圓的方程

王歷權(quán)　黨忠良

從近幾年的高考試題來(lái)看，求圓的方程、已知圓的方程求圓的圓心坐標(biāo)及半徑等都是高考熱點(diǎn)，題型既有選擇題，也有填空題、解答題，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程；主觀題往往在知識(shí)交匯處命題.除上述考查點(diǎn)以外，還考查待定系數(shù)法、方程思想等.

重點(diǎn)難點(diǎn)

本部分內(nèi)容由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程和圓的參數(shù)方程三個(gè)部分組成.

重點(diǎn)：（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，并能解決一些簡(jiǎn)單的與圓有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. （2）學(xué)會(huì)把圓的幾何性質(zhì)與解析法結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題.同時(shí)不斷培養(yǎng)觀察能力，尋找參數(shù)之間的聯(lián)系，掌握必要的技巧，找準(zhǔn)解題方向，提高解題能力. （3）熟悉并掌握與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求法.

難點(diǎn)：利用圓的幾何性質(zhì)解決圓的綜合問(wèn)題.

方法突破

1. 求圓的方程常用待定系數(shù)法.若已知條件和圓心、半徑有關(guān)，可先用已知條件求出圓心和半徑，再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若已知條件涉及圓過(guò)幾點(diǎn)，往往用圓的一般方程求解；若所求的圓過(guò)已知兩圓的交點(diǎn)（或一直線與一圓的交點(diǎn)）一般用圓系方程求解.

2. 確定圓的方程主要是待定系數(shù)法，大致步驟為：（1）根據(jù)題意選擇方程形式；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；（3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.

3. 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的有以下幾種類型：（1）形如u=型的斜率最值問(wèn)題；（2）形如z=ax+by型的截距最值問(wèn)題；（3）形如（x-a）2+（y-b）2型的距離最值問(wèn)題.

4. 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下幾種方法：

（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.

（2）定義法：根據(jù)直線、圓、圓錐曲線等定義列方程.

（3）幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程.

（4）相關(guān)點(diǎn)法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，帶入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.

典例精講 例1 過(guò)點(diǎn)A（6，0），B（1，5），且圓心C在直線l：2x-7y+8=0上的圓的方程為_(kāi)_______.

思索 可根據(jù)已知條件，先求出圓心C的坐標(biāo)，再求得圓的半徑r（r=AC）；也可用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，依據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組求解.

破解 解法1：由A（6，0），B（1，5）可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，且kAB=-1，所以線段AB的垂直平分線的方程為y-=x-，即x-y-1=0. 由方程組x-y-1=0，2x-7y+8=0得圓心C的坐標(biāo)為（3，2），且半徑r=AC=. 綜上可得，所求圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=13.

解法2：設(shè)所求圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，由已知得（6-a）2+b2=r2，2a-7b+8=0，（1-a）2+（5-b）2=r2，解得a=3，b=2，r2=13. 綜上可得，所求圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=13.

解法3：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），由已知得36+6D+F=0，1+25+D+5E+F=0，2×--7×-+8=0，解得D= -6，E=-4，F(xiàn)=0. 綜上可得，所求圓的方程為x2+y2-6x-4y=0，即（x-3）2+（y-2）2=13.

例2 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，5），且與直線x-2y=0和2x+y=0都相切的圓的方程.

思索 欲確定圓的方程，需確定圓心坐標(biāo)與半徑. 由于所求圓過(guò)定點(diǎn)A，故只需確定圓心坐標(biāo). 又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.

破解 因?yàn)閳A和直線x-2y=0與2x+y=0相切，所以圓心C在這兩條直線的交角平分線上.

又因?yàn)閳A心到兩直線x-2y=0和2x+y=0的距離相等，所以=. 所以兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0.

又因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)A（0，5），所以圓心C只能在直線3x-y=0上. 設(shè)圓心C（t，3t），因?yàn)镃到直線2x+y=0的距離等于AC，所以=. 化簡(jiǎn)整理得t2-6t+5=0，解得t=1或t=5. 所以圓心是（1，3），半徑是或圓心是（5，15），半徑是5.

所以可得所求圓的方程為（x-1）2+（y-3）2=5或（x-5）2+（y-15）2=125.

例3 求圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交點(diǎn)的圓的方程.

思索 由圓系方程先設(shè)出所求圓的方程，得出圓的坐標(biāo)代入已知直線方程，求出參數(shù)后即得圓的方程.

破解 設(shè)經(jīng)過(guò)兩已知圓的交點(diǎn)的圓的方程為x2+y2-4x-3+λ（x2+y2-4y-3）=0（λ≠-1），則其圓心的坐標(biāo)為，. 因?yàn)樗髨A的圓心在直線x-y-4=0上，所以--4=0，解得λ=-. 所以所求圓的方程為x2+y2-6x+2y-3=0.

例4 （1）已知圓O1：（x-3）2+（y-4）2=1，P（x，y）為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求d=x2+y2的最大值和最小值.

（2）已知圓O2：（x+2）2+y2=1，P（x，y）為圓上任一點(diǎn)，求的最大值和最小值.

思索 （1）（2）兩小題都涉及圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或用數(shù)形結(jié)合解決.

破解 （1）解法1：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-3）2+（y-4）2=1，可設(shè)圓的參數(shù)方程為x=3+cosθ，y=4+sinθ（θ是參數(shù)）. 則d=x2+y2=9+6cosθ+cos2θ+16+8sinθ+sin2θ=26+6cosθ+8sinθ=26+10cos（θ-φ）其中tanφ=. 所以可得dmax=26+10=36，dmin=26-10=16.endprint