基礎夯實：直線方程與兩條直線的位置關系

周喻鳴

直線方程與兩條直線的位置關系是高考考查的主要內容. 考查直線方程的特征值（例如斜率、截距）、直線的平行與垂直的條件，以及與距離有關的問題. 在選擇題和填空題方面，大都屬于中、低檔題，考查直線的基本概念和幾何要素；而在解答題方面，直線往往與圓、圓錐曲線綜合考查，具有一定的靈活性. 同時，我們要了解直線的斜截式方程與一次函數的關系，對有關函數、不等式等代數問題能夠借助直線方程進行解決，提高解題的綜合運用能力，比較典型的是線性規(guī)劃問題

（1）對于直線方程，重點是掌握其五種表達形式，難點是在具體的數學問題情境中正確選擇直線的方程形式.

（2）對于兩條直線的位置關系，重點是掌握平行和垂直關系，難點是點線對稱問題. 若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則①l1∥l2？圳k1=k2，b1≠b2；②l1⊥l2？圳k1k2=-1. 若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，則①l1∥l2？圳A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0；②l1⊥l2？圳A1A2+B1B2=0.

（1）分類討論思想：由于有的直線不存在斜率，所以在解答直線方程問題時，我們往往要分類討論直線斜率是否存在，避免漏解.

（2）數形結合思想：“數缺形時難直觀”，數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，將抽象思維與形象思維相結合，使數學問題化抽象為具體. 將二元一次方程（即直線的方程）用直線表示，可以形象直觀地看到直線的幾何特性，從而為解題指出正確的方向，尤其對于最值問題和對稱問題.

（3）設直線方程的一些常用技巧如下：

①若直線在y軸上的截距為b，則設其為y=kx+b.

②若直線在x軸上的截距為a，則設其為x=my+a其中m=.

③若直線存在斜率k，則設其為y=kx+b.

④若直線過點P（x0，y0），則設其為y-y0=k（x-x0）.

⑤若與直線Ax+By+C=0平行，則設其為Ax+By+C′=0（C≠C′）.

⑥若與直線Ax+By+C=0垂直，則設其為Bx-Ay+C′=0.

⑦若與直線y=kx+b平行，則設其為y=kx+b′（b≠b′）.

⑧若與直線y=kx+b（k≠0）垂直，則設其為y=-x+b′.

（4）轉化思想：將直線幾何問題代數化，用代數的語言描述直線的幾何要素及其關系，幾何問題轉化為代數問題；將代數問題幾何化，用直線的幾何特性理解二元一次方程，將代數問題轉化為幾何問題.

例1 （2014年高考福建卷）已知直線l過圓x2+（y-3）2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則直線l的方程是（ ）

A. x+y-2=0 B. x-y+2=0

C. x+y-3=0 D. x-y+3=0

思索 與直線Ax+By+C=0垂直的直線的方程可設為Bx-Ay+C′=0；若直線l1和直線l2存在斜率k1，k2，則l1⊥l2？圳k1·k2=-1.

破解1 因為直線l與直線x+y+1=0垂直，所以設直線l的方程為x-y+C=0（C為待定的系數）. 又因為直線l過圓心（0，3），所以0-3+C=0，即C=3. 所以直線l的方程為x-y+3=0. 故選D.

破解2 直線x+y+1=0的斜率k= -1，所以直線l的斜率kl=1. 因為直線l過點（0，3），所以直線l的方程為y-3=1·（x-0），即x-y+3=0. 故選D.

思索 對于直線ax+y+2=0，容易發(fā)現其恒過定點（0，-2），所以可以利用數形結合思想解決問題. 另外要注意得出范圍-，這種常見錯誤.

破解 由直線ax+y+2=0恒過定點M（0，-2），及kMA=-，kMB=. 因為直線的斜率為-a，故-a>-，且-a<，所以a∈-，. 故選B.

例3 已知點A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直線y=ax+b（a>0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（ ）

A. （0，1）

B. 1-，

C. 1-，

D. ，

思索 根據題意畫出圖形，根據面積相等得出a，b的關系式，然后求出b的取值范圍.

破解 由題意畫出示意圖.

