基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的勾股定理教學(xué)實(shí)踐
——蘇科版數(shù)學(xué)教材八上3.1勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)
☉江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校 萬廣磊
1.本課的地位與作用
勾股定理是反映自然界規(guī)律的一條重要結(jié)論,它是初等幾何中最精彩的,也是最著名和最有價(jià)值的定理之一,被譽(yù)為“幾何明珠”,它在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位,在現(xiàn)實(shí)生活中也有廣泛的應(yīng)用.
本節(jié)課是《九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》(蘇科版2013年版)八年級上冊3.1“勾股定理”的第一課時(shí),勾股定理的實(shí)質(zhì)是從邊的角度進(jìn)一步對直角三角形的特征進(jìn)行刻畫.此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識,如三角形的三邊不等關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角形全等的性質(zhì)與判定、直角三角形的斜邊上中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、軸對稱圖形等,初步感受到了公理化的思想.此外,在七年級下學(xué)期,學(xué)生也學(xué)過利用圖形面積來探究數(shù)式運(yùn)算規(guī)律的方法,如單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、乘法公式、因式分解等知識和方法,初步感受了數(shù)形結(jié)合的思想.
本節(jié)課是在學(xué)生原有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究直角三角形的三邊之間的二維等量關(guān)系.通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的系列開展,學(xué)生自主探索和發(fā)現(xiàn)勾股定理,構(gòu)建知識鏈,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思維能力得到豐富和發(fā)展.此外,探求勾股定理的過程也蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想:把直角三角形“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊之間“數(shù)”的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想;用“割”、“補(bǔ)”的方法探究三個(gè)正方形面積的關(guān)系,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想;從特殊直角三角形到一般直角三角形,從直角三角形到銳角三角形和鈍角三角形,都體現(xiàn)了特殊到一般的思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)的辯證思想.另外,從數(shù)學(xué)文化史的角度看,勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證也蘊(yùn)含著文化價(jià)值和理性精神.
2.教學(xué)目標(biāo)
(1)知識與技能:能利用實(shí)驗(yàn)探究驗(yàn)證勾股定理,理解勾股定理并會簡單應(yīng)用.
(2)過程與方法:通過系列化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、反思的全過程,發(fā)展合情推理、歸納和概括能力,體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
(3)情感態(tài)度與價(jià)值觀:培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的意識,體驗(yàn)成功喜悅,了解勾股定理歷史,感受其文化價(jià)值,增強(qiáng)民族自豪感,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.
3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
董林偉主任在《初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐》一書中說:“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不是學(xué)生被動地接受課本上的或老師敘述的現(xiàn)成結(jié)論,而是學(xué)生從自己的‘?dāng)?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),出發(fā),通過自己動手、動腦,用觀察、模仿、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得經(jīng)驗(yàn),逐步建構(gòu)并發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動過程”.[1]
結(jié)合以上關(guān)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的論述,特制定教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)如下:
(1)教學(xué)重點(diǎn):通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證勾股定理,引導(dǎo)學(xué)生獲得研究問題的方法經(jīng)驗(yàn),并簡單應(yīng)用勾股定理.
(2)教學(xué)難點(diǎn):運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想,通過“割”、“補(bǔ)”的方法探索、驗(yàn)證勾股定理.
孫朝仁所長指出:“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要遵循目標(biāo)性、整體性、多樣性和簡約性等原則,還要融入微觀的經(jīng)驗(yàn)元素、直觀元素、普適元素及創(chuàng)造元素,方能釋放數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)在力量”.[2]
據(jù)此,教法設(shè)計(jì)和學(xué)法指導(dǎo)如下.
1.教法設(shè)計(jì)
采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué),通過系列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),提供自主探究交流的空間,充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,有目的地探索和應(yīng)用勾股定理.
2.學(xué)法指導(dǎo)
網(wǎng)格紙和拼圖實(shí)驗(yàn)為學(xué)生設(shè)計(jì)計(jì)算面積的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺,結(jié)合多媒體課件演示,引導(dǎo)學(xué)生探索勾股定理.
