路面功率譜密度換算及不平度建模理論研究*

杜 峰， 葛曉成， 陳 翔， 丁金全

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州，510641) (2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400030) (3.吉林大學(xué)汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)春，130022)

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路面功率譜密度換算及不平度建模理論研究*

杜 峰1， 葛曉成2， 陳 翔3， 丁金全3

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 廣州，510641) (2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400030) (3.吉林大學(xué)汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 長(zhǎng)春，130022)

為了明晰路面不平度空間域統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，以及幾種重要功率譜密度(power spectral density,簡(jiǎn)稱PSD)之間的關(guān)系，以帕塞瓦爾定理和維納-辛欽定理為依據(jù)，在推導(dǎo)空間域自相關(guān)函數(shù)和PSD計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了不平度空間域位移、速度與加速度PSD以及空間頻率與角頻率PSD之間的換算關(guān)系。另外，為了完善傅里葉逆變換法路面建模中PSD離散化的理論基礎(chǔ)，以傅里葉級(jí)數(shù)與變換、離散傅里葉變換和頻域卷積定理為依據(jù)，從離散化的原因、目的和結(jié)果驗(yàn)證出發(fā)論證了PSD離散化的正確性。就模擬路面驗(yàn)證問(wèn)題，指出直接法譜估計(jì)的不合理之處，論證了平均周期圖法譜估計(jì)時(shí)，空間與時(shí)間采樣頻率分別對(duì)應(yīng)著空間域和時(shí)間域PSD輸出。結(jié)果表明，上述換算關(guān)系和論證是正確的，可應(yīng)用于路面不平度建模和汽車平順性分析。

公路； 汽車平順性； 功率譜密度； 路面不平度建模

引 言

空間域隨機(jī)信號(hào)分析對(duì)于路面不平度建模和汽車平順性分析非常重要[1-3]，大多文獻(xiàn)通過(guò)車速將其轉(zhuǎn)換到時(shí)間域進(jìn)行分析，影響了對(duì)路面空間域統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算和理解。

空間域路面不平度位移、速度和加速度功率譜密度之間的換算關(guān)系，是汽車平順性分析的重要基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[4]已給出確切表達(dá)式，但沒(méi)有解釋原由。文獻(xiàn)[5]也沒(méi)給出推導(dǎo)，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多直接應(yīng)用其結(jié)論[6]。盧士富[7]研究了這個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)在加以推導(dǎo)。

路面不平度空間頻率功率譜密度Gq(n)和空間角頻率功率譜密度Gq(Ω)之間的數(shù)量關(guān)系，在運(yùn)用維納-辛欽定理，經(jīng)由功率譜密度計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)非常重要，模擬路面標(biāo)準(zhǔn)差是驗(yàn)證生成路面準(zhǔn)確性的基本依據(jù)之一，但對(duì)此關(guān)系的分析論證和檢驗(yàn)很少，散布在文獻(xiàn)中的應(yīng)用顯示對(duì)二者關(guān)系理解不夠全面，需要做深入研究。

針對(duì)上述現(xiàn)象，筆者將以帕塞瓦爾定理和維納-辛欽定理為理論依據(jù)，對(duì)路面空間域自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的計(jì)算做出分析，并推導(dǎo)出路面不平度位移、速度和加速度功率譜密度之間換算關(guān)系，根據(jù)傅里葉變換對(duì)的兩種形式和文獻(xiàn)[4-5]，論證了空間頻率和角頻率功率譜密度之間的兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在汽車平順性仿真中，基于功率譜密度離散化的傅里葉逆變換法是路面空間建模的常用方法之一，其建模思想比較成熟，但尚有一個(gè)關(guān)鍵步驟缺乏嚴(yán)格理論分析[8]——功率譜密度離散化?，F(xiàn)有文獻(xiàn)通常都略過(guò)這些問(wèn)題[9]。

另外，在應(yīng)用傅里葉逆變換法做路面模擬時(shí)，細(xì)節(jié)處理不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。奇偶采樣點(diǎn)的對(duì)稱設(shè)置有區(qū)別，功率譜密度驗(yàn)證不能采用直接法計(jì)算，平均周期圖法譜估計(jì)采用空間和時(shí)間采樣頻率分別對(duì)應(yīng)著不同的功率譜密度輸出，這類關(guān)鍵細(xì)節(jié)在之前文獻(xiàn)很少涉及，文中將逐一分析。

