾何意義聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)求解. 有關(guān)焦點(diǎn)弦問(wèn)題要注意焦點(diǎn)弦的性質(zhì).

拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)：

（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)F，0，離心率e=1，準(zhǔn)線方程x=-.

（2）p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

（3）焦半徑：①M(fèi)F=x0+，其中M（x0，y0）；②過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦半徑FP的端點(diǎn)P作拋物線的切線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則FP⊥FQ.

（4）若過(guò)y2=2px的焦點(diǎn)F的直線與其有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則

①x1·x2=，y1·y2=-p2；

②焦點(diǎn)弦AB的長(zhǎng)AB=x1+x2+p；

③設(shè)直線AB的傾斜角為α，則有AB==2p（k為直線AB的斜率，且斜率存在），特別地，當(dāng)α=90°時(shí)，AB為拋物線的通徑，且AB=2p；

④以AB為直徑的圓與拋物線的位置關(guān)系為相切；

⑤A在準(zhǔn)線上的射影為A1，B在準(zhǔn)線上的射影為B1，則∠A1FB1=90°；

⑥+=；

⑦若=λ（λ>1），則cosα=（α為直線AB的傾斜角）.

（5）直線l與拋物線y2=2px（p>0）有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），若⊥，則直線l過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

（6）拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)弦所在直線（傾斜角為θ）與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)A，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B（線段AF外的交點(diǎn)），若=λ，則cosθ=.

（7）弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)差法：

①若直線l：y=kx+b與拋物線C交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則AB=.

②若直線l：y=kx+b與拋物線C：y2=2px交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且M（x0，y0）為A，B的中點(diǎn)，則kAB=.

典例精講

例1 如圖1，拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，AK⊥l，垂足為K，若BC=2BF，且AF=4，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

思索 要求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即要求p，而p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離. 本題涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，抓住拋物線的定義，將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是本題解題的關(guān)鍵.

破解 設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），其中y1>0. 由點(diǎn)B作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B1，則可得BF=BB1. 又由已知CB=2FB，所以CB=2BB1，cos∠CBB1==，∠CBB1=，即直線AB與x軸的夾角為. 又已知AF=AK=4，AC=2AK=8，所以F為AC的中點(diǎn)，所以p==2，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

例2 已知過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，=3，則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)____.

思索 利用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式AB=x1+x2+p=，焦點(diǎn)弦的性質(zhì)+=，問(wèn)題便可迎刃而解.

破解1 設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程：y=k（x-1），y2=4x？圯k2x2-（2k2+4）x+k2=0. A（x1，y1），B（x2，y2），x1·x2=1，=3？圯1-x1=3（x2-1）？圯x1=4-3x2，（4-3x2）·x2=1？圯3x-4x2+1=0？圯x2=1，x1=1（舍）或x2=，x1=3，AB=x1+x2+p=，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

破解2 +=？圯+=1？圯BF=，AF=，AB=，所以AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.

例3 （1）已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A，4，則PA+PM的最小值是_______.

（2）已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)B（2，1），則PF+PB的最小值是_______，此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為_(kāi)______.

（3）已知拋物線的方程為y2=4x，直線l的方程為x-y+4=0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為_(kāi)______.

思索 （1）該題是求拋物線上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與到定點(diǎn)的距離之和的最小值；（2）該題是求拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)的距離之和的最小值；（3）該題是求拋物線上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與到定直線的距離之和的最小值. 上面這三種題型是考查拋物線的定義與性質(zhì)的常見(jiàn)題. 解決問(wèn)題主要利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線，到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn)，到坐標(biāo)軸的距離先轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線再轉(zhuǎn)化到焦點(diǎn)，最后結(jié)合拋物線的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求出最值及點(diǎn)的坐標(biāo).endprint

破解 （1）注意到點(diǎn)A在拋物線外，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則PF=d，PM=d-=PF-，PA+PM=PA+PF-≥AF-=.

（2）注意到B（2，1）在拋物線內(nèi)，設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為d′，則PF=d，PF+PB≥d+PB≥d′=，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，1.

（3）設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d，F(xiàn)到l的距離為d′，則d1=d-1，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，PF=d，d1+d2=PF+d2-1≥d′-1=-1.

例4 如圖2，已知直線l：y=kx-2與拋物線C：x2=-2py（p>0）交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，+=（-4，-12）.

（1）求直線l和拋物線C的方程；

（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△ABP面積的最大值.

思索 （1）由已知條件+=（-4，-12）易求得直線l的方程，再由點(diǎn)差法即可求得拋物線C的方程.

（2）因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)度為定值，所以只要求點(diǎn)P到直線AB的最大值即可，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離.

破解 （1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)M（x0，y0），則x0==-2，y0==-6，代入直線l：y=kx-2，得k=2. 由點(diǎn)差法，得k=-，p=1. 所以直線l的方程為y=2x-2，拋物線C的方程為x2=-2y.

（2）設(shè)P（x0，y0），依題意，拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，△ABP的面積最大. 又y′=-x，所以-x0=2？圯x0= -2，y0=-x20=-2，所以P（-2，-2）.

此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離d===.

由y=2x-2，x2=-2y得x2+4x-4=0，AB=·=·=4. 所以△ABP的面積的最大值為×4×=8.

變式練習(xí)

1. （2014年高考遼寧卷）已知點(diǎn)A（-2，3）在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為（ ）

A. B. C. D.

2. （2014年高考新課標(biāo)卷Ⅰ）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn). 若=4，則等于（ ）

A. B. 3 C. D. 2

3. （2014年高考新課標(biāo)卷Ⅱ）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）

A. B.

C. D.

4. 設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，則AF+BF的值是_____.

5. （2014年高考湖南卷）如圖3，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a，b（a0）經(jīng)過(guò)C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則=________.

圖3

6. （2014年高考全國(guó)卷）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且QF=PQ.

（1）求C的方程；

（2）過(guò)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.

參考答案

1. D 2. B 3. D

4. 6 5. 1+

6. （1）設(shè)Q（x0，4），代入y2=2px，得x0=，所以PQ=，QF=+x0=+. 由題設(shè)得+=×，解得p=-2（舍去）或p=2. 所以C的方程為y2=4x.

（2）依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x，得y2-4my-4=0. 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4. 故線段AB的中點(diǎn)為D（2m2+1，2m），AB=y1-y2=4（m2+1）.

又直線l′的斜率為-m，所以l′的方程為x=-y+2m2+3. 將上式代入y2=4x，并整理得y2+y-4（2m2+3）=0.

設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），則y3+y4=-，y3y4=-4（2m2+3），故線段MN的中點(diǎn)為E+2m2+3，-，MN=·y3-y=.

由于線段MN垂直平分線段AB，故A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于AE=BE=MN. 從而AB2+DE2=MN2，即4（m2+1）2+2m+2++22=，化簡(jiǎn)得m2-1=0，解得m=1或m=-1. 故所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.