橢圓及其性質(zhì)

章少川

橢圓及其性質(zhì)是每年高考考查的重要考點(diǎn)，包含橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系等內(nèi)容. 以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查橢圓相關(guān)概念的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度不大；以解答題的形式出現(xiàn)，考查直線與橢圓位置關(guān)系等綜合問(wèn)題，對(duì)運(yùn)算求解能力、推理論證能力，以及函數(shù)方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要求較高.多數(shù)占據(jù)解答題壓軸題的位置.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）掌握橢圓的定義，能利用橢圓的定義求解焦點(diǎn)三角形問(wèn)題；（2）掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能準(zhǔn)確判斷橢圓的形狀并求解標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，會(huì)求橢圓的離心率；（4）會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，能靈活求解有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值或定值問(wèn)題.

難點(diǎn)：（1）如何挖掘幾何關(guān)系實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)與方程之間的合理轉(zhuǎn)化；（2）如何在恒等變形中減少?gòu)?fù)雜的運(yùn)算過(guò)程.

方法突破

1. 橢圓定義的應(yīng)用

凡是涉及與兩個(gè)定點(diǎn)的“距離的和”有關(guān)的問(wèn)題，都可考慮利用橢圓的定義與性質(zhì)進(jìn)行探索，特別是有關(guān)“焦點(diǎn)三角形”的問(wèn)題，還經(jīng)常結(jié)合正、余弦定理進(jìn)行考查.

2. 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

常用定義法和待定系數(shù)法.一般可采用“先定形，后定式，再定量”的解題步驟.

定形——指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱(chēng)軸的位置.

定式——根據(jù)“形”設(shè)出方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0）.

定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中待定系數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到量的大小.

3. 求橢圓的離心率

關(guān)鍵是先把橢圓方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，明確焦點(diǎn)的位置，長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)及不同參數(shù)間的相互關(guān)系. 其中離心率的相關(guān)問(wèn)題是考查熱點(diǎn)，若題目明確告訴了有關(guān)的等量或不等量關(guān)系，可直接構(gòu)造方程或不等式求解，否則，需充分挖掘隱含條件，借助圓錐曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造a，b，c的關(guān)系式求解.

4. 直線與橢圓的位置關(guān)系

（1）直線與橢圓的位置關(guān)系可分為相交、相切、相離三種，實(shí)際上是研究它們組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般用根的判別式來(lái)判斷.

（2）當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）；涉及過(guò)焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，常用定義求解；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求.更多的問(wèn)題還應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的關(guān)系并靈活轉(zhuǎn)化，以達(dá)到事半功倍之效.

5. 橢圓中的定值、最值問(wèn)題

（1）橢圓中的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決：①若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，則一般可用圖形的性質(zhì)來(lái)解決；②若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)了明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式）求最值.

（2）有關(guān)定點(diǎn)、定值問(wèn)題，實(shí)際上是恒成立的問(wèn)題，解題時(shí)一般是從特定元的限制（如斜率）和特殊圖形的情況（如過(guò)原點(diǎn)、垂直、平行）猜出定值，再通過(guò)坐標(biāo)、方程證明一般情況.

典例精講

例1 （2014年高考遼寧卷）已知橢圓C：+=1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合. 若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則AN+BN=________.

思索 本題是關(guān)于焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，所求AN與BN的長(zhǎng)很容易轉(zhuǎn)化為焦半徑來(lái)考慮，利用三角形中位線性質(zhì)并結(jié)合橢圓定義可解決.

破解 如圖1，MN的中點(diǎn)為Q， 易得QF2=NB，QF1=AN. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓C上，所以可得QF1+QF2=2a=4，所以AN+BN=8.

例2 （2014年高考大綱卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為（ ）

A. +=1？搖？搖？搖 B. +y2=1？搖？搖？搖

C. +=1？搖？搖？搖 D. +=1

思索 求橢圓的方程常采用待定系數(shù)法，即通過(guò)列方程組求出a，b的值. 本題由于是過(guò)焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，可結(jié)合定義轉(zhuǎn)換條件進(jìn)行求解.

破解 由已知可得4a=4，所以a=. 又=，則得c=1，所以b2=a2-c2=，故C的方程為+=1. 選A.

例3 （2014年高考新課標(biāo)卷Ⅰ）已知點(diǎn)A（0，-2）， 橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

思索 （1）由已知條件直接求得a，c的值即可得橢圓方程. （2）問(wèn)屬于直線與橢圓關(guān)系的常規(guī)問(wèn)題，可建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)來(lái)求最值，求最值方法多為配方法、均值不等式法、三角函數(shù)法或?qū)?shù)法等.