筆者在深入理解傅里葉變換不同分類(周期連續(xù)信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換、能量信號(hào)傅里葉變換、離散時(shí)間傅里葉變換、離散傅里葉變換和周期離散信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù))本質(zhì)特性的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用傅里葉變換思想和頻域卷積定理，從理論上嚴(yán)格分析了功率譜密度離散化的問(wèn)題，并對(duì)工程應(yīng)用中的幾個(gè)關(guān)鍵細(xì)節(jié)給予分析，完善了基于功率譜密度離散化的傅里葉逆變換法路面建模的理論基礎(chǔ)，為準(zhǔn)確模擬路面不平度，進(jìn)行汽車平順性分析提供了保障。

1 空間域路面不平度計(jì)算

頻率可以指空間、時(shí)間和其它虛擬域，是單位域長(zhǎng)度所包含波長(zhǎng)的個(gè)數(shù)。路面建模在空間域中研究路面形狀，故采用空間頻率n，指單位空間(1 m)中所包含的路面波形的波長(zhǎng)個(gè)數(shù)?？臻g角頻率Ω=2πn?？臻g頻率和角頻率分別對(duì)應(yīng)時(shí)間域中的f和2πf，空間域信號(hào)變量l對(duì)應(yīng)時(shí)間域變量t。

1.1 位移不平度自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

路面位移不平度q=q(l)，其中自變量是長(zhǎng)度，因變量是高度，均為長(zhǎng)度單位量綱。q(l)為時(shí)域無(wú)限信號(hào)，工程中通常截取一段長(zhǎng)度L進(jìn)行研究。L的取值，要保障空間頻率分辨率，對(duì)于路面不平度信號(hào)的空間頻率在[0.011 2.83]m-1之間，故最小辨識(shí)頻率dn=1/L≤0.011，即L≥91 m。

空間長(zhǎng)度L的路面不平度信號(hào)為

(1)

其自相關(guān)函數(shù)為

(2)

其中：qL(l)為空間域有限信號(hào)，其空間域頻譜為連續(xù)譜Q(n,L)。

根據(jù)帕塞瓦爾定理，路面不平度信號(hào)的平均功率為

(3)

空間域單邊功率譜密度Gq(n)為

(4)

由維納-辛欽定理可換算出路面位移不平度時(shí)間域功率譜密度Gq(f)。

(5)

其中：l=ut(位移等于車速與時(shí)間乘積)，f=nu(時(shí)間頻率等于空間頻率與車速乘積)。

1.2 位移和速度及加速度功率譜密度關(guān)系

由自相關(guān)定義式(2)可得

(6)

自相關(guān)函數(shù)對(duì)長(zhǎng)度變量l的一、二階導(dǎo)數(shù)[7]分別為

(7)

(8)

根據(jù)維納-辛欽定理，改變求導(dǎo)和積分次序得

(9)

(10)

由式(8～10)可得

(11)

同理將自相關(guān)函數(shù)求三、四階導(dǎo)數(shù)，可得

(12)

1.3 空間頻率和空間角頻率功率譜密度關(guān)系

首先將傅里葉變換的常用形式表述如下

(13)

GB/T 7031—2005和ISO 8608—1995中的一個(gè)重要關(guān)系式(14)可以作為空間頻率功率譜密度Gq(n)與角頻率功率譜密度Gq(Ω)關(guān)系論證的依據(jù)。

Gq(n0)=16Gq(Ω0)

(14)

統(tǒng)計(jì)分析表明，路面隨機(jī)高程信號(hào)滿足零均值高斯分布，即q～N(0,σ2)，其均方值與零位置自相關(guān)函數(shù)值相等。

(15)

根據(jù)維納-辛欽定理，由式(13)可知零位置自相關(guān)函數(shù)值為

(16)

由式(15，16)可知

Sq(Ω)=Sq(n)

(17)

根據(jù)式(14)做一驗(yàn)證，雖然Ω=2πn，但不包括Ω0和n0點(diǎn)，其值[4-5]分別為1 rad/m和0.1 m-1。

(18)

(19)

由式(17～19)可得，Gq(n0)=2.533Gq(Ω0)，與式(14)不同。注意到傅里葉變換對(duì)的另一種表達(dá)，如式(20)所示，則自相關(guān)函數(shù)如式(21)所示。

(20)

(21)

由式(15)，(21)得到Gq(Ω)dΩ=Gq(n)dn，故

Sq(n)=2πSq(Ω)

(22)