3.教學(xué)準(zhǔn)備
實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙,課件(含幾何畫板文件).
1.創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課
圖1
圖2
圖3
圖4
(1)展示1955年希臘為紀(jì)念2500年前的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派而發(fā)行的郵票,如圖1所示.
思考:學(xué)生說出圖中三角形的形狀,指出三個(gè)正方形的面積之間的關(guān)系.
(2)展示2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的徽標(biāo),如圖2所示,簡單介紹會議背景.
思考:學(xué)生說出圖中大正方形的面積計(jì)算方法.
設(shè)計(jì)意圖:情境創(chuàng)設(shè)尊重了教材的編寫意圖,郵票和會徽的展示說明勾股定理所贏得的尊重,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.初步感受勾股定理的文化價(jià)值,為下一步數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)做鋪墊.
2.實(shí)驗(yàn)探究,合作交流
實(shí)驗(yàn)一:畫一畫.
把直角三角形ABC紙片放在如圖3所示的網(wǎng)格圖中(每個(gè)小正方形邊長為1 cm),分別以三邊為邊向外翻作正方形,觀察并思考,再填空:
(1)正方形P的面積為________cm2,正方形Q的面積為________cm2,正方形R的面積為________cm2.
(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中正方形P、Q、R的面積之間有什么關(guān)系嗎?從中你發(fā)現(xiàn)了什么?
說明:實(shí)驗(yàn)一以特殊的等腰直角三角形來鋪墊定理的發(fā)現(xiàn),計(jì)算面積過程相對簡單.
實(shí)驗(yàn)二:想一想.
思考:其他一般直角三角形是否也有類似的性質(zhì)呢?我們來繼續(xù)觀察圖4.
(1)正方形P的面積為_______cm2,正方形Q的面積為________cm2,正方形R的面積為________cm2.
(2)你發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖和郵票中的圖有什么關(guān)系嗎?正方形P、Q、R的面積之間的關(guān)系是什么?
(3)你會用直角三角形的邊長表示正方形P、Q、R的面積嗎?
(4)你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎?與同伴進(jìn)行交流.
說明:實(shí)驗(yàn)二通過發(fā)現(xiàn)圖4和郵票中的圖之間的關(guān)系是面積不變,因此學(xué)生在網(wǎng)格圖中計(jì)算R的面積時(shí)有了目標(biāo),因此要通過“割”與“補(bǔ)”的方法將R轉(zhuǎn)化為幾個(gè)圖形的和差,如圖5、圖6所示,切實(shí)加深對數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想的理解.
圖5
圖6
實(shí)驗(yàn)三:試一試.
(1)按照以下要求操作(請學(xué)生拿出實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙進(jìn)行操作):
①在實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙中,畫出兩條直角邊分別為任意整數(shù)值的直角三角形,分別以三邊為邊向外翻作正方形.
②驗(yàn)證結(jié)論對直角三角形是否成立?
(2)學(xué)生用文字語言總結(jié),并用幾何語言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn).
學(xué)生猜想(以回答出該問題的同學(xué)命名):在直角三角形中,以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和(或直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方).
說明:實(shí)驗(yàn)三從特殊的直角三角形到一般的直角三角形進(jìn)行探究,揭示了勾股定理的普遍性,都可以從面積角度和代數(shù)式角度進(jìn)行表述.
實(shí)驗(yàn)四:辨一辨.
(1)按照以下要求操作(讓學(xué)生拿出實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙進(jìn)行操作):
①在實(shí)驗(yàn)用的網(wǎng)格紙中,同桌的兩人各自畫出兩條邊分別為任意整數(shù)值的鈍角三角形和銳角三角形,分別以三邊為邊向外翻作正方形.
②驗(yàn)證結(jié)論對所畫三角形是否成立?相互交流.
③教師用兩只手打手勢的方法(模仿直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形)讓學(xué)生直觀地感受結(jié)論.
(2)學(xué)生用文字語言表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn).
鈍角三角形兩條短邊的平方和小于最長邊的平方,銳角三角形兩條短邊的平方和大于最長邊的平方,因此只有直角三角形的兩條短邊的平方和等于最長邊的平方.