破解 （1）設(shè)F（c，0），由條件可知，=，得c=. 又=，所以a=2，b2=a2-c2=1. 故E的方程+y2=1.？搖？搖？搖

（2）當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y=kx-2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）. 將y=kx-2代入+y2=1，得（1+4k2）x2-16kx+12=0. 當(dāng)Δ=16（4k2-3）>0，即k2>時(shí)，x1，2=. 從而PQ=x1-x2=. 又點(diǎn)O到直線PQ的距離d=，所以△OPQ的面積S△OPQ=dPQ=. 設(shè)=t，則t>0，S△OPQ==≤1，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0. 所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為y=x-2或？搖y=-x-2.

例4 已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1+PF2=2，記點(diǎn)P的軌跡為曲線Γ.endprint

（1）求曲線Γ的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C是曲線Γ上的不同三點(diǎn)，且++=0.

①試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結(jié)論；

②當(dāng)直線AB過(guò)點(diǎn)F1時(shí)，求直線AB，OC與x軸所圍成的三角形的面積.

思索 （1）根據(jù)橢圓的定義求解方程. （2）本題考查解幾坐標(biāo)法綜合運(yùn)用的能力；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.設(shè)直線AB的方程時(shí)要注意考慮斜率是否存在.

破解 （1）由條件可知，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（1，0），F(xiàn)2（-1，0）的距離之和為定值2，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.又a=，c=1，所以b=1，故所求曲線的方程為+y2=1.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）. 由++=0，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

①可設(shè)直線AB的方程為y=kx+n（k≠0），代入x2+2y2=2并整理得（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0.

依題意，Δ>0，則x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2n=，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為，-，kOC=-. 因?yàn)閗AB·kOC=-，所以直線AB與OC的斜率之積為定值.？搖

②若AB⊥x軸時(shí)，A-1，，B-1，-. 由++=0，得點(diǎn)C（2，0），所以點(diǎn)C不在橢圓Γ上，不合題意. 因此直線AB的斜率存在.

由①可知，當(dāng)直線AB過(guò)點(diǎn)F1時(shí)， n=k，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，-. 代入x2+2y2=2得+=2，即8k4=2，所以k=±.

當(dāng)k=時(shí)，由①知，k·kOC=-，從而kOC=-. 故AB，OC及x軸所圍成三角形為等腰三角形，其底邊長(zhǎng)為1，且底邊上的高h(yuǎn)=×=. 故所求等腰三角形的面積S=×1×=. 當(dāng)k=-時(shí)，又由①知，k·kOC=-，從而kOC=，同理可求得直線AB，OC與x軸所圍成的三角形的面積為.

綜上所述，直線AB，OC與x軸所圍成的三角形的面積為.

變式練習(xí)

1. 設(shè)橢圓+=1（m>0，n>0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的短軸長(zhǎng)為_(kāi)_______.

2. 橢圓+=1（0

A. B.

C. D.

3. 已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率為k1，k2. 若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則k1·k2的值為_(kāi)_______.

4. 已知橢圓E1：+=1，E2：+=2，過(guò)E1上第一象限上一點(diǎn)P作E1的切線，交E2于A，B兩點(diǎn).

（1）已知圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0），則過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為xx0+yy0=r2，類(lèi)比此結(jié)論，寫(xiě)出橢圓+=1在其上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程，并證明.

（2）求證：AP=BP.

5. 已知點(diǎn)P1，-在橢圓C：+=1（a>b>0）上，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2（1，0）的直線l與橢圓C交于M，N 兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，且MN∥AB，W=. 試判斷W是否為定值. 若W為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若W不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

1. 4 2. C 3. -

4. （1）切線方程+=1. 在第一象限內(nèi)，由+=1可得y=，y0=. 橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率k=y′（x0）=-= -，切線方程為y=-（x-x0）+y0，即+=1.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，+=1，+=2？圯b2+x2-x+-2a2b2=0. =·===x0. 所以P為A，B中點(diǎn)，AP=BP.

5. （1）因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為（1，0），所以c=1，且橢圓C的左焦點(diǎn)為（-1，0），從而得2a=+=+=4，解得a=2. 所以b2=a2-c2=4-1=3. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，AB2=（2b）2=4b2，MN=，所以W===2a=4. ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）. 由+=1，y=k（x-1）得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=，x1x2=. MN=x1-x2===. 由+=1，y=kx消去y，并整理得x2=. 設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），則AB=x3-x4=4，所以W===4. 綜上所述，W為定值4.