將式(18)，(19)代入式(22)，得Gq(n0)=16Gq(Ω0)，與國(guó)標(biāo)一致，說(shuō)明在國(guó)標(biāo)和ISO文件中，由采樣路面信號(hào)自相關(guān)函數(shù)求路面位移功率譜密度時(shí)，采用的傅里葉變換為式(20)，而不是通常采用的式(13)，同時(shí)也驗(yàn)證了關(guān)系式(22)的正確性。

綜合上述分析，空間頻率和角頻率功率譜密度的關(guān)系，隨著維納-辛欽定理使用時(shí)所采用的傅里葉變換對(duì)的形式而不同，即關(guān)系式(17)對(duì)應(yīng)式(13)，關(guān)系式(22)對(duì)應(yīng)式(20)。

關(guān)系式(17)對(duì)應(yīng)式(13)的正確性檢驗(yàn)將在1.4.1節(jié)，對(duì)應(yīng)用這個(gè)數(shù)量關(guān)系計(jì)算的路面不平度位移標(biāo)準(zhǔn)差作校驗(yàn)時(shí)進(jìn)行；關(guān)系式(22)對(duì)應(yīng)式(20)正確的原因在于，它能導(dǎo)出Gq(n0)=16Gq(Ω0)，與國(guó)標(biāo)一致。

1.4 空間域路面不平度位移標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算

(23)

統(tǒng)計(jì)顯示路面空間頻率分布于[0.011 2.83] m-1區(qū)間,在常用車速下(10～30 m/s)下，激勵(lì)的時(shí)間頻率(車速與空間頻率乘積)分別為[0.11 28.3]和[0.33 84.9] Hz，兩區(qū)間交集為[0.33 28.3] Hz，涵蓋了車身(1～2 Hz)和車輪(10～20 Hz)的固有頻率，適合做汽車平順性分析的輸入。根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，A級(jí)路面不平度系數(shù)幾何均值為16×10-6m3，則其不平度路面標(biāo)準(zhǔn)差為

(24)

驗(yàn)證依據(jù)GB/T 7031-2005，國(guó)標(biāo)附錄C中表C.3列出不同等級(jí)道路位移功率譜密度的幾何均值和限值，對(duì)于A級(jí)道路，對(duì)應(yīng)于空間中心頻率為0.015 6，0.031 2，0.062 5，0.125，0.25，0.5，1和2 m-1的倍頻段的單邊位移功率譜密度幾何均值分別為655×10-6，164×10-6，41×10-6，10.2×10-6，2.56×10-6，0.64×10-6，0.16×10-6和0.04×10-6m3。

中心頻率點(diǎn)0.015 6，2 m-1對(duì)應(yīng)的倍頻段分別為[0.011 0 0.022 1]，[1.414 2 2.828 4] m-1，可見(jiàn)，自0.015 6到2 m-1的倍頻帶剛好涵蓋了路面信號(hào)的頻率范圍[0.011 2.83] m-1，對(duì)其中各倍頻段位移功率譜密度幾何均值求和開(kāi)方可求得A級(jí)路面平均標(biāo)準(zhǔn)差，約等于3.78 mm。

可見(jiàn)式(24)的計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值近似相等，從而驗(yàn)證了空間頻率和角頻率功率譜密度的關(guān)系(即式(17)與式(13)對(duì)應(yīng))的正確性。

另外，如果在時(shí)間域計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，如式(25)，(26)所示，結(jié)果與式(24)相同，說(shuō)明路面均方根與車速和計(jì)算所在域無(wú)關(guān)。

(25)

(26)

2 傅里葉逆變換法路面模擬

要從頻域數(shù)據(jù)合成路面信號(hào)，必須知道幅值譜和相位譜。統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)路面相位譜服從[0 2π]的均勻分布，可由函數(shù)隨機(jī)生成?；诠β首V密度離散化的路面建模方法，就是要由已知的標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)路面功率譜密度計(jì)算出信號(hào)的幅值譜，進(jìn)而由傅里葉逆變換法得到路面不平度信號(hào)。

傅里葉變換有多種類型：周期連續(xù)信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)(FS)、周期連續(xù)信號(hào)傅里葉變換、非周期連續(xù)信號(hào)傅里葉變換(FT)、離散時(shí)間非周期信號(hào)傅里葉變換、離散傅里葉變換(DFT)和周期離散信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)(DTFS)。只有DFT和DTFS在時(shí)、頻域均離散，并且二者定義完全相同，DTFS是DFT的周期延拓，計(jì)算機(jī)只做DFT。2.2節(jié)將證明DFT變換結(jié)果可看作信號(hào)幅值譜，用于路面信號(hào)合成。