說明:實(shí)驗(yàn)四讓學(xué)生知道,勾股定理是直角三角形特有的三邊關(guān)系定理,其他三角形所不具有.
設(shè)計(jì)意圖:在四次實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,學(xué)生意識到了研究的方法是從特殊的直角三角形到一般的直角三角形,從直角三角形到斜三角形,學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有直角三角形才有勾股定理,進(jìn)一步完善對勾股定理的表述,加深理解.
3.驗(yàn)證定理,解釋內(nèi)涵
(1)實(shí)驗(yàn)五:拼一拼.
①每人用4張全等的直角三角形紙片(兩條直角邊不相等)拼一拼,看看能否得到一個(gè)以c為一邊的正方形?
②用你拼好的圖形證明剛才的發(fā)現(xiàn),請?jiān)敿?xì)表達(dá)(預(yù)測會出現(xiàn)圖7、圖8兩個(gè)圖形).
圖7
圖8
說明:當(dāng)學(xué)生拼出以上兩個(gè)圖形后,指導(dǎo)學(xué)生如何抓住拼圖的面積等量關(guān)系構(gòu)建等式發(fā)現(xiàn)結(jié)論.學(xué)生自主選擇證明其中一個(gè).介紹趙爽弦圖(圖9)、北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)(圖2)和總統(tǒng)證法(美國第20任總統(tǒng)加菲爾德的證明方法,如圖10),都與“割”、“補(bǔ)”的方法有關(guān).
圖9
圖10
圖11
(2)歸納定理.
勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
幾何語言:如圖11,在△ABC中,因?yàn)椤螩=90°,所以a2+b2=c2.
說明:勾股定理的本質(zhì)是揭示了直角三角形三邊的平方之間的等量關(guān)系.
(3)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出勾股定理的變式和簡便計(jì)算方法.由a2+b2=c2,可得a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a).
(4)數(shù)學(xué)欣賞,動感體驗(yàn).
①展示幾何畫板軟件繪制的勾股樹,如圖12、圖13所示.
圖12
圖13
圖14
圖15
②用幾何畫板演示勾股樹,提問:如圖13,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形邊長是7 cm,則四個(gè)正方形A、B、C、D的面積之和是_______cm2,所有的正方形的面積之和是______cm2.試找出其中的規(guī)律.
說明:動態(tài)幾何的引入更加直觀地感受到勾股定理的魅力,探究幾個(gè)正方形面積之和時(shí)運(yùn)用到整體和轉(zhuǎn)化思想,規(guī)律的探究突出從特殊到一般的思想.
(4)介紹勾股定理.
①勾股定理(公元前4000多年前).
中國古代,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”,下半部分稱為“股”,后人還把直角三角形較短直角邊稱為“勾”,較長直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”,如圖14所示.
②商高定理(公元前1120年前后).
公元前1120年前后,周朝數(shù)學(xué)家商高提出:將一根直尺折成一個(gè)直角,即有“勾三、股四、弦五”,記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.
③陳子定理(公元前700年前后).
陳子和榮方討論用勾股定理來測量太陽的高度,如圖15所示,推廣到一般的直角三角形.
④畢達(dá)哥拉斯定理(Pythagoras定理,公元前600年前后).
兩千多年前,古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理,因此國外通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理和百牛定理.
⑤在地球以外是否存在生命這個(gè)問題上,我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾認(rèn)為,如果外星人也擁有文明的話,我們可以用“勾股定理”的圖形作為人類探尋“外星人”并與“外星人”聯(lián)系的“語言”.
設(shè)計(jì)意圖:概念教學(xué)不僅讓學(xué)生明白知識“是什么”,更重要的是“為什么”.[3]定理的教學(xué)也是如此.通過拼圖實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生動腦動手驗(yàn)證和歸納勾股定理,并用幾何語言表達(dá)出來.勾股樹則體現(xiàn)了勾股定理與信息技術(shù)相結(jié)合的奇異美,勾股定理的歷史介紹凸顯了它的文化價(jià)值.