由圖可知，直線BC的方程為x+y=1，由x+y=1，y=ax+b解得M，.可求得N（0，b），D-，0. 因為直線y=ax+b將△ABC分割為面積相等的兩部分，所以S△BDM=S△ABC. 又S△BOC=S△ABC，所以S△CMN=S△ODN，即×-×b=×（1-b）×，整理得=. 所以=，所以-1=，所以=+1，即b=.

可以看出，當a增大時，b也增大.當a→+∞時，b→，即b<；當a→0時，直線y=ax+b接近于y=b，當y=b時，如圖2，===. 所以1-b=，所以b=1-. 所以b>1-. 由上分析可知1-

例4 （2014年高考四川卷）設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則PA+PB的取值范圍是（ ）

思索 可根據直線方程分別確定定點A，B的坐標，根據兩條動直線的方程可知兩直線垂直，從而可確定點P滿足的條件，最后根據基本不等式求PA+PB的取值范圍.

破解 由動直線x+my=0知定點A的坐標為（0，0），由動直線mx-y-m+3=0知定點B的坐標為（1，3），且兩直線互相垂直，故點P在以AB為直徑的圓上運動.

當點P與點A或點B重合時，PA+PB取得最小值，（PA+PB）min=AB=.

當點P與點A或點B不重合時，在Rt△PAB中，有PA2+PB2=AB2=10. 因為PA2+PB2≥2PA·PB，所以2（PA2+PB2）≥（PA+PB）2，當且僅當PA=PB時取等號. 故PA+PB≤=×=2.

所以≤PA+PB≤2，選項B正確.

例5 已知函數y=的圖象與函數y=kx-2的圖象恰有兩個交點，則實數k的取值范圍是________.

思索 對于該題，命題者表面呈現給我們的是考查函數與方程，實質上是考查直線方程和數形結合的思想. 第一步，作出函數的圖象；第二步，認識到函數y=kx-2的圖象就是直線，該直線的幾何特性就是斜率為k，在y軸上的截距為-2；第三步，分析k值發(fā)生變化時兩個函數圖象的交點個數，確定有兩個交點時k的取值范圍.

破解 由已知可得函數=，從而化簡得函數y=x+1，x<-1或x>1，-x-1，-1

因為函數y=kx-2的圖象是一條在y軸上的截距為-2（即過點P（0，-2））的直線l，要使直線l與函數y=的圖象有兩個不同的交點，則直線l既與線段CD（不含端點）相交，又與射線BA相交，所以0

1. 直線y=x+與圓心為D的圓x=+cosθ，y=1+sinθ（θ∈[0，2π））交于A，B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為（ ）

A. π B. π

C. π D. π

2. 已知直線l的傾斜角為π，直線l1經過點A（3，2）和B（a，-1），且直線l1與直線l垂直，直線l2的方程為2x+by+1=0，且直線l2與直線l1平行，則a+b等于（ ）

A. -4 B. -2 C. 0 D. 2

3. 等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為x+y-2=0和x-7y-4=0，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（ ）

B. -2？搖？搖？搖？搖？搖？搖C. 0？搖？搖？搖？搖？搖 D. 2

4. 與直線4x-3y+5=0垂直，且與兩坐標軸圍成的三角形的周長為10的直線方程為_______.

5. 函數y=asinx-bcosx（ab≠0）的一條對稱軸的方程為x=，則以向量c=（a，b）為方向向量的直線的傾斜角為________.

6. 已知射線l：y=4x（x>0）和點M（6，4），在射線l上求一點N，使直線MN與l及x軸圍成的三角形面積S最小.

參考答案

1. C

2. B

3. A

4. 可設與4x-3y+5=0垂直的直線方程為3x+4y+b=0. 令x=0，得y=-，即A0，-；令y=0，得B-，0.

又因為三角形的周長為10，即OA+OB+AB=10，所以-+-+=10，解得b=±10，故所求直線方程為3x+4y±10=0.

5. 135°

6. 設N（x0，4x0）（x0>0），則直線MN的方程為（4x0-4）（x-6）-（x0-6）·（y-4）=0. 令y=0，得x=.

又>0且x0>0，所以x0>1，所以三角形面積S=·4x0·=≥102+2=40，當且僅當x0-1=，即x0=2時取等號，所以當N為（2，8）時，三角形面積S最小.