2.1 功率譜密度離散化的原因及目的

路面不平度可看作各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)，取長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一段路面qL(l)，根據(jù)式(4)可知，路面信號(hào)的單邊功率譜密度估計(jì)為

(27)

qL(l)為空間域有限的非周期連續(xù)信號(hào)，其傅里葉變換是連續(xù)值，分布在整個(gè)空間頻域，理論上其幅值譜(相當(dāng)于周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉系數(shù))趨于零，由式(4)和(27)知Q(n,L)是信號(hào)的幅值譜密度，而信號(hào)合成需要的是幅值譜Q(k)，故不能直接用來(lái)合成信號(hào)。

雖然理論上其幅值譜趨于零，但有效路面數(shù)據(jù)只是[0L]這一段，將其周期延拓成為周期為L(zhǎng)的周期信號(hào)，滿足狄利克雷條件，傅里葉級(jí)數(shù)存在，可以由傅里葉級(jí)數(shù)(即幅值譜)合成一個(gè)周期[0L]的路面不平度信號(hào)，如式(28)所示，這里Ω0=2π/L為空間角頻率(基頻)。

(28)

為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)處理，將周期延拓的路面不平度信號(hào)進(jìn)行等周期采樣，則信號(hào)成為周期離散時(shí)間信號(hào)，于是其時(shí)、頻域均離散，從而可以由DFT的定義式(29)求出路面不平度信號(hào)的幅值譜Q(k)。

(29)

將Q(n,L)積分形式表示成N項(xiàng)級(jí)數(shù)和，與離散傅里葉變換Q(k)產(chǎn)生換算關(guān)系。

大多數(shù)商圈只注重交易數(shù)據(jù)而忽視購(gòu)買群體的過(guò)程數(shù)據(jù)，而這部分?jǐn)?shù)據(jù)正是挖掘商機(jī)的入口。圖1為商圈客流分析功能示意,其中客流分析項(xiàng)是對(duì)商圈日常的經(jīng)營(yíng)數(shù)據(jù)和客流數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總得到的，這些數(shù)據(jù)的處理和分析對(duì)于商圈運(yùn)營(yíng)者而言可進(jìn)行更為細(xì)致的分析。客流數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)需結(jié)合交易數(shù)據(jù)和過(guò)程數(shù)據(jù)獲取有價(jià)值的數(shù)據(jù)。研究結(jié)果證明，只有0.5%～3.0%的人在網(wǎng)上點(diǎn)擊廣告之后會(huì)真正購(gòu)買相應(yīng)的產(chǎn)品,而消費(fèi)者走進(jìn)實(shí)體商店購(gòu)買的概率則大很多。對(duì)于商圈管理者來(lái)說(shuō)，該部分?jǐn)?shù)據(jù)的價(jià)值分析示意見(jiàn)圖2。

(30)

其中：Δn=1/(NΔl)，為空間頻率分辨率。

從以上分析可看到，功率譜密度離散化本質(zhì)是將截?cái)嗦访嫘盘?hào)的幅值譜密度離散化，得到延拓周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，以此來(lái)合成路面信號(hào)。

2.2 離散化結(jié)果驗(yàn)證

功率譜密度離散化的目的是得到信號(hào)的幅值譜，那么Q(k)是不是路面不平度離散周期信號(hào)的幅值譜？下面從周期連續(xù)信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)(式(28))出發(fā)來(lái)給以驗(yàn)證。

將長(zhǎng)度和周期均為L(zhǎng)的路面不平度連續(xù)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)近似表達(dá)成M項(xiàng)級(jí)數(shù)和的形式，可得到連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)與DFT的關(guān)系

(31)

可以看出離散傅里葉變換Q(k)與幅值級(jí)數(shù)Ck只存在一個(gè)系數(shù)差別，這個(gè)系數(shù)將在逆變換時(shí)得以消除，故Q(k)可以代表信號(hào)幅值譜。

亦可如此分析,假設(shè)信號(hào)qL(l)長(zhǎng)度和周期L均為無(wú)窮大，根據(jù)幅值譜和幅值譜密度的關(guān)系得到

(32)

對(duì)路面qL(l)在一個(gè)周期內(nèi)等間隔采樣N點(diǎn)，根據(jù)頻域卷積定理，信號(hào)頻譜被延拓成N個(gè)，路面客觀存在，即傅里葉級(jí)數(shù)不變，于是得到