4.運(yùn)用新知,體驗(yàn)成功
例1如圖16,字母B所代表的正方形的面積是().
A.12B.13C.144D.194
變式:正方形B的邊長等于多少?如何計(jì)算?
例2如圖17,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,若b=12,c=13,求a.
變式1:如圖18,若D為AB的中點(diǎn),試求CD的長與△CDA的面積.
變式2:若CE⊥AB于點(diǎn)E,求CE的長.
圖17
圖16
圖18
例3觀察國外數(shù)學(xué)愛好者設(shè)計(jì)的“流水版”勾股定理,如圖19,試說明:為什么兩個(gè)水箱中的水最后可以正好裝滿下面的水箱?
圖19
說明:學(xué)生可能會解釋為兩個(gè)小的長方體水箱的體積之和等于大的長方體水箱的體積,若直角邊分別為a、b,斜邊為c,得到a3+b3=c3.因?yàn)槿齻€(gè)水箱的厚度h相同,所以得到a2h+b2h=c2h,實(shí)際上是a2+b2=c2.如果都是正方體,可得a3+b3=c3.這里還可以進(jìn)一步介紹費(fèi)馬大定理:當(dāng)整數(shù)n>2時(shí),關(guān)于x、y、z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解.
設(shè)計(jì)意圖:通過練習(xí)和變式訓(xùn)練,強(qiáng)化所學(xué)知識,通過變式提問,培養(yǎng)學(xué)生綜合所學(xué)知識解決問題的能力.網(wǎng)絡(luò)圖片中的數(shù)學(xué)知識,也是驗(yàn)證了勾股定理在生活中最直觀的體現(xiàn),費(fèi)馬大定理是巧妙的拓展.
5.獨(dú)立練習(xí),鞏固新知
例4已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是().
A.25B.14C.7D.7或25
例5如圖20,△ABC中,AB=AC=5,AD⊥BC于D,BC=6,則AD=______.
例6如圖21,Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中點(diǎn),若BC=6,CD=5,則AC=______,△ACD的面積=_____.
圖20
圖21
設(shè)計(jì)意圖:練習(xí)的設(shè)計(jì)體現(xiàn)出分層教學(xué)的要求,讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.設(shè)置問題以數(shù)學(xué)思想為主線,綜合所學(xué)數(shù)學(xué)知識解題.
6.交流收獲,總結(jié)展示
(1)學(xué)生交流本課收獲.
問題1:你是如何發(fā)現(xiàn)和探索勾股定理的?
問題2:勾股定理需滿足什么條件?能解決哪些簡單的問題?
問題3:你本節(jié)課學(xué)到了什么?
(2)教師評價(jià)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作中表現(xiàn),并展示學(xué)生的作品.
設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在三個(gè)問題的引領(lǐng)下回顧并歸納知識技能、思想方法、情感體驗(yàn).教師通過評比和展示激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.
7.布置作業(yè),鞏固訓(xùn)練
(1)作業(yè)本相關(guān)作業(yè),課本第80頁第1,2,3題.
(2)實(shí)驗(yàn)六:剪紙證明勾股定理.
若將圖22中的①②③④⑤剪下,用他們可以拼成一個(gè)與正方形ABDE大小一樣的正方形嗎?試一試!
圖22
設(shè)計(jì)意圖:把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)延伸到課外,讓學(xué)生保持持久的探究意識和學(xué)習(xí)熱情.
8.課堂結(jié)語,滲透理性
閱讀龐加萊(法國理論科學(xué)家和科學(xué)哲學(xué)家,領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家)名言:“如果我們想要預(yù)見數(shù)學(xué)的將來,適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀.”
設(shè)計(jì)意圖:提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識的同時(shí),也要知道數(shù)學(xué)知識形成和發(fā)展過程,認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有根的,并在一代代人的研究下得以全新的發(fā)展和飛躍.
1.董林偉.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的理論與實(shí)踐[M].南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,2013.
2.孫朝仁.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)滲透的四個(gè)元素[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2014(9).
3.董毓興,李靜.突破概念生成瓶頸的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2014(9).H