(33)

(34)

比較式(30)和式(34)發(fā)現(xiàn)，Q(k)即為信號(hào)幅值譜。采樣點(diǎn)數(shù)N的取值可以參考文獻(xiàn)[9]。

2.3 頻譜點(diǎn)對(duì)稱設(shè)置

根據(jù)上述分析，離散功率譜密度估計(jì)式為

(35)

信號(hào)幅值譜為

(36)

其中：dn=1/L，為空間頻率分辨率，即采樣路面總長(zhǎng)度的倒數(shù)。

相位角在[0 2π]上均勻分布，在Matlab中可以由unifrnd函數(shù)生成。然后根據(jù)式(36)通過(guò)傅里葉逆變換生成路面空間域隨機(jī)信號(hào)。

離散傅里葉變換Q(k)的第一個(gè)點(diǎn)(直流分量)不存在對(duì)稱。對(duì)于模擬路面數(shù)據(jù)N，如果是偶數(shù)，則關(guān)于N/2+1點(diǎn)對(duì)稱；若為奇數(shù)，則關(guān)于(N+2)/2點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)式(36)生成幅值譜Q(k) (k=1,…,N/2+1或(N+1)/2)。則另一半幅值頻譜數(shù)據(jù)為

Q*(N/2)，Q*(N/2-1)，…，Q*(2) (N為偶數(shù))；Q*((N+1)/2),…,Q*(2) (N為奇數(shù))。

Q*(k)表示Q(k)的共軛復(fù)數(shù)，將兩段頻譜數(shù)據(jù)組合后進(jìn)行離散傅里葉逆變換即可得到路面信號(hào)。

3 功率譜密度驗(yàn)證

正確的模擬路面除了要滿足均值和標(biāo)準(zhǔn)差的條件外(即均值接近于零；標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)值接近并不隨車速、采樣頻率和仿真時(shí)間改變)，功率譜密度曲線的趨勢(shì)必須與國(guó)標(biāo)和ISO文件要求一致[10]。

3.1 功率譜密度驗(yàn)證方法

計(jì)算模擬路面的功率譜密度時(shí)，不少文獻(xiàn)采用了直接法[9]，這是不準(zhǔn)確的。因?yàn)橹苯臃ú捎玫挠?jì)算式為式(35)，本質(zhì)上是上述計(jì)算的逆過(guò)程，這樣得到的功率譜密度數(shù)值與標(biāo)準(zhǔn)值完全相同，如圖1所示，模擬路面的譜曲線與ISO標(biāo)準(zhǔn)路面譜曲線完全重合，驗(yàn)證沒(méi)有意義，不能真實(shí)反映程序模擬路面的頻域特性。

圖1 直接法功率譜密度計(jì)算Fig.1 PSD calculated by direct computation method

經(jīng)典譜估計(jì)的平均周期圖Welch法，對(duì)路面信號(hào)分段，段間適當(dāng)重疊，分段計(jì)算功率譜密度再平均，通過(guò)窗函數(shù)減小信號(hào)分段造成的能量向旁瓣泄漏，窗函數(shù)造成的信號(hào)能量衰減，已在函數(shù)內(nèi)部進(jìn)行了修正，Welch法能更真實(shí)地反映模擬路面信號(hào)功率在頻率軸的分布特征。

3.2 兩種采樣頻率的應(yīng)用

平均周期圖法譜估計(jì)函數(shù)pwelch調(diào)用格式為：[Pxx,F]=pwelch(signal,window,overlap,NFFT,fs,'oneside')，有兩種采樣頻率：空間域采樣頻率ns和時(shí)間域采樣頻率fs，令車速為u，采樣時(shí)間間隔為Δt，則時(shí)間和空間頻率分別為：fs=1/Δt，ns=1/(uΔt)。

窗函數(shù)選擇，國(guó)標(biāo)推薦用漢寧窗，這其實(shí)是在頻率分辨率和能量泄漏之間取的一個(gè)較理想折中方案，這里靈活采用切比雪夫窗，旁瓣衰減100 dB，能量泄漏減小，但頻率分辨力下降，譜曲線趨于平滑。

窗函數(shù)通常應(yīng)用于濾波器設(shè)計(jì)和譜估計(jì)，它們對(duì)窗函數(shù)的要求有差異：譜估計(jì)防止能量泄漏，希望窗函數(shù)頻譜旁瓣較小；濾波器設(shè)計(jì)通常要求過(guò)渡帶較小，要求窗函數(shù)主瓣陡峭，但有關(guān)指標(biāo)是矛盾的，需要折中，詳細(xì)的選擇方法可參考有關(guān)教材。

采用空間域采樣頻率ns將得到空間域路面不平度位移功率譜密度Gq(n)，同時(shí)輸出的頻率點(diǎn)是空間頻率；如果采用時(shí)間域采樣頻率fs，則得到時(shí)間域的頻率點(diǎn)和相應(yīng)的時(shí)域功率譜密度Gq(f)。

3.2.1 空間域路面不平度位移功率譜密度

應(yīng)用Welch法對(duì)模擬路面信號(hào)Xm進(jìn)行單邊功率譜密度估計(jì)，根據(jù)上述分析，編制Matlab程序如下，運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

NFFT=2^nextpow2(round(length(Xm)/4));

window=chebwin(NFFT); %切比雪夫窗函數(shù)

overlap=round(length(Xm)/8); %段間重疊

ns=ceil(N/L); %空間采樣頻率

[Pxx,F]=pwelch(Xm,window,overlap,NFFT,ns,'oneside'); %采用空間采樣頻率做功率譜密度估計(jì)

圖2 采用空間采樣頻率的Welch法輸出Fig.2 Output of Welch with spatial sampling frequency

圖2中虛線為B級(jí)路面位移功率譜密度函數(shù)曲線，數(shù)學(xué)函數(shù)為Gq(n)=64×10-6×(n/0.1)-2，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中為一直線；程序中ns為空間采樣頻率，圖中實(shí)線為模擬路面功率譜密度曲線，在標(biāo)準(zhǔn)曲線上下波動(dòng)，趨勢(shì)一致，說(shuō)明采用空間采樣頻率得到的是空間域功率譜密度。

3.2.2 時(shí)域路面不平度位移功率譜密度

采用時(shí)間采樣頻率，將程序參數(shù)ns改為時(shí)域采樣頻率fs，運(yùn)行程序得到圖3。

圖3 采用時(shí)間采樣頻率的Welch法輸出Fig.3 Output of Welch with temporal sampling frequency

車速u為20 m/s，時(shí)間頻率f=20n，即輸出的頻率序列F為時(shí)域點(diǎn)，故圖2和圖3的橫坐標(biāo)不同。圖3的虛線數(shù)學(xué)函數(shù)為Gq(f)=Gq(n)/u=3.2×10-6×(n/0.1)-2，為車速20 m/s下B級(jí)標(biāo)準(zhǔn)路面的時(shí)域功率譜密度，圖3顯示模擬路面的功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)域功率譜密度一致，故可知pwelch函數(shù)采用時(shí)間采樣頻率時(shí)輸出的功率譜密度和頻率點(diǎn)均為時(shí)域。

如果要換算成空間域的功率譜密度，根據(jù)空間與時(shí)間域頻率和功率譜密度的關(guān)系，需將輸出的頻率向量F除以車速u，相應(yīng)的功率譜密度Pxx乘以車速。

4 結(jié)束語(yǔ)

以帕塞瓦爾定理和維納-辛欽定理為基礎(chǔ)，分析了路面空間域自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的計(jì)算方法，推導(dǎo)出路面不平度空間域位移、速度和加速度功率譜密度之間，以及空間頻率與空間角頻率功率譜密度之間換算關(guān)系。應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)和變換、離散傅里葉變換、離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)理論和頻域卷積定理，詳細(xì)分析論證了傅里葉逆變換路面建模方法的功率譜密度離散化問(wèn)題。指出了直接法功率譜密度驗(yàn)證的不合理之處，論證了平均周期圖法譜估計(jì)時(shí)應(yīng)用空間采樣頻率將輸出路面空間域PSD，而時(shí)間采樣頻率對(duì)應(yīng)著路面時(shí)間域PSD輸出。理論分析以及與國(guó)標(biāo)和ISO標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)比驗(yàn)證顯示，文中的研究是正確的，可用于路面不平度建模和汽車平順性分析。

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2014-09-24；

2014-12-01

TH113.1; U461.5+6; TP391.9

杜峰，男，1980年5月生，博士生。主要研究方向?yàn)槠嚻巾樞苑抡婕翱陀^評(píng)價(jià)。曾發(fā)表《PSD和PWELCH函數(shù)的分析改進(jìn)及應(yīng)用》(《中國(guó)測(cè)試》2010年第36卷第1期)等論文。 E-mail：dufeng123dufeng@